求曲线方程与坐标轴围成面积问题时,用到微积分基本定理既牛顿~莱布尼兹公式,想问这条公式是怎么推导出来

huzhi20072022-10-04 11:39:543条回答

求曲线方程与坐标轴围成面积问题时,用到微积分基本定理既牛顿~莱布尼兹公式,想问这条公式是怎么推导出来
推导出来的,以及其原理.

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because1 共回答了10个问题 | 采纳率100%
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程:
我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:
b(上限)∫a(下限)f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数:
Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了:
Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质:
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).
证明:让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数.
证明:我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x)+C=F(x)
但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以F(a)=C
于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b)=F(b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.
1年前
jycxp 共回答了146个问题 | 采纳率
无限分割,再将被分割的对象求和
1年前
帅了一辈子 共回答了11个问题 | 采纳率
基本上面积是线段长度的累计,当你把面极限分割,就好像先把它切成了细丝,再把这些那个细丝组合(积分,把他们的长度合起来)就又回到面积了,这是用极限的定义导出来的
1年前

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设点(x1,y1)、(x2,y2)分别是曲线f(x,y)及其关于直线x-y-3=0对称的曲线上的点,则
(y1-y2)/(x1-x2)*1=-1,(x1+x2)/2-(y1+y2)/2-3=0,解得:x2=x1-3,y2=y1+3
故所求曲线方程为f(x1-3,y1+3)
如何用导数求抛物线的曲线方程
flying3101年前3
chm8822887 共回答了23个问题 | 采纳率82.6%
是求切线方程吧?具体如下
求抛物线:y^2=2px 在点(a,b)处切线的方程
解:抛物线方程两边对x求导:得:
2yy'=2p 即 y'=p/y
故抛物线在(a,b)处切线的斜率为p/b
所以在(a,b)处切线方程为: y-b=(p/b)(x-a)
又: b^2=2pa 所以 y+b=p(x+a)
即抛物线y^2=2px在(a,b)处切线方程为: y+b=p(x+a)
说明:对于一般二次曲线方程:
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 若其轨迹存在,则其上任一点(a,b)处的切线方程,可用代换法则直接写出:
Aax+(B/2)(bx+ay)+Cby+(D/2)(x+a)+(E/2)(y+b)+E=0
其证明也是方程两边对x求导,得切线斜率.再根据点斜式写出切线方程,整理即可.
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(x+y-1)√x-y-2=0
等价于x+y-1=0或x-y-2=0且x-y-2≥0
联立x+y-1=0与x-y-2=0
x=3/2
所以轨迹为直线x-y-2=0和射线x+y-1=0(x≥3/2)
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xueyuan31年前3
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应该是没学过反函数吧?
顶点(0,0)关于y=x的对称点还是(0,0),
焦点(2,0)关于y=x的对称点是(0,2)
所以,抛物线y²=8x关于直线y=x对称的曲线方程为:x²=8y
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其实你的条件不足.
举个例子吧,质点在xy平面做匀速圆周运动,在z方向做匀速直线运动,该质点的轨迹就是一个螺旋线.
轨迹方向用参数方程表示比较合适
x=rcosα
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曲线x2+y2=1左移2个单位再下移3个单位所得曲线方程
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dgjiang 共回答了22个问题 | 采纳率100%
x²+y²=1为圆,左移2个单位再下移3个单位所得曲线仍为圆
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所得曲线方程
(x+2)²+(y-3)²=1
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知道曲线方程,还有直线方程,怎么求曲线在某一点的切线与直线平行
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所谓曲线方程是指用来表示曲线的方程,也是相对于直线方程而言的.通常在二维平面上的直线方程是用Ax+By=C来表示,其中x和y的次数都是1,而曲线方程中x和y的次数至少有一个不是1.
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已知F1(-4,0)F2(4,0),动点M满足MF1+MF2=10,求动点的轨迹方程(用曲线方程相关概念说明,我们没学椭圆呢)
colefinn1年前1
anxiang413 共回答了15个问题 | 采纳率100%
解设M(x,y)则由MF1+MF2=10得
√{(x-4)²+y²}+√{(x+4)²+y²}=10
√{(x-4)²+y²}+√{(x+4)²+y²}=10
移项即√{(x-4)²+y²}=10-√{(x+4)²+y²}
平方得x²+4²-8x+y²=100-20√{(x+4)²+y²}+x²+4²+8x+y²
即20√{(x+4)²+y²}=100+16x
即5√{(x+4)²+y²}=25+4x
平方得25(x²+4²+8x+y²)=625+200x+16x²
25x²+a400+200x+25y²=625+200x+16x²
即(25-16)x²+25y²=625-400=225
即得x²/25+y²/9=1
已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,
已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是(  )
A. (-∞,-1)∪(-1,0)
B. (-∞,-1)∪(0,+∞)
C. (-1,0)∪(0,+∞)
D. a∈R且a≠0,a≠-1
换ID重进TY1年前2
selobo 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%
解题思路:先将条件“对任意实数m直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线”转化成f'(x)=-1无解,然后求出2sinxcosx+2a=-1有解时a的范围,最后求出补集即可求出所求.

