y=sinx+12sin2x+1/3sin3x,周期是多少

（Ⅰ）f(x)=
1
2cos2x=
1
2sin(2x+
π
2)=
1
2sin2(x+
π
4)，
所以要得到f（x）的图象只需要把g（x）的图象向左平移[π/4]个单位长度，再将所得的图象向上平移[1/4]个单位长度即可．
（Ⅱ）h(x)=f(x)-g(x)=
1
2cos2x-
1
2sin2x+
1
4=

2
2cos(2x+
π
4)+
1
4．
当2x+[π/4]=2kπ+z（k∈Z）时，h（x）取得最小值-

2
2+
1
4=
1-2
2
4．
h（x）取得最小值时，对应的x的集合为{x|x=kπ+
3π
8，k∈Z}．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题主要考查了三角函数中恒等式变换应用，两角和公式，图象的平移等知识点．三角函数中公式多且复杂，平时应注意多积累．

（1）∵f（x）=cos²x=[1/2]+[1/2]cos2x
∴2x₀=kπ，k∈Z，
∴g（2x₀）=1+[1/2]sin4x₀=1+[1/2]sin2kπ=1

（2）∵h（x）=f（x）+g（x），
∴h（x）=cos²x+1+[1/2]sin2x=[1/2]+[1/2]cos2x+1+[1/2]sin2x=

2
2sin（2x+[π/4]）+[3/2]
∵x∈[0，[π/4]]，∴[π/4]≤2x+[π/4]≤[3π/4]
∴

2
2≤sin（2x+[π/4]）≤1
∴2≤

2
2sin（2x+[π/4]）+[3/2]≤

点评：
本题考点： 三角函数的化简求值；三角函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了三角函数最值问题，二倍角公式的化简求值等．考查了学生基础运算的能力和综合运用所学知识的能力．

（Ⅰ）f(x)=
1
2cos2x=
1
2sin(2x+
π
2)=
1
2sin2(x+
π
4)，
所以要得到f（x）的图象只需要把g（x）的图象向左平移[π/4]个单位长度，再将所得的图象向上平移[1/4]个单位长度即可．
（Ⅱ）h(x)=f(x)-g(x)=
1
2cos2x-
1
2sin2x+
1
4=

2
2cos(2x+
π
4)+
1
4．
当2x+[π/4]=2kπ+z（k∈Z）时，h（x）取得最小值-

2
2+
1
4=
1-2
2
4．
h（x）取得最小值时，对应的x的集合为{x|x=kπ+
3π
8，k∈Z}．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题主要考查了三角函数中恒等式变换应用，两角和公式，图象的平移等知识点．三角函数中公式多且复杂，平时应注意多积累．

∵函数f（x）=12sin2x+sinx，∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+14)2−98，当cosx=−14时，f′（x）取得最小值−98；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．且f′（-x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又...

点评：
本题考点： 简单复合函数的导数．

考点点评： 熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．

（1）当m=1时，f（x）=
2cos²(x+
3
4π)−
1
2sin2x
=

2
2[1+cos(2x+
3π
2)] −
1
2sin2x
=

2
2+

2−1
2sin2x
∵-1≤sin2x≤1
∴
1
2≤f(x)≤
2−
1
2
∴函数的最大值为
2−
1
2，最小值为[1/2]
（2）∵f（x）=

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；三角函数的化简求值；诱导公式的作用；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本题主要考察了二倍角公式、辅助角公式及诱导公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质的灵活应用是解答本题的关键

f(x)＝
1
2cos2x+sinxcosx−
1
2sin2x＝
1
2cos2x+
1
2sin2x＝

2
2sin(2x+
π
4)
（1）T＝
2π
2＝π
由得2x+
π
4＝
π
2+kπ(k∈Z)∴对称轴为x＝
π
8+
1
2kπ(k∈Z)
（2）由−
π
2+2kπ≤2x+
π
4≤
π
2+2kπ(k∈Z)得−
3π
8+kπ≤x≤
π
8+kπ(k∈Z)
由[π/2+2kπ≤2x+
π
4≤
3π
2+2kπ(k∈Z)得
π
8+kπ≤x≤
5π
8+kπ(k∈Z)
∴f（x）的单调增区间为[−
3π
8+kπ，
π
8+kπ](k∈Z)，
单调减区间为[
π
8+kπ，
5π
8+kπ](k∈Z)
（3）∵x∈[−
π
8，
π
2]∴−
π
4≤2x≤π，则0≤2x+
π
4≤
5π
4]
当2x+
π
4＝
π
2即x＝
π
8

点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；三角函数的最值．

考点点评： 题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是中档题．

（1）f(x)＝
1
2[1+cos(2x+
π
6)]+
1
2sin2x（2分）
=[1/2[1+(cos2xcos
π
6−sin2xsin
π
6)+sin2x]=
1
2(1+

3
2cos2x+
1
2sin2x)（2分）
=
1
2sin(2x+
π
3)+
1
2]．（2分）
f（x）的最大值为1、最小值为0；（2分）
（2）f（x）单调增，故2x+
π
3∈[2kπ−
π
2，2kπ+
π
2]，（2分）
即x∈[kπ−
5π
12，kπ+
π
12](k∈Z)，
从而f（x）的单调增区间为[kπ−
5π
12，kπ+
π
12](k∈Z)．（2分）

点评：
本题考点： 三角函数的最值；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，考查计算能力，常考题型．

由三角函数的周期公式可知，
函数y=[1/2]sin2x的最小正周期为T=[2π/2]=π
故答案为：π．

点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为；T=2π|ω|．

（I）由题设知f(x)＝
1
2[1+cos(2x+
π
6)]．令2x+
π
6=kπ，
所以函数y=f（x）图象对称轴的方程为x＝
kπ
2−
π
12（k∈Z）．
（II）h(x)＝f(x)+g(x)＝
1
2[1+cos(2x+
π
6)]+1+
1
2sin2x=
1
2[cos(2x+
π
6)+sin2x]+
3
2＝
1
2(

3
2cos2x+
1
2sin2x)+
3
2=[1/2sin(2x+
π
3)+
3
2]．
所以，最小正周期是T=π，值域[1，2]

点评：
本题考点： 余弦函数的对称性；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，余弦函数的对称性，两角和与差的三角函数的应用，周期公式，三角函数的最值，考查计算能力，常考题型．