设f(x)=cos2x+sinx 求f(π/3)的值

f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-[1/2]）²+[5/4]．
∵x∈[-[π/4]，[π/4]]故sinx∈[ −

2
2，

2
2]
故当sinx=−

2
2时，函数取到最小值y_min=
1−
2
2．
即当x=-[π/4]时，y_min=
1−
2
2．
故选 D．

点评：
本题考点： 三角函数的最值；同角三角函数间的基本关系．

考点点评： 本题的考点是三角函数的最值，考查用配方法求复合三角函数在闭区间上的最值，本题是三角函数求最值里常见的一种题型，其特点是借助二次函数的图象求最值．

方程cos²x+sinx-a=0，
变形得：a=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1=-（sinx-[1/2]）²+[5/4]，
∵-1≤sinx≤1，
∴a的范围为[-1，[5/4]]．

点评：
本题考点： 同角三角函数基本关系的运用

考点点评： 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

∵cos²x+sinx-a=0
∴-sin²x+sinx+1-a=0
等价于：-y²+y+1-a=0
∴a=-（y-[1/2]）²+[5/4]
∵y∈[-1，1]
∴-（y-[1/2]）²∈[−
9
4，0]
即a∈[−1，
5
4]
∴a的最小值为：-1

点评：
本题考点： 复合三角函数的单调性．

考点点评： 结合了三角函数和二次函数的内容，属于中档题．

由|x|≤[π/4]，得到-[π/4]≤x≤[π/4]，
设sinx=t，则t∈[-

2
2，

2
2]，
所以y=1-sin2x+sinx=-(t-
1
2)2+
5
4，t∈[-

2
2，

2
2]，
故当t=
1
2即x=
π
6时，ymax=
5
4，
当t=-

2
2即x=-
π
4时，ymin=
1-
2
2．

点评：
本题考点： 同角三角函数间的基本关系；二次函数的性质．

考点点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，二次函数的性质，以及正弦函数的图象与性质，本题的思路是：利用同角三角函数间的基本关系把函数解析式化为关于sinx的二次函数，并求出自变量sinx的范围，利用二次函数的性质来解决问题．

y=2x+sinx的定义域为R，
∵y′=2+cosx，且cosx∈[-1，1]
∴y′＞0
∴函数y=2x+sinx的单调递增区间是（-∞，+∞）
故答案为（-∞，+∞）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考察了导数在函数单调性中的应用，三角函数的有界性等基础知识．

∵cos²x+sinx-a=0
∴-sin²x+sinx+1-a=0
等价于：-y²+y+1-a=0
∴a=-（y-[1/2]）²+[5/4]
∵y∈[-1，1]
∴-（y-[1/2]）²∈[−
9
4，0]
即a∈[−1，
5
4]
∴a的最小值为：-1

点评：
本题考点： 复合三角函数的单调性．

考点点评： 结合了三角函数和二次函数的内容，属于中档题．

（Ⅰ）∵f（x）=cos²x+sinx-1=1-sin²x+sinx-1=-sin²x+sinx=-（sinx-[1/2]）²+[1/4]，
∴f（[7π/6]）=-（-[1/2]-[1/2]）²+[1/4]=-[3/4]；
（Ⅱ）∵x∈[-[π/6]，[2π/3]]，∴sinx∈[-[1/2]，1]，
∴sinx-[1/2]∈[-1，[1/2]]，
∴（sinx-[1/2]）²∈[0，1]，
∴-（sinx-[1/2]）²∈[-1，0]，
即-（sinx-[1/2]）²+[1/4]∈[-[3/4]，[1/4]]，
则f（x）的取值范围为[-[3/4]，[1/4]]．

点评：
本题考点： 同角三角函数基本关系的运用；三角函数的最值．

考点点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及正弦函数的值域，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

f（0）=1，故此函数不是奇函数，f（[π/2]）=1，f（-[π/2]）=-1，故函数不是偶函数，故 A为真命题；
∵f′（x）=-2cosxsinx+cosx=cosx（1-2sinx），当x∈(
π
2，
5π
6)时，sinx∈（[1/2]，1），1-2sinx＜0，cosx＜0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在(
π
2，
5π
6)上是增函数，B为真命题；
∵f（x+2π）=cos²（x+2π）+sin（x+2π）=cos²x+sinx=f（x），∴f（x）是周期函数，故C为真命题；
令cos²x+sinx=0，即-sin²x+sinx+1=0，sinx=
1+
5
2（舍去）或sinx=
1−
5
2，在[-π，0]上有两个零点，故D为假命题；
故选D

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了函数的奇偶性及其判断方法，三角函数的单调性及其判断方法，函数周期定义即三角方程的解法，属基础题

∵cos²x+sinx-a=0
∴-sin²x+sinx+1-a=0
等价于：-y²+y+1-a=0
∴a=-（y-[1/2]）²+[5/4]
∵y∈[-1，1]
∴-（y-[1/2]）²∈[−
9
4，0]
即a∈[−1，
5
4]
∴a的最小值为：-1

点评：
本题考点： 复合三角函数的单调性．

考点点评： 结合了三角函数和二次函数的内容，属于中档题．

y=2x+sinx的定义域为R，
∵y′=2+cosx，且cosx∈[-1，1]
∴y′＞0
∴函数y=2x+sinx的单调递增区间是（-∞，+∞）
故答案为（-∞，+∞）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考察了导数在函数单调性中的应用，三角函数的有界性等基础知识．

函数f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-[1/2]）²+[5/4]，
因为|x|≤
π
4，所以sinx∈[-

2
2，

2
2]，
当sinx=-

2
2时，函数取得最小值：
1-
2
2．
故答案为：
1-
2
2．

点评：
本题考点： 正弦函数的定义域和值域；二次函数的性质；同角三角函数间的基本关系．

考点点评： 本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想，常考题型．

∵cos²x+sinx-a=0
∴-sin²x+sinx+1-a=0
等价于：-y²+y+1-a=0
∴a=-（y-[1/2]）²+[5/4]
∵y∈[-1，1]
∴-（y-[1/2]）²∈[−
9
4，0]
即a∈[−1，
5
4]
∴a的最小值为：-1

点评：
本题考点： 复合三角函数的单调性．

考点点评： 结合了三角函数和二次函数的内容，属于中档题．

函数f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-[1/2]）²+[5/4]，
因为|x|≤
π
4，所以sinx∈[-

2
2，

2
2]，
当sinx=-

2
2时，函数取得最小值：
1-
2
2．
故答案为：
1-
2
2．

点评：
本题考点： 正弦函数的定义域和值域；二次函数的性质；同角三角函数间的基本关系．

考点点评： 本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想，常考题型．