∵对任意实数m直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线
∴曲线y=f(x)的切线的斜率不可能为-1
即f'(x)=2sinxcosx+2a=-1无解
∵0≤sin2x+1=-2a≤2
∴-1≤a≤0时2sinxcosx+2a=-1有解
∴对任意实数m直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是a<-1或a>0
故选B.

点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

考点点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及转化的数学思想,解题的关键是对条件“对任意实数m直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线”的理解,属于基础题.

求线性代数帝是线性代数的实际运用,已知x-y平面上有(2,3),(3,1),(-1,3),求过这三点的曲线方程y(x)=
求线性代数帝
是线性代数的实际运用,
已知x-y平面上有(2,3),(3,1),(-1,3),求过这三点的曲线方程y(x)=Ax*x+Bx+C
景天8821年前1
四号仔 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%
就是根据曲线方程带进即可
4A+2B+C=3
9A+3B+C=1
A-B+C=3
解得:
A=-1/2
B=1/2
C=4
曲线方程:
y(x)=-1/2x*x+1/2x+4
如何求曲率半径?一个曲线方程:Y(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D 其中A、B、C、D为系数,如何求该方程的曲率方程及
如何求曲率半径?
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浪漫好在yy1年前1
沙漠红阳 共回答了15个问题 | 采纳率80%
求导?
曲线方程和函数有什么区别吗?最好举例子说明一下阿
惨了1年前1
魔法贪吃猫 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
首先,函数的自变量和因变量是一一对应的,一个X值只有一个相应的Y值与之对应,而曲线方程则不然,比如一个椭圆方程中,对于一个X值有两个Y值与之对应.像这样的曲线方程就不能成为一个函数的表达式.
其次,函数表达式表示的是两个变量之间一一对应的关系,而曲线方程则借用点的集和的方式来将一个曲线以代数的形式表现出来,实质上一个曲线的表达方式应该是{(x,y)|曲线方程}
经过点M(10,0)作圆C:(x-4)^2+y^2=100的弦AB,则弦AB中点N所在的曲线方程为
lixiang45521年前1
ff寒风 共回答了13个问题 | 采纳率76.9%
先设出AB所在的方程l:
AB不垂直于x轴时:y-0=k(x-10),k为任意实数
再设出N=(x,y),A=(x1,y1),B=(x2,y2)
因此,有:
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
然后考虑A,B在圆上:
(x1-4)^2+y1^2=100
(x2-4)^2+y2^2=100
相减:
(x1-4)^2+y1^2-(x2-4)^2-y2^2=0
(x1+x2-8)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
(2x-8)(x1-x2)=-2y(y1-y2)
(x-4)=-y * (y1-y2)/(x1-x2)
利用斜率的定义:k=(y1-y2)/(x1-x2)
即得:x-4=-ky
又有:y=kx-10k
联立上两式,消去k
y=[(4-x)/y]*(x-10)
整理:
y^2+(x-4)(x-10)=0
y^2+x^2-14x+40=0
(x-7)^2+y^2=9
当AB垂直于x轴时,N=(10,0)
因此,综上所述,
N所在的方程为:(x-7)^2+y^2=9
有不懂欢迎追问
经过点M(10,0)作圆C:(x-4)^2+y^2=100的弦AB,则弦AB中点N所在的曲线方程为希望有详细的过程,
一个现代话1年前1
我100次喜欢 共回答了13个问题 | 采纳率100%
设AB所在的方程l:
AB不垂直于x轴时,l:y=k(x-10),k为任意实数
设N(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)
因此,有:x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
即x1+x2=2x,y1+y2=2y
因为A,B在圆上,所以满足:
(x1-4)^2+y1^2=100
(x2-4)^2+y2^2=100
两式相减得:
(x1-4)^2+y1^2-(x2-4)^2-y2^2=0
即(x1+x2-8)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
将x1+x2=2x,y1+y2=2y代入得:
(2x-8)(x1-x2)=-2y(y1-y2)
即(x-4)=-y * (y1-y2)/(x1-x2)
利用斜率的定义:k=(y1-y2)/(x1-x2)
即得:x-4=-ky
又有:y=kx-10k
联立上两式,消去k
y=[(4-x)/y]*(x-10)
整理:
