过双曲线x2a2−y2b2＝1 (a＞0 ，b＞0)的左焦点，且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N

依题意可知双曲线的渐近线为y=±[b/a]x
把点P代入求得[b/a]=±[4/3]（舍负）
∴a=[4/3]b，
∴c=

16
9b2+b2=[5/3]b
∴e=[c/a]=[5/3]
故答案为[5/3]．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的掌握．

设|PF₁|=x，|PF₂|=y，则有

x＝2y
x−y＝2a，
解得x=4a，y=2a，
∵在△PF₁F₂中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a-2a＜2c，
∴1＜
c
a＜3，
又因为当三点一线时，4a+2a=2c，
综合得离心的范围是（1，3]，
故选B．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了关于离心率范围的确定．可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法．

∵P是右准线上一点，P到x轴的距离为[2ab/c]
∴可设P(
a2
c，
2ab
c)
设右准线与x轴的交点为A，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PA|²=|AF₁|×|AF₂|
∴(
2ab
c)2＝(c+
a2
c)(c−
a2
c)
∴4a²b²=（c²-a²）（c²+a²）
∴4a²=c²+a²
∴3a²=c²
∴e＝
c
a＝
3
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题以双曲线的性质为载体，考查双曲线的离心率，解题的关键是利用射影定理得|PA|2=|AF1|×|AF2|．

设F₁F₂=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，∠PF₁F₂=30°
∴|PF₁|=
3c，|PF₂|=c，
∴|PF₁|-|PF₂|=
3c−c=2a，
∴e=[c/a]=
2

3−1=
3+1．
故答案是
3+1．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．

因为圆C：x²+y²-6x+5=0⇔（x-3）²+y²=4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线
x2
a2−
y2
b2=1（a＞0，b＞0），∴a²+b²=9①又双曲线
x2
a2−
y2
b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±
b
ax⇔bx±ay=0，∴
|3b|

a2+b2＝2② 连接①②得

b＝2
a2＝5
所以双曲线的方程为：
x2
5−
y2
4＝1，
故选A．

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．

由题意，直角三角形的内切圆半径r=
|PA|+|PF1|−|AF1|
2=
|PF1|−|PF2|
2=

2
2，
∴|PF₁|-|PF₂|=
2，
∵|F₁F₂|=2，
∴双曲线的离心率是e=[c/a]=
2

2=
2．
故选：B．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的离心率，考查直角三角形内切圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

已知双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率[b/a]，
∴[b/a]≥
3，离心率e²=
c2
a2＝
a2+b2
a2≥4，
∴e≥2，故选C

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．

∵e＝
c
a＝

6
2，
故可设a＝2k，c＝
6k，则得b＝
2k，
∴渐近线方程为 y＝±
b
ax＝±

2
2x，
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出[b/a]的值是解题的关键．

∵双曲线的顶点是线段F₁F₂的三等分点，
∴2a=[1/3]×2c，
∴c=3a，
∴e=[c/a]=3．
故选：D．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题以双曲线的方程为载体，考查双曲线的几何性质，比较基础．

（1）∵e=2⇒c=2a，F1（-2a，0），F2（2a，0），P（2a，m）m=|PF2|=e•2a-a=3a∴P（2a，3a），设Q(a2，t)∵F1，Q，F2三点共线∴t＝15a8∵F1Q•F2Q＝−1564得a2=1∴x2−y23＝1（2）设MN：y=k（x+2）代入3x2-y2=3得：...

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题考查了双曲线方程的求法，以及直线与双曲线位置关系的判断，做题时要认真分析．

设∠F₁AF₂=θ
由已知可求得tanθ＝
3
4，
∴tan
θ
2＝
1
3，
由焦点三角形面积b2cot
θ
2＝1得，
b2＝
1
3
故选B

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活利用．

设∠F₁AF₂=θ
由已知可求得tanθ＝
3
4，
∴tan
θ
2＝
1
3，
由焦点三角形面积b2cot
θ
2＝1得，
b2＝
1
3
故选B

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活利用．

设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
因为抛物线为y²=4cx，
所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，
E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，
那么OE∥PF'
因为OE=a 那么PF'=2a
又PF'⊥PF，FF'=2c 所以PF=2b
设P（x，y） x+c=2a x=2a-c
过点F作x轴的垂线，
点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²
4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e=

