用比较判别法的一般形式判别级数的敛散性：∑1/n^(√n)

比较判别法跟极限里面（或确界里面）所用的“夹逼法”有相同的道理!
一眼看出,这样说得有点牛了!
一般都是尝试性的!或者说是猜想性的!
比如,你猜想它是收敛的,那么,就找个在它右侧的P级数来夹逼它!
比原级数大的级数P都收敛了,那原级数肯定也收敛啦
你猜想它是发散的,那么,就找个在它左侧的P级数来证明它!
比它小的都发散了,那它肯定也发散啦!
比如说,你猜想它是收敛的,但实际上,它是发散的,也就是说,你的猜想是不正确的!那你也不用担心,因为这时候,只要你选取的P级数是正确的,那么,你会发现P级数是无法证明是收敛的!

n^n-1/(n+1)^n+1=[n^n+1/(n+1)^n+1] X 1/n² < 1/n² 因为级数1/n²收敛,故原级数收敛

1/(2n-1)^2

1/31,故收敛

看不到你发的图片,

c为常数,可以为1,也可以为其他数,若Vn收敛,乘上一个常数,它照样收敛,不用纠结有没有c,c的存在只为调整数值范围,使Un

当 n > 10 时,lnn > 2,u(n) = 1/(lnn)^n < 1/2^n
已知 ∑1/(2^n) 收敛,故∑1/[(ln n)^n] 收敛.

使用比较判别法并不能乱找,不仅要熟悉一些基本的敛散性结论,还要根据具体问题适当地放缩
一般来讲你对级数是否收敛要有点感觉,这通过对通项衰减趋势来推测,然后可以有的放矢地进行放大/缩小
第一题利用 2*2/(3/5) < 2*2/(3*3),2*2*2/(3*5*7) < 2*2*2/(3*3*3),...
所以级数可以放大到 sum (2/3)^n
不要事先盲目地去凑(2/3)^n,而是要观察到乘积形式的通项衰减得越来越快,此时再联想到用等比级数来定界
后两题最好是用比较判别法的极限形式,简单一点就是说如果正项级数sum an和sum bn满足lim an/bn=C>0,那么这两个级数的敛散性相同
第二题要看到n^{n-1}/(n+1)^{n+1}~n^{n-1}/n^{n+1}=n^{-2},所以是收敛的
第三题一样,看到1/(n(n+1)^{1/2})~n^{-3/2},也是收敛的
不管是n+1还是n+2,先当成n来看,反正渐进行为上是一致的
当然理论上讲你也一定可以直接用比较判别法
n^{n-1}/(n+1)^{n+1} < n^{-2}
1/(n(n+1)^{1/2}) < n^{-3/2}
甚至如果题目是 sum (n+3)^{n-1}/n^{n+1},此时通项比 1/n^2 大,也可以利用
(n+3)^{n-1}/n^{n+1} < (1+3/n)^{n-1}/n^2 < e^3/n^2
只不过没必要如此细致,掌握极限形式处理这类问题就方便多了
最后,好好看教材,D'alembert判别法,Cauchy判别法等都是基于比较判别法的,把它们的证明充分理解比多做几道习题重要多了