y^2+(x-4)(x-10)=0
y^2+x^2-14x+40=0
(x-7)^2+y^2=9
当AB垂直于x轴时,N(10,0)
因此,综上所述:
N所在的方程为:(x-7)^2+y^2=9
为什么求曲线方程的切线方程时,两式联立,因为切点,所以△=0?
秦1思1雨1年前1
dingye168 共回答了22个问题 | 采纳率95.5%
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cathy79651年前1
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Z=rcos&
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&是r与z轴形成的角
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非齐次项(即方程右边)为2x,它与特征根项e^x不同,因此特解形式是同阶次的多项式,可设为y*=ax+b
则y*'=a, 代入原方程:a-ax-b=2x,
对比系数: -a=2, a-b=0
解得a=-1, b=-2, 故特解为y*=-2x-2, 这里是指满足y'-y=2x的特解,但并不是满足初始条件过原点的特解.
原方程的通解为y=y1+y*=Ce^x-2x-2
代入初始条件y(0)=0,得0=C-2,得C=2
所以满足初始条件的解为y=2e^x-2x-2.
曲线方程分方向的加速度怎么算
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切向加速度用dv/dt计算.
法向加速度先求曲率半径p,然后用mv²/p计算
这样的题目应该是要能知道速度关于时间的函数的,否则没法算
圆锥曲线题目:已知曲线方程为y=x^2,则过点B(2,4)且与曲线相切的直线方程为?
hy123111年前1
123xiaofeng 共回答了13个问题 | 采纳率100%
把B点带入曲线方程,则B在曲线上
说明B点是切点
对曲线方程求导得y'=2x 带入x=2 得到直线斜率k=2*2=4
y=4x+b 过B点 4=4*2+b b=-4
则直线为 y=4x-4
曲线方程的切向量方程怎么求?曲面方程的法向量方程怎么求?
哀猫1年前1
zzz198 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%
对于曲线的切向量,如果由参数方程给出,则变量分别对参数求导即可,如果是由方程组给出,一般可以其他变量对某个变量的隐函数存在,因而此时把其他变量都看做这个变量的函数对方程组的各方程对这个变量求导,解出其他变量...
怎样根据曲线的多个点求出曲线方程(并不知道是什么方程).
aking2241年前1
hcxmrk 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
如果是n个不同点,可用n-1次多项式来求,可以用待定系数法或直接根据拉格朗日插值公式写出多项式.
如果是多于n个点,但要用n-1次(或更低次)多项式来拟合,则可用最小二乘法来求得各项系数.
如果不是用多项式来拟合,那要先事先分析观察出曲线的形式,用待定系数法或最小二乘法得出曲线方程.
用曲线方程的定义说明,以点(1,1)为圆心,半径为1的圆的方程是(x-1)∧2+(y-1)∧2=1
ahhb1年前1
假如phd2006 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
作图可知x^2+y^2=1是一个以1为半径,(0,0)为圆心的圆,由平移的性质知(x-1)∧2+(y-1)∧2=1是一个以(1,1)为圆心,1为半径的圆
关于几道曲线方程的题~1.曲线y^2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是A.y^2=8-4xB.y^2=4x-8C.y^
关于几道曲线方程的题~
1.曲线y^2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是
A.y^2=8-4x
B.y^2=4x-8
C.y^2=16-4x
D.y^2=4x-16
2.曲线y=|x|与y=kx+1有两个交点,则k的取值范围是________.
3.两条直线ax+y+1=0和x-ay-1=0(a为参数,且a≠±1)的交点的轨迹方程是________.
其他的我懂了,谁能讲讲第二题!
30fufu1年前2
彩民甲 共回答了18个问题 | 采纳率100%
1.C
2.{k|k>1或k
已知点F1(-4,0)和F2(4,0),曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6,则曲线方程为(  )
已知点F1(-4,0)和F2(4,0),曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6,则曲线方程为(  )
A.
x2
9
-
y2
7
=1
B.
y2
9
-
x2
7
=1(y>0)
C.
x2
9
-
y2
7
=1或
y2
9
-
x2
7
=1
D.
y2
9
-
x2
7
=1
E:
x2
9
-
y2
7
=1(x>0)
singlecat_zhu1年前1
yidaba 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%
解题思路:由于|F1F2|=8>6,利用双曲线的定义即可得到答案.

