二重积分求的是体积,为啥可以利用对称性来求?

被积函数如果是1,的确是积分区间的面积,如果把1换成x,那就是体积了,简单来说,一重积分可以看作面积,二重积分是体积,三重积分就是质.因为高度为1的物体体积与其底面积的大小是一样的

原式＝∫(1,-1) 根号(4-x^2) -根号(2+x^2)dx
=∫(1,-1)根号(4-x^2) dx -∫(1,-1)根号(2+x^2)dx
＝(1/2 x*根号(2+x^2)+1/2 *2*lnlx+根号(2+x^2)l)/(1,-1) +2∫(1,0)根号(4-x^2)dx
=2pai/3-2ln(1+根号3)/根号2

首先2x+3y对x积分,2x对x积分得x平方,3y对x积分,得3yx.方框内的不定积分即x^2+3yx,
这一步你把y看作是系数就好了,
分别计算当x=3与 x=2时x^2+3yx的值,然后相减得5+3y,这就是函数2x+3y在x属于[2,3]上的积分；
此式再对y积分,得到5y+（3/2）y^2,
再分别计算y=2,y=1时5y+（3/2）y^2的值,相减得11.5

这个题目用极坐标来处理是非常简单的.
用直角坐标处理,也是可以的,只是有点麻烦,

f = @(a) dblquad(@(x,z) -0.004*x.*(1-(z/6.25).^2).*exp(0.05*z*sec(a)).*(cos(0.05*x.*(sec(a)))+i*sin(0.05*x.*sec(a))),0,100,-6.25,0);
>> a=1;
>> f(a)
ans =
0.6541 -14.6963i
>> a = 3;
>> f(a)
ans =
40.0774 -19.3193i

在极坐标系中,r表示点到极点（相当于直角坐标系的原点）的距离,所以r是非负的.
你说的“如果小于0”是不存在的.

没错,因为|x|是偶函数
直接变为上半圆的两倍

无论有不有电介质,高斯定理都是闭合曲面的二重积分!你学过微积分吗?如果学过,应该懂得的!

∫e^f(x)dx∫e^-f(y)dy=∫∫e^【f(x)-f(y)】dxdy,积分区域为D：x,y∈【0,1】
由x,y在积分区域上的对称性可以得到∫e^f(x)dx∫e^-f(y)dy=∫∫e^【f(y)-f(x)】dxdy
设I=∫e^f(x)dx∫e^-f(y)dy
那么2I=∫∫e^【f(y)-f(x)】+e^【f(x)-f(y)】dxdy
而
e^【f(y)-f(x)】+e^【f(x)-f(y)】≥2（均值不等式）
所以I≥∫∫dxdy=1

我提供一个用参数方程求椭圆面积的做法.先将椭圆方程化为b^2(x^2)+a^2(y^2)=(a^2)(b^2)再将x,y按照圆的参数方程带入坐标系即x=rcos@,y=rsin@,原方程化为r=ab/(b^2cos^2@+a^2sin^2@)^1/20

那个式子的括号外面少个“r”
应该是(1+rcosθ+rsinθ)rdr
先将θ看成常数,对r积分；然后再对θ积分即可

后面的 D 表示的是 积分区域的面积 是一个圆域
圆的半径是2
所以的范围是 -2

极坐标下,dσ = r*drdt;所以,转化如下：(Pi 为圆周率)
Pi/2 1
∫ ∫ ln(1 + r^2)*r*drdt = Pi/4 * (2ln2 - 1)
0 0

原式=∫_0^1▒〖(sinx/x)dx〗 ∫_x^2x▒〖dy=∫_0^1▒〖(sinx/x)*(2x-x)dx〗〗=∫_0^1▒〖(sinx)dx=-(cos1-cos0)=1-cos1
由于不识别我的word,先对y积分,积分范围是从x到2x,再对x积分,范围是0到1,即可,答案是1-cos1

你的题目呢?