教学目的和要求：高等数学是高等院校大部分专业的一门重要基础理论课,是深入学习专业课程的必备基础. 随着数学在各学科中的应用日夜广泛,作为地理、环科、心理等专业的学生无论将来从事科研工作还是教学工作,都应该具备良好的数学基础和灵活应用数学的能力.本课程主要学习一元函数和多元函数的微积分学,以及无穷级数和常微分方程的主要内容,是将来进一步学习专业知识的必备的数学基础.为适应地理、环科等各类专业的特点和要求,使用本大纲应当遵循以下原则：强调基本概念的实际意义,而不追求概念的抽象性；强调基本理论的实际应用,而不追求理论的完备性；强调基本计算方法的实际操作,而不追求计算的技巧.业
使用教材：336260 37
主要教学参考书：336 26038
1. 萧树铁 主编, 一元微积分, 高等教育出版社,2000年7月33623 037
2. 萧树铁 主编, 多元微积分及其应用, 高等教育出版社,2000年5月kaoyangj
3. 同济大学应用数学系 编,微积分 （上册）,高等教育出版社,1999年9月共济网
4. 同济大学应用数学系 编,微积分 （下册）,高等教育出版社,2000年1月33623 037
5. 宣立新 主编, 高等数学 （上册）,高等教育出版社,1999年9月3362 3039
6. 宣立新 主编, 高等数学 （上册）,高等教育出版社,1999年9月021-
教学基本内容和学时分配：共济
第一章 函数（4学时）彰武
教学内容同济
1. 函数的概念200092
邻域；函数及其表示法研
2. 具有某些特性的函数课
有界函数；单调函数；奇函数与偶函数；周期函数.共
3. 初等函数
反函数；复合函数；初等函数
第二章 极限和连续（14学时）
教学内容
1. 数列及其极限
2. 自变量趋于无穷大时的函数极限
自变量趋于无穷大时的函数极限；数列极限
3. 自变量趋于有限值时的函数极限
函数极限的定义；左、右极限；函数极限和数列极限的关系.
4. 极限的性质
收敛数列的性质；函数极限的性质.
5. 无穷小量,无穷大量和极限的运算法则
无穷小量；无穷大量；无穷小量的四则运算；极限的四则运算法则；极限的复合运算法则.
6. 极限存在条件和两个重要极限
数列极限存在条件；函数极限存在条件；两个重要极限
7. 无穷大量和无穷小量的比较
8. 连续函数
函数的连续性；间断点及其分类；连续函数的运算和初等函数的连续性.
9. 闭区间上连续函数的性质
最大、最小值定理与有界性定理；介值定理与根的存在性定理
第三章 导数与微分（14学时）
教学内容
1. 导数的定义
导数的定义；导函数；导数的几何意义和物理意义；可导性与连续性的关系.
2. 求导法则
导数的四则运算法则；反函数的导数；复合函数的导数；基本求导法则与导数基本公式
3. 隐函数的导数；参变量函数的导数；平面曲线的切线和法线及其方程；导数的应用举例
4. 微分
微分的概念；微分的基本公式及运算法则；一阶微分形式的不变性；微分在近似计算中的应用
5. 高阶导数
高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数
第四章 微分中值定理与导数的应用（14学时）
教学内容
1． 中值定理
罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理
2． 不定式的极限
型与 型不定式的极限；其它类型不定式的极限
3． 函数的单调性和极值
函数单调性的判别法；函数极值的判别法；函数的最大值和最小值及其简单应用
4． 函数图象的讨论
曲线的凸性与拐点；曲线的渐近线；函数作图
5． 曲率
曲率的概念；曲率半径
6． 方程的近似解（牛顿切线法）
第五章 不定积分（12学时）
教学内容
1. 不定积分的概念与基本积分公式
原函数与不定积分；基本积分表；不定积分的线性性质
2. 换元积分法
第一类换元积分法；第二类换元积分法
3. 分部积分法
4. 几类特殊函数的不定积分
有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些简单无理函数的不定积分
