微积分基本定理?微积分定理和微积分公式是?——..

我记得是高中选学2中的

被积函数必须在区间可积

给你推荐一本书,我正在看的
牛顿著：自然哲学之数学原理,写的很详细

1、在该定理的证明过程中用到了f(x)的连续,如果没有连续这个条件,后面的证明过程就不成立了.2、如果将条件换成可积,结论是不对的.例如分段函数
f(x)=x x≠1
2 x=1
这个函数只有一个可去间断点,因此在[0,2]内是可积的,但是这个函数的原函数不存在,因此微积分基本定理中的连续不能换成可积.
注：连续==>可积,连续==>原函数存在,但原函数存在与可积是两码事,不一样的.原函数存在不一定可积,可积也不一定原函数存在.

牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：
我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C
于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.

牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：
我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C
于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.

微积分最基础的定义就是无穷小量的级数求和.积分的范围是很广的,咱们一般说的积分都是指黎曼积分.当你的积分变量就是自变量的时候可以用牛顿莱布尼兹公式来计算定积分.牛莱公式仅仅是一个计算的方法,和微积分的定义没有半点关系.