5+1
2．
故答案为：

5+1
2．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本小题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

由题意，设P到右准线距离为d，则d≥a-
a2
c．
根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，
∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，
∴P到左焦点的距离为6d，
∴6d-ed=2a，
∴d=[2a/6−e]（e＜6），
∴[2a/6−e]≥a-
a2
c，
∴[2/6−e≥1−
1
e]，
∴e²-5e+6≥0，
∴e≤2或e≥3，
∵1＜e＜6，
∴1＜e≤2或3≤e＜6．
故答案为：1＜e≤2或3≤e＜6．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点
双曲线斜率为正的渐近线方程为：y=[b/a]x
而右准线为：x=
a2
c
于是，渐近线与右准线的交点A，其横坐标就是
a2
c，纵坐标可求出是：
y=[ab/c]
△OAF的面积若是以OF为底边计算的话，其上的高就是A点的纵坐标的绝对值，即：[ab/c]
∴S△OAF=|OF|•[ab/c]•[1/2]=[ab/2c]=[ab/2]
由题意有：[ab/2]=
a2
2
∴a=b
∴双曲线两条渐近线就是：y=±x
∴两条渐近线相互垂直
∴它们的夹角很容易得出是90°
故答案为90°

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；双曲线的应用．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，平时应注意多积累．

由题意得：



4
a2−
1
b2＝1

|2b−a|

a2+b2＝
a

a2+b2，
∴

a2＝3
b2＝3，
∴双曲线的方程为：
x2
3-
y2
3=1，
故选：B．

点评：
本题考点： 双曲线的标准方程．

考点点评： 本题考查了求双曲线的标准方程，列出方程组是解题的关键，本题属于基础题．

∵双曲线
x2
a2−
y2
b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点恰为椭圆
x2
4+y2=1的两个顶点，
∴c=2，
∵离心率为2，
∴a=1，
∴b=
3，
∴双曲线的标准方程为x²-
y2
3=1，
故选：A．

点评：
本题考点： 双曲线的标准方程；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．

因为过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂．若直线AB过原点，
所以A、B关于原点对称，
设M（p，q），N（-p，-q），P（s，t），
则有k₁•k₂=
t2−q2
s2−p2，
∴
p2
a2−
q2
b2＝1，
s2
a2−
t2
b2＝1，
∴两式相等得：
t2−q2
s2−p2=
b2
a2
∴k₁•k₂=
t2−q2
s2−p2=
b2
a2=
c2−a2
a2=2²-1=3．
故答案为：3．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，考查转化思想，化简得到k1•k2是解题的关键．

∵双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y=2x，∴[b/a＝2，
∵双曲线的一个焦点在抛物线y²=20x的准线x=-5上，∴c=5．
联立


b
a＝2
c2＝a2+b2
c＝5]解得

a2＝5
b2＝20．
∴此双曲线的方程为
x2
5−
y2
20＝1．
故选A．

点评：
本题考点： 双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．

考点点评： 熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．

设|PF₁|=x，|PF₂|=y，则有

x＝2y
x−y＝2a，
解得x=4a，y=2a，
∵在△PF₁F₂中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a-2a＜2c，
∴1＜
c
a＜3，
又因为当三点一线时，4a+2a=2c，
综合得离心的范围是（1，3]，
故选B．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了关于离心率范围的确定．可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法．

设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点
双曲线斜率为正的渐近线方程为：y=[b/a]x
而右准线为：x=
a2
c
于是，渐近线与右准线的交点A，其横坐标就是
a2
c，纵坐标可求出是：
y=[ab/c]
△OAF的面积若是以OF为底边计算的话，其上的高就是A点的纵坐标的绝对值，即：[ab/c]
∴S△OAF=|OF|•[ab/c]•[1/2]=[ab/2c]=[ab/2]
由题意有：[ab/2]=
a2
2
∴a=b
∴双曲线两条渐近线就是：y=±x
∴两条渐近线相互垂直
∴它们的夹角很容易得出是90°
故答案为90°

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；双曲线的应用．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，平时应注意多积累．

由题设条件知：2×2b=2a+2c，
∴2b=a+c，
∴c2＝
(a+c)2
4+a2，
整理，得3c²-5a²-2ac=0，
∴3e²-2e-5=0．
解得e＝
5
3或e=-1（舍）．
故选D．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题．仔细求解．注意双曲线和椭圆的区别与联系．