第六章 定积分（14学时）
教学内容
1． 定积分的概念
定积分的定义；定积分的几何意义
2． 牛顿-莱布尼兹公式和定积分的性质
牛顿-莱布尼兹公式；定积分的性质；积分上限函数及其导数
3． 定积分的换元积分法与分部积分法
4． 定积分的近似计算
矩形法；梯形法；抛物线法
5． 定积分的应用
平面图形的面积；已知平行截面面积求立体体积和旋转体的体积；平面曲线的弧长；旋转曲面面积；定积分在物理学上的某些应用（变力作功,压力,引力,函数的平均值）.
6． 广义积分
无限区间上的广义积分；无界函数的广义积分
第七章 无穷级数（22学时）
教学内容
1． 数项级数的收敛性及其性质
无穷级数的概念；级数收敛的条件；收敛级数的性质
2． 正项级数
正项级数的收敛准则；比较判别法；比值判别法和根式判别法
3． 任意项级数
交错级数及莱布尼茨判别法；任意项级数的绝对收敛和条件收敛；绝对收敛级数的性质
4． 幂级数
函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域；幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法
5． 幂级数的应用
泰勒级数；泰勒中值定理；初等函数的幂级数展开；近似计算
第八章 空间解析与向量代数（16学时）
教学内容
1． 空间直角坐标系
空间直角坐标系；两点间的距离
2． 向量及其线性运算
向量概念；向量的线性运算（加、减与数乘）;向量的坐标与分解
3． 向量的数量积与向量积
向量的数量积；向量的向量积；向量的混合积；两向量垂直、平行的条件；向量的坐标表示式及其运算；单位向量；方向余弦
4． 平面与空间直线
平面的方程；两平面的相互关系和点到平面的距离；空间直线的方程；两直线的关系；直线与平面的关系
5． 曲面与空间曲线
曲面方程的概念；球面方程；柱面方程；锥面方程；旋转面的方程；椭球面；单叶双曲面和双叶双曲面；椭圆抛物面和双曲抛物面；空间曲线的参数方程和一般方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
第九章 多元函数微分法及其应用（18学时）
教学内容
1． 多元函数
多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质
2． 多元函数的偏导数与全微分
偏导数；二阶偏导数；全微分；全微分在近似计算中的应用
3． 复合函数和隐函数的微分法
复合函数的偏导数；一阶全微分形式不变性；隐函数的微分法
4． 方向导数与梯度
方向导数与梯度的概念及其计算
5． 多元函数微分学的几何应用
空间曲线的切线与法平面；曲面的切平面与法线
6． 多元函数的泰勒公式与极值
二元函数的二阶泰勒公式；多元函数的极值和条件极值的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用
第十章 重积分及其应用（16学时）
教学内容
1． 重积分的概念与性质
二重积分的概念、二重积分的性质；三重积分的概念和性质
2． 二重积分的计算
化二重积分为累次积分；用极坐标计算二重积分
3． 三重积分的计算
化三重积分为累次积分；用柱坐标变换计算三重积分；用球坐标变换计算三重积分
4． 重积分的应用
曲面的面积；物体的重心
第十一章 曲线积分与曲面积分（18学时）
教学内容
1． 第一型曲线积分
第一型曲线积分的概念；第一型曲线积分的计算
2． 第二型曲线积分
第二型曲线积分的概念；第二型曲线积分的计算
3． 格林公式；第二型曲线积分与路径无关的条件；已知全微分求原函数
4． 曲面积分
第一型曲面积分的概念与计算；曲面的侧；第二型曲面积分的概念与计算
第十二章 常微分方程（18学时）
教学内容
1． 一阶微分方程
微分方程的一般概念；可分离变量型微分方程；齐次型微分方程；一阶线性微分方程；贝努利方程；全微分方程
2． 二阶微分方程概念
可降阶的高阶微分方程；二阶线性微分方程解的性质和解的结构定理
3． 二阶线性常系数微分方程
二阶线性常系数齐次方程；二阶线性常系数非齐次方程.

