设x≥0,y≥0,则x+2y=1/2 ,那么z=log½（8xy+4y^2+1)的最大值?

根据题意,得
x=1/2 -2y≥0,得y≤1/4
∵y≥0
∴y∈[0,1/4]
将x=1/2 -2y代入8xy+4y²+1,得
8xy+4y²+1
=8y(1/2 -2y)+4y²+1
=4y-12y²+1
=-12y²+4y+1
此函数图像的对称轴是y=1/6,开口向下
在y∈[0,1/4]范围内,
最大值在y=1/6处取得,是4/3
最小值在y=0处取得,是1
∴8xy+4y²+1∈[1,4/3]
∴log1/2(8xy+4y^2+1)∈[log2(3) -2,0]
即最大值是0
最小值是-2+log2(3)
其中,log2(3)指的是以2为底,3的对数

记f（x,y）=8xy+4y^2+1
由x+2y=1/2得2x=1-4y
且由x>=0有y

f（x,y）=8xy+4y^2+1
由x+2y=1/2得2x=1-4y
且由x>=0有y

记f（x,y）=8xy+4y^2+1
由x+2y=1/2得2x=1-4y
且由x>=0有y

x+2y=1/2,
所以
8xy+4y^2+1=（x+2y）^2+4xy-x^2+1
=-x^2+4xy+5/4
=-x^2+2x(1/2-x)+5/4
=x^2-x+5/4
=(x-1/2)^2+1
又x>0,y≥0,且x+2y=1/2
所以
0＜x≤1/2
所以
0≤(x-1/2)^2＜1/4,
所以
1≤(x-1/2)^2+1＜5/4
即
1≤8xy+4y^2+1＜5/4
所以
log以1/2为底的（8xy+4y^2+1)的最小值是
=log以1/2为底的1
=0

用均值不等式来做

记f（x,y）=8xy+4y^2+1 由x+2y=1/2得2x=1-4y 且由x>=0有y

x=1/2 -2y
u=8xy+4y²+1
=8y（1/2-2y)+4y²+1
=4y-16y²+4y²+1
=-12y²+4y+1
=-12（y²-1/3y+1/36)+4/3
=-12(y-1/6)²+4/3

该抛物线开口向下,所以,当y=1/6时,u有最大值为4/3

用y替换x,得到y的取值范围,代入得到边际值,再用z对y求导等于0,如果有多解,用二阶导正负判定,若为负则为局部最大值(local maximum).再比较边际值和local maximum即可.

p=4y(y+2x)+1,考虑用均值不等式,即4/3*3y(y+2x)小于等于4/3*(4y+2x)^2/4=1/3,所以最大值4/3