∵F1(-4,0)和F2(4,0),曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6,
即|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,
∴由双曲线的定义可知,动点P的轨迹为单支双曲线,2a=6,2c=8,
∴b2=c2-a2=16-9=7,
∴曲线方程为
x2
9-
y2
7=1(x>0),
故选E.

点评:
本题考点: 双曲线的标准方程.

考点点评: 本题考查双曲线的标准方程,掌握双曲线的概念是根本,忽视概念中的“差的绝对值”是易错之处,属于中档题.

曲线方程F(X,Y)与函数解析式y=f(x)所表示的图形有什么区别
dxj_2446651年前2
比目鱼的吻 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%
首先纠正个错误既然是个方程就必须有个=吧,应该F(X,Y)=0
F(X,Y)=0表示的是一个以0Z轴为母线以F(X,Y)=0,Z=0为准线的柱面例如X^2+Y^2=R^2就表示圆柱面,是一个立体的三维空间里的
y=f(x)表示的是一个平面图形,是二维空间里的
两者显然有本质的区别
有问题可以HI我大家一起进步
曲线C:2X^2+Y^2-X+2Y-3=0关于Y轴对称的曲线方程是
曲线C:2X^2+Y^2-X+2Y-3=0关于Y轴对称的曲线方程是
关于直线Y=-X对称的曲线方程是?
关于直线Y=X+1对称的曲线方程是?
娃baobao1年前1
晨晨bb 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%
对于曲线上的任意一点(x,y),找到它关于相应对称轴对称的点,然后用新的坐标代进原式即可.
三种情况的对称点分别为(-x,y) (-y,-x) (y-1,x+1),将它们分别代入原方程即得到变换后的方程
将曲线(x-2)(y+1)=1沿x轴向右平移一个单位,再沿y轴向下平移2个单位,求曲线方程
将曲线(x-2)(y+1)=1沿x轴向右平移一个单位,再沿y轴向下平移2个单位,求曲线方程
RT
sfkljslkjio1年前3
413603000 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
x---左加右减;y----上减下加
题意得
(x-2-1)(y+1+2)=1
(x-3)(y+3)=1
(x-3)y+3x-9=1
(x-3)y=10-3x
∴曲线方程: y=(10-3x)/(x-3)
曲线Y=2的X次方关于直线X-Y+1=0对称的曲线方程
曲线Y=2的X次方关于直线X-Y+1=0对称的曲线方程
正确答案是2^y=2x=2
nanianhuakai1年前4
爱玛 共回答了22个问题 | 采纳率81.8%
设所求曲线上任一点为P(x,y)其对称点为Q(x’,y’),则
PQ的中点为M((x+x’)/2,(y+y’)/2),因为对称,所以M在直线X-Y+1=0上,所以
[(x+x’)/2]-[(y+y’)/2]+1=0,化简得
(x+x’)-(y+y’)+2=0 …………①
PQ连线的斜率为(y-y’)/(x-x’),因为轴对称,所以直线PQ与直线X-Y+1=0垂直,即二者斜率乘积为-1,即
[(y-y’)/(x-x’)]*1= -1,化简得
(x-x’)+(y-y’)=0 …………②
①②联立,以x’、y’为未知数,解得
x’=y-1
y’=x+1
因为点Q(x’,y’)在曲线Y=2^X上,将Q的坐标代入Y=2^X得
x+1=2^(y-1),化简即得所求的曲线方程:
y=1+log(x+1) 尖括号内的数是底数.
也可写成2^y=2x+2
曲线x²+4y²=4关于直线x=3对称的曲线方程是
曲线x²+4y²=4关于直线x=3对称的曲线方程是
xtjat661年前2
我烦别理我 共回答了20个问题 | 采纳率90%
中心对称点(6,0)
(x-6)^2+y4y^2=1
(2014•九江三模)如图所示,竖直平面内有一坐标系xoy,内壁光滑的细弯管OB对应的曲线方程y=[1/3.2]x2,弯
(2014•九江三模)如图所示,竖直平面内有一坐标系xoy,内壁光滑的细弯管OB对应的曲线方程y=[1/3.2]x2,弯管上端O与一半径为R=1.2m的[1/4]光滑圆轨道末端水平面相切.已知细弯管最下端B的纵坐标yB=1.8m;g取10m∕s2.求:
(1)要使一小球能不与细圆管轨道壁发生碰撞地通过细管,小球要从距光滑圆轨道末端多少高度h1处由静止开始下滑?
(2)若小球从距光滑圆轨道底端高度h2=1.2m处由静止开始下滑,求小球从细弯管轨道的下端B出口飞出时速度的竖直分量vy
missssprout1年前1
xinti 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%
解题思路:(1)要使一小球能不与细圆管轨道壁发生碰撞地通过细圆管轨道,小球进入圆管后做平抛运动,根据平抛运动的规律求出平抛运动的初速度,即小球到达O点的速度,再根据小球从静止开始到O点的过程机械能守恒,列式求解高度h1
(2)再根据平抛运动和机械能守恒定律结合求解小球从细圆管轨道的下端B出口飞出时速度的竖直分量vy

