方程组AX=0有解的充要条件是不用太详细,只要能解相应的题就可以了!

已知向量a1,a2,a3为方程组AX=0向量的基础解系,试证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也为该方程组的基础解系

好好爱偶像1年前2

cpbckfx88 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%

a1为方程组AX=0向量的解
说明A*a1＝0
同理A*a2＝A*a3＝0
所以A*(a1+a2)＝A*a1+A*a2＝0
所以a1+a2也为该方程组的解
同理a2+a3和a1+a3也为该方程组的解
但是并不是随便3个解都能组成基础解系,还要满足线性无关
我们已经知道矩阵（a1,a2,a3）是无关的,那么
（a1+a2,a2+a3,a3+a1）
＝（a1,a2,a3）*
｜ 1 0 1 |
｜ 1 1 0 |
｜ 0 1 1 |
后面的矩阵不等于0,所以矩阵（a1+a2,a2+a3,a3+a1）也无关
所以a1+a2,a2+a3,a3+a1也为该方程组的基础解系

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方程组AX=0以n1(1 0 2)T,n2(0 1 -1)T为其基础解系,求该方程的系数矩阵

磊落07691年前1

vitamin007 共回答了28个问题 | 采纳率96.4%

该方程组的系数矩阵的秩为1.“线性无关”的方程式只有一个
设为ax+by+cz＝0
则a-2c＝0 b-c＝0 ﹙a,b,c﹚＝k﹙2,-1,-1﹚
方程组的系数矩阵为
[k1﹙2,-1,-1﹚,k2﹙2,-1,-1﹚,……,km﹙2,-1,-1﹚]
其中k1×k2×……×km≠0 [方程组含m个方程式]

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证明方程组AX=0的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系.

就是一一枪1年前2

lemontree_fls 共回答了20个问题 | 采纳率100%

反证.
若有n-r个线性无关的解向量 a1,...,an-r 不是AX=0 的基础解系
由基础解系的定义知 至少有一个解向量b 不能由 a1,...,an-r 线性表示
因此 a1,...,an-r,b 线性无关
这与 AX=0 的基础解系含n-r个向量矛盾.

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为什么r(A)=1,所以方程组AX=0的基础解系含n-r(A)个线性无关的解向量?

昶月的天空1年前1

终于能说话了 共回答了23个问题 | 采纳率95.7%

方程组AX=0的基础解系含n-r(A)个线性无关的解向量,这是定理,与 r(A)=1没有因果关系

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线性代数，求大师指教！急啊设4维向量组a1,a2,a3,a4,令A=(a1,a2,a3,a4)且方程组AX=0的通解为K

线性代数，求大师指教！急啊
设4维向量组a1,a2,a3,a4,令A=(a1,a2,a3,a4)且方程组AX=0的通解为K(1,0,1,0)T证明a2,a3,a4为a1,a2,a3,a4的一个最大无关组。

幸福小候1年前1

caddiewang 共回答了20个问题 | 采纳率85%

【分析】
首先需要知道极大无关组的个数，通过Ax=0的基础解系个数n-r(A)来得到
其次需要知道线性无关性，通过解来得到。

【解答】
由Ax=0的通解，得n-r(A) = 1 = 4-r(A) ，r(A) =3
(1，0，1，0)T是Ax=0的一个解，即α1+α3=0，α1与α3线性相关。
所以α1，α2，α3，α4的一个极大无关组为α2，α3，α4.


newmanhero 2015年6月6日10:35:42

希望对你有所帮助，望采纳。

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线性代数的一个小问题A为4阶矩阵,r（A）=3 所以方程组AX=0的基础解系含有 一个线性无关解向量.这句话怎么理解啊?

南生5201年前2

我能不是我吗 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%

其实根据常识,就是说一个方程决定一个未知数.
所谓的秩,可以理解为有效方程的个数,就是说不成比例,独立的方程个数.
比如,x1+x2+3x3=0,2x1+2x2+6x3=0 虽然有两个方程,但是有效的只有1个.
那么A为4阶方阵,就有四个未知数,r（A）=3 ,相当于有3个独立方程,所以方程组AX=0还有1个未知数是不能被确定的,称为自由分量,每给这个自由分量赋予一个定值,就能确定出一组方程的解.
假设r（A）=2,相当于只有2个独立方程,那么就有两个未知数是自由变量,自由变量的个数,就是线性无关解向量的个数.你可以通过方程组通解的形式和线性无关的定义去理解这个含义.