由题设条件知：2×2b=2a+2c，
∴2b=a+c，
∴c2＝
(a+c)2
4+a2，
整理，得3c²-5a²-2ac=0，
∴3e²-2e-5=0．
解得e＝
5
3或e=-1（舍）．
故选D．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题．仔细求解．注意双曲线和椭圆的区别与联系．

根据双曲线的定义，可得，|AF₂|-|AF₁|=2a，①|BF₂|-|BF₁|=2a②
①+②，得，|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=4a
∵|AF₁|+|BF₁|=|AB|=m，
∴|AF₂|+|BF₂|=4a+m
△ABF₂的周长为|AF₁|+|BF₁|+|AB|=4a+m+m=4a+2m
故选C

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查应用双曲线的定义求焦点三角形周长，属于双曲线的常规题．

双曲线的离心率与渐近线的斜率有关，
当b＜a时，即该渐近线倾斜角小于45°时，
该渐近线的垂线不可能与双曲线另一支相交，而交点在同一右支上，
当a=b时，该渐近线倾斜角等于45°时，
该渐近线的垂线与另一条渐近线平行，也不可能与双曲线另一支相交，
只有b＞a时，即该渐近线倾斜角大于45°时，才可能与双曲线另一支相交，
∴双曲线离心率e=[c/a]=

a2+b2
a，
∵b＞a，∴e＞

2a
a=
2，
∴e∈（
2，+∞）．
故答案为：（
2，+∞）．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的渐近线的斜率的灵活运用．

已知双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率[b/a]，
∴[b/a]≥
3，离心率e²=
c2
a2＝
a2+b2
a2≥4，
∴e≥2，故选C

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．

根据双曲线的定义，可得，|AF2|-|AF1|=2a，①|BF2|-|BF1|=2a②①+②，得，|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a∵|AF1|+|BF1|=|AB|=m，∴|AF2|+|BF2|=4a+m△ABF2的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+m+m=4a+2m故选C...

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查应用双曲线的定义求焦点三角形周长，属于双曲线的常规题．

已知双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率[b/a]，
∴[b/a]≥
3，离心率e²=
c2
a2＝
a2+b2
a2≥4，
∴e≥2，故选C

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．

由题意，当x=-c时，y=±
b2
a
∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，
∴
b2
a＝a+c
∴c²-a²=a（a+c）
∴c-a=a
∴c=2a
∴e=
c
a＝2
故选C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

若双曲线上存在点P，使|PO|=|PF₁|，必须满足OF₁的中垂线与双曲线有交点，即
P是线段OF₁中垂线与双曲线的交点．
由图象知：
c
2≥a，即e≥2，
故选D．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 考查双曲线离心率的求法，考查学生分析问题解决问题的能力，转化思想，是中等题．

双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线y＝
b
ax，∴焦点到渐近线的距离为
bc

b2+a2＝b，
故选B．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离，属于基础题．

由题意，点P不是双曲线的顶点，否则
a
sin∠PF1F2=
c
sin∠PF2F1无意义；
在△PF₁F₂中，由正弦定理得
|PF1|
sin∠PF2F1=
|PF2|
sin∠PF1F2；
又
a
sin∠PF1F2=
c
sin∠PF2F1，∴
|PF1|
|PF2|=
c/a]，
即|PF₁|=[c/a]•|PF₂|；
∵P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得
|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴[c/a]•|PF₂|-|PF₂|=2a，即|PF₂|=
2a2
c-a；
由双曲线的几何性质，知
|PF₂|＞c-a，
∴
2a2
c-a＞c-a，
即c²-2ac-a²＜0；
∴e²-2e-1＜0，
解得-
2+1＜e＜
2+1；
又e＞1，
∴双曲线离心率的范围是（1，
2+1）．
故选：C．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查了求双曲线的离心率的范围的问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的灵活运用问题，是中档题．

∵抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，
∴双曲线
x2
a2−
y2
b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点为（-1，0）
x=-1时，代入双曲线方程，由b²=1-a²，可得y=±
1−a2
a，
∵△AOB的面积为[3/2]，
∴[1/2•1•
2(1−a2)
a]=[3/2]，
∴a=[1/2]，
∴e=[c/a]=2．
故选：D．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算，正确运用抛物线、双曲线的几何性质是关键．