(1)细圆管轨道末端B的横坐标:xB=
3.2yB=
3.2×1.8m=2.4m
设平抛运动的初速度为v1,v1=
xB
t=
xB


2yB
g=
2.4


2×1.8
10m/s=4m/s
设小球静止开始到A点的下滑的高度为h1,由机械能守恒定律有:
mgh1=[1/2]mv12
解得:h1=

v21
2g=
42
2×10m=0.8m;
(2)设小球从轨道下端飞出时速度方向与水平方向的夹角为θ,
tanθ=
vy
vx=
gt
v1=

1
2gt2

点评:
本题考点: 机械能守恒定律;平抛运动.

考点点评: 本题是机械能守恒定律和平抛运动规律的综合应用,要熟练运用运动的分解法研究平抛运动,并结合数学知识求解.

已知一条曲线在平面坐标系中,曲线上二点坐标分别为(0,102),(80,95),求曲线方程.
已知一条曲线在平面坐标系中,曲线上二点坐标分别为(0,102),(80,95),求曲线方程.
用二点间距离公式求方程不对
3289093211年前3
0tf日3s 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%
当为直线才能用二点间距离公式求方程
求曲线方程y=x^(1/2)有平行于直线y=1/2x+1的切线,求此切线方程
sky-秋水伊人1年前1
宝宝欢 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%
y=x^(1/2)
y'=1/2*x^(-1/2)=1/(2√x)
平行于直线y=1/2x+1的切线的斜率K=1/2=1/(2√x)
x=1,y=1
所以,切点为(1,1)
切线方程:y-1=1/2(x-1)
即为:x-2y+1=0
方程根号下x-1乘以lg(x^2+y^2-1)=0的曲线方程是
87se44g1年前2
大家都快乐d 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%
解由√(x-1)×lg(x^2+y^2-1)=0
得lg(x^2+y^2-1)=0或√(x-1)=0
即x^2+y^2-1=1或x=1
即得x^2+y^2=2或x=1
由方程x^2+y^2=2表示以(0,0)为圆心,以√2为半径的圆,
方程x=1表示垂直与x轴的直线,
故√(x-1)×lg(x^2+y^2-1)=0表示的曲线
为以(0,0)为圆心,以√2为半径的圆或直线x=1.