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线性代数：若方程组Ax=0含有自由未知量,则方程组Ax=b将有无穷多解.这个结论为什么是错的?

线性代数：若方程组Ax=0含有自由未知量,则方程组Ax=b将有无穷多解.这个结论为什么是错的?
如题.答案中说是错的.为什么啊.

sbtihc1年前1

duoduo0018 共回答了20个问题 | 采纳率90%

对系数矩阵做初等行变换,化成阶梯型矩阵后,观察0行,自由未知量全在阶梯型矩阵0行中.举个特殊情况：假如阶梯型矩阵“0行的第一行”是在“阶梯型矩阵的第m行”,假如阶梯型矩阵前(m-1)主对角元素均不为0.则自由未知量就是xm,一直到最后一个未知量.
原理是：初等行变换把方程组变成同解的方程组和克莱姆法则.
我用了特例给你解释一下吧!我可能没给你说清楚!我举个特例如下：
例如一个4乘5的系数矩阵化成阶梯型矩阵之后形式是
则自由未知量是x3,x4,x5.
关于克莱姆法则,在讨论线性方程组解的个数（无解,有唯一解,无穷多解）中用到,这是理论方面的,主要用的原理是初等行变换把方程组变成同解的方程组.

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设A是数域F上n阶幂等方阵,证:n维线性空间上Fn可分解为方程组AX=0及(A-E)X=0的解空间的直和

设A是数域F上n阶幂等方阵,证:n维线性空间上Fn可分解为方程组AX=0及(A-E)X=0的解空间的直和
加多一个条件A2(平方)=A

chery21年前1

liuboshan 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

记Ax=0的解空间是W1,（E--A)x=0的解空间是W2,
对任意的x位于Fn中,有x=Ax+(E--A）x,其中Ax=y满足（E--A)y=（E--A)Ax=Ax--A^2x=0,故Ax位于W2中,类似的,(E--A)x满足A（(E--A)x)=A--A^2x=0,故（E--A)x位于W1中,故Fn=W1+W2.下面证明是直和.
若x同时满足Ax=0和（E--A）x=0,则x=x--Ax=（E--A）x=0,于是W1+W2是直和.

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设数域R上的n阶方阵A,B,C,方程组AX=0与BAX=0同解,试证:rank(AC)=rank(BAC)

阳光柔弱1年前0

共回答了个问题 | 采纳率

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若方程组Ax=0有非零解,则方程组Ax=b必 A有唯一解 B无唯一解 C有无穷多解

ee辉5201年前3

xmuljj 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

选B
设AX=0为n元方程组
因为Ax=0有非零解
所以R（A）＜n
①若R（A）＜R（A,b）,则AX=b无解
②若R（A）=R（A,b）＜n,则Ax=b有无穷多解
综上：AX=b无唯一解

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矩阵A=1212;01TT;1T01齐次线性方程组Ax=0的基础解析含有两个线性无关的解向量,试求方程组Ax=0的全部解

pnru9sx1年前1

adhaizi 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

题目条件给的是Ax=0有两个线性无关解向量,所以,rank(A)=4-2=2,这里的4是未知数个数,即A的列向量个数,2是解向量组的秩.
行变换化简A,可以得到T=1,这时A就变成一个已知矩阵了,你再解方程就行了

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问个线性相关性的问题为什么当A的行向量组与B的行向量组等价得出方程组Ax=0与Bx=0同解后就可以推出A的任意k个列向量

问个线性相关性的问题
为什么当A的行向量组与B的行向量组等价得出方程组Ax=0与Bx=0同解后就可以推出A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相关?

gqlovesa1年前1

icghwe 共回答了19个问题 | 采纳率78.9%

这可以从两个角度考虑.
1.齐次线性方程组Ax=0的向量形式为 x1a1+...+xnan = 0 (ai是A的列向量)
其非零解 (k1,...,kn)^T 意味着 k1a1+...+knan = 0
这说明了A的列向量组中部分组的线性相关性.
两个齐次线性方程组同解,说明了它们的系数矩阵的列向量组的线性相关性的一致
2.两个齐次线性方程组同解
则 A,B 的行最简形相同
而矩阵经初等行变换后列向量的线性相关性保持不变(定理)
所以 A,B的列向量有相同的线性相关性.
你琢磨一下吧,好像不是太好理解,

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