积分区域为半个圆域,于是考虑用极坐标.令x=rcost,y=rsint,于是积分域为

先对y积分,被积函数cosx与y无关,所以这就是个常函数的积分,结果自然是cosx(sinx-x+π)

原式=∫dθ∫sin(r²)rdr
=(1/2)(2π)(cos(π²)-cos(π^4))
=π(cos(π²)-cos(π^4)).

是的,考研数二里这些内容都是不考的,
相对来说数二是考研数学里比较简单的了啊
你可以看一下下面这个链接里给出的今年的考研数学二的大纲,你上面写出的内容里面都没有,
而通常数学的大纲是不会做任何改动的

我讲一般的情形：
设平面图形D由曲线y=f(x),直线x=a,x=b,b>a及x轴围成
则：1.平面图形的面积S=∫[a,b]f(x)dx
2.此平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积:
用微元法,在区间[a,b]任取点x,则S(x)=πf(x)^2
所以：V=∫[a,b]πf(x)^2dx

原式=∫[1,2]dx∫[-1,0][x^2-2xy+y^2]dy
=∫[1,2] x^2y|[-1,0]-xy^2|[-1,0]+y^3/3|[-1,0]]dx
=∫[1,2] [x^2+x+1/3]dx
=[x^3/3+x^2/2+x/3]|[1,2]
=7/3+3/2+1/3
=25/6

二次积分是计算二重积分的一个方法.没有本质区别. 将二重积分化为二次积分是为了实现计算.

是这样 在使用极坐标计算二重积分时,总是令x=rcos@,y=rsin@
则对于积分区域D={(x,y)|（x-1）^2+(y-1)^2=x},
将上面的代入,（rcos@-1）^2+(rsin@-1)^2

x的范围是0=0,因此
0

椭圆关于x轴和y轴都对称
而被积函数中的x,关于y轴为奇函数；y,关于x轴为奇函数
所以∫∫ (y - x) dxdy = 0
剩下的∫∫ (- 2) dxdy = - 2∫∫ dxdy = - 2 * 椭圆面积 = - 2πab
所以∫∫ (y - x - 2) dxdy = - 2πa

先积y,再积x
∫∫(x^2+3xy^2)dxdy
=∫[-1-->1]∫[x²-->1](x²+3xy²)dydx
=∫[-1-->1] (x²y+xy³) | [x²-->1] dx
=∫[-1-->1] (x²+x-x⁴-x⁷)dx
=1/3x³+1/2x²-1/5x⁵-1/8x⁸ [-1-->1]
=4/15

这区域应该是个单位圆.把图画出来,当然可以直接得.
这种题应该是比较基础的了

θ和r的取值范围就是用x^2+y^2

用极坐标：
∫∫ 1/√（1+x^2+y^2)dxdy
=∫(0,2π)dθ∫(0,√3)r/1/√(1+r^2)dr
=2π[√(1+r^2)]|(0,√3)
=2π(2-1)=2π

积分区域D关于x轴对称,
原式=2∫∫[D1](x^2-y^2)^(1/2)dxdy,D1为y=x,x=1,y=0围成的区域
=2∫[0->1]∫[0->x] (x^2-y^2)^(1/2)dydx
换元y=xcost,t∈[-π/2,0]
=2∫[0->1]∫[-π/2->0] -xsint(x^2-y^2)^(1/2)dtdx
=2∫[0->1]∫[-π/2->0] (xsint)^2dtdx
=2∫[0->1]∫[-π/2->0] (xsint)^2dtdx
=2∫[0->1] (πx^2)/4dx
=2*π/12=π/6

奇函数的积分会是0.即使不是奇函数,积分仍有可能是0..
被积函数有正有负的函数,其积分值就有可能是0.