由于1/(n+1)(n+4) =1/(n²+5n+4)≤1/(n²),而p级数∑1/(n²)收敛,由比较判别法知：∑1/(n+1)(n+4) 也收敛.

0 < 1/(n+1)(n+4) =< 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
因此Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)
所以lim（n→无穷）Sn=1
这里用的是列项相加法,是已知通项公式求数列前n项和的典型方法,适用于通项公式为分式的情况,然后进行部分分是展开.根据通项公式的不同还有其他求求解数列的部分和.

和1/(3/2)^n比较
比较判别法的极限形式
lim[n/(3^n)]/[1/2^n]
=lim n/2^n
=lim x->无穷 x/2^x
无穷除无穷,洛必达
=lim x->无穷 1/2^xln2
=0
而几何级数1/(3/2)^n收敛
所以n/3^n收敛

因(1/lnn)/(1/n)=n/lnn趋于无穷大,由比较判别法,级数发散

用比较判别法

lim(n->∞)【(n+1)/(n^2+n+1)】/(1/n)
=lim(n->∞) n(n+1)/(n^2+n+1)
=1
∑(n+1)/(n^2+n+1)和 ∑1/n 一样发散

比较判别法 不可以用于非正项级数.

当a>1时,级数和∑ 1/(1+a^n) 中
b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))
=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)
趋于1/a

设甲乙两绳各长x,y米
x+y=17
x（1-1/5）=y+1
即：x+y=17①
4x-5y=5②
①*5+②得
9x=90
x=10
将x=10代入①解得y=7
答：甲绳长10米,乙绳长7米.

lim【（n-1)/(n^2+1)】/【1/n】=1
即与1/n同阶,而1/n是发散的,所以发散

设an=(√n+2)/(2n-1)
那么lim[an/ (1/√n)]=lim [(n+2√n)/(2n-1)]=1/2
所以原级数与1/√n的敛散性一致.
所以原级数发散

因为当n趋向于无穷时,sin1/n近似为1/n

因为在n趋向无穷大时,
0

　　由于
　　　　|u(n)|/[1/(n^2)] = 1/n^(1/2) < 1,
( 或　　 |u(n)|/[1/(n^2)] = 1/n^(1/2) → 0 (n→inf.) ),
而 Σ[1/(n^2)] 收敛,据比较判别法(或其极限形式),得知该级数收敛.

小于n平方分之一,而n平方分之一收敛,故收敛

利用恒等式：
1 = (n+1) - n = (√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n),
级数的通项可以写成
1/(√(n+1) + √n)n^p,而当n->无穷时,这与
1/n^{p+1/2}是同阶的,这又是正项级数,所以收敛性与∑1/n^{p+1/2}相同（比较判别法）
又∵∑1/n^{p+1/2}收敛当且仅当p+1/2 > 1,即p>1/2
∴p>1/2时级数收敛,否则发散

因为∑1/(3n+1)>∑1/(4n),而∑1/(4n)=1/4∑1/n发散,所以原级数发散.

p-级数 Σ1/n^(3/2) 收敛
1/[n√(n+1)]

收敛,用比较判别法的极限形式.经济数学团队帮你解答.请及时评价.

第一题,通项1/lnn>1/n,由于调和级数1/n发散,根据比较审敛发,级数1/lnn发散.
第二题都不用比较审敛法,通项[n/(2n+1)]^2当n趋于无穷时极限不等于0,根据级数收敛的必要条件,该级数发散.

通过比较判别法或者等价替换的方法,
即可判定级数的敛散性.
具体解答如下,（后两张为Wolfram Alpha的验证结果）

首先你的“分界”这个词用的有些不恰当,一个级数要不收敛,要不发散,不存在第三种可能,这样看收敛与发散应该是有分界的,但是你要表达的明显不是这个意思,你应该想问是否存在发散最慢的级数,以至于比它“更慢”的级数都是收敛的,回答是否定的.我们知道调和级数∑1/n是发散的,这个级数已经是发散得很慢了（如果你可以用计算器算一下它的前几项,你可能都想象不出增长如此慢的级数竟然是发散的）,基于以上事实和调和级数的特殊形式,可能猜测调和级数是不是发散最慢的级数呢,不是!我们来构造一系列级数∑1/n,∑1/n(lnn),∑1/n(lnn)(lnlnn),根据正项级数的柯西积分判别法,知这一系列的级数都是发散的,但是由于lim(1/n)/[1/n(lnn)]=limlnn=∞,所以1/n(lnn)是比1/n更高阶的无穷小,也就是说这一系列的级数的发散速度是越来越慢的,因此不存在发散最慢的级数.事实上,正是由于比值审敛法的极限形式中选取的比较级数不存在发散最慢的,因此没有万能的比值审敛法,任何比值审敛法都有失效的时候（就像lima(n+1)/an=q这个审敛法在q=1时级数敛散性不确定）.

正项级数可以直接用来比较.
因为1/n是调和级数,是发散的,在乘以a还是调和级数,还是发散的.

题目与做法没有关系.比较法的极限形式比不等式形式更好用,所以用得更多.用来进行比较的常数项级数一般是等比级数与P级数,这个题目用P级数很明显更容易判断,如果你知道两个多项式函数相除的极限在∞/∞时的结果就知道为什么这么做了： 只要让分子分母的次数相同,结果就是一个正数.本题的分子比分母低一次,所以只要把分子的次数“补足”,极限的结果就是1,根据比较法就可以判断正项级数的收敛性了.