X-型闭区域：先画出积分区域,确定最左和最右的点x=a,x=b, 那么这时a

用极坐标变换吧

∫[-1,0]∫[0,x^2](x^2-y)dy
=∫[-1,0](x^2y-1/2y^2)[0,x^2]dx
=1/2∫[-1,0]x^4dx
=1/2*1/5(x^5)[-1,0]
=-1/10

这是一个4天后的零回答题.
已知二重积分∫∫(D)x^2dσ,其中 D由y=1-√(1-x^2),x=1以及y=0围成.
（I）请画出D的图形；
（II)在极坐标下将二重积分化为累次积分.
（I)、画D的图形：y=1-√(1-x^2):
x 00.10.20.30.40.50.60.70.80.90.950.981
y 0 0.005 0.202 0.046 0.0835 0.134 0.2 0.286 0.4 0.564 0.688 0.801 1
画图见附图.
（II)、
因为 x=ρconθ,y=ρsinθ,dσ=ρdρdθ,
D:y=1-√(1-x^2),y=0,x=1,
y 从0到y=1-√(1-x^2),x 从0到1,
变到极坐标时,
ρsinθ=1-√[1-ρ^2(conθ)^2],
√[1-ρ^2(conθ)^2]=1-ρsinθ,
1-ρ^2(conθ)^2=[1-ρsinθ]^2=1-2ρsinθ+ρ^2(sinθ)^2,
ρ^2-2ρsinθ=0,
ρ=0 （舍弃）,ρ=2sinθ,
x=1 变到极坐标时,x=ρconθ=1,ρ=1/conθ,
极坐标积分,ρ从ρ=2sinθ积到ρ=1/conθ,θ从0到π/4,
所以,二重积分∫∫(D)x^2dσ=∫∫(D)(ρconθ)^2ρdρdθ=
=∫(从0积到π/4)dθ∫(ρ从ρ=2sinθ积到ρ=1/conθ）[ρ^3(conθ)^2]dρ=
=∫(从0积到π/4)dθ(ρ从ρ=2sinθ积到ρ=1/conθ）[ρ^4(conθ)^2/4]=
=∫(从0积到π/4)[1/(conθ)^2-16(sinθ)^4(conθ)^2]/4dθ=
=∫(从0积到π/4){1/[4(conθ)^2]-4(sinθ)^4(conθ)^2}dθ=
=∫(从0积到π/4){1/[4(conθ)^2]-4(sinθ)^4[1-(sinθ)^2]}dθ=
=∫(从0积到π/4){1/[4(conθ)^2]-4(sinθ)^4+4(sinθ)^6}dθ=【以下套积分公式】
=(从0积到π/4){(1/4)[tgθ]-4∫(从0积到π/4)(sinθ)^4dθ+(从0积到π/4)(4{-(sinθ)^5conθ/6}+(5/6)∫(从0积到π/4)(sinθ)^4dθ=
=1/4-4{-（√2/8）(√2/2)/6}-(19/6)∫(从0积到π/4)(sinθ)^4dθ=
=1/4+1/12-(19/6)(从0积到π/4){-(sinθ)^3conθ}-(19/6)（3/4）∫(从0积到π/4)(sinθ)^2dθ=
=1/3-（19/6）{-1/4}-（19/8)(从0积到π/4){（1/2）θ-（1/4）sin2θ}=
=1/3+19/24-(19/8){π/8-1/4-0-0}=
=27/24-19π/64+19/32=(216-57π+114)/192=(330-57π)/192.

二重积分其实就是二维积分,就是先X方向后Y方向积分（也可以先Y后X）,你看这道题D区域在平面内是一个中心是原点的圆环,那么对它的积分就好理解了：大圆积分减小圆积分=圆环积分.也就是4π-π.
懂否?

正确
二重积分∫∫D f(x,y) dxdy就是以D为底面积(薄片),f(x,y)为该立体的高度
积分的过程就是将这些薄片累加起来,于是形成一个曲顶柱体的体积
当高度为1时,即f(x,y) = 1,二重积分的结果就是求随意一片薄片的面积

对θ的积分可以先积分出来,剩下的对r的积分,把rdr凑一下就是1/2d(r^2),这样不就变成了一个定积分∫(1～4)lnxdx,分部积分即可,结果是π(8ln2-3)

∫∫（y^2+3 x-6y+9)dx=∫∫（y²+9）dxdy+∫∫3xdxdy-∫∫6ydxdy
圆关于x y对称,所以只有第一项有效.