sinx+2sin2x+3sin3x+4sin4x+.+nsinnx求和

　　把函数f(x)=sin²x+2sin2x+3cos²x写成f(x)=Asin(wx+φ)+k（A＞0,ω＞0,|φ|＜π/2）的形式
f(x)=sin²x+2sin2x+3cos²x
=1+2sin2x+2cos²x 【二倍角公式：cos2x=2cos²x -1】
=1+2sin2x+cos2x+1
=2sin2x+cos2x+2
=√5sin(2x+φ)+2,
其中φ为满足tanφ=1/2和|φ|

f(x)=(2sinx/2cosx/2)/(2sinx/2cosx/2+2sinx/2)
=(2sinx/2cosx/2)/[2sinx/2(cosx/2+1)]
=(cosx/2)/(cosx/2+1)
=1/(1+1/cosx/2)
f(x)=f(-x)
T=4π

由f(x)=sinx/(sinx+2sinx/2),又sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)得
f(x)
=[2sin(x/2)*cos(x/2)]/[2sin(x/2)*cos(x/2)+2sin(x/2)]
=cos(x/2)/[cos(x/2)+1]
所以 1/f(x)=1+1/cos(x/2)
即 [1/f(x)]-1=1/cos(x/2)
因为函数y=1/cos(x/2)的周期为4π.所以
[1/f(x+4π)]-1=[1/f(x)]-1 故原函数的周期为4π.

（6X)sin=3
6x=3sin
2x=sin
x=二分之sin

（1）∵α=π/4,∴c=（√2+sinx,√2+cosx）
f（x）=b·c=cosx（√2+sinx）+sinx（cosx+√2）
=√2cosx+cosx*sinx*2+√2sinx
=-1+（sinx+cosx）²+√2（sinx+cosx）
令sinx+cosx=t=√2sin（x+π/4) 属于【-√2,+√2】
∴y=t²+√2t-1 当t=-√2/2 最小值为-1.5 x+π/4=-π/6+2kπ ∴x=-5π/12kπ
（2）∵a与b的夹角为π/3
∴0.5=cosα*cosx+sinα*sinx=cos（x-α） 可以假设x-α=π/2
a⊥c ∴ac=0
∴cosα*sinx+2cosα*sinα+sinα*cosx+2cosα*sinα=0
sin（α+x）+4osα*sinα=0 ∴ sin（α+α+π/2）+2sin2α=0
∴2sin2α+cos2α=0 ∴tan2α=-0.5.

f(x)=sinx/[sinx+2sin(x/2)]f(-x)=sin(-x)/[sin(-x)+2sin(-x/2)]=-sinx/[-(sinx+2sin(x/2))]=sinx/[sinx+2sin(x/2)]所以是偶函数f(x)=sinx/(sinx+2sin(x/2))=(2sin(x/2)cos(x/2))/[2sin(x/2)cos(x/2)+2sin(x/2)]=cos...

（1）∵f（x）=sinx+sin(
π
2+x)=sinx+cosx=
2sin(x+
π
4)．
由−
π
2+2kπ≤x+
π
4≤
π
2+2kπ（k∈Z），得−
3π
4+2kπ≤x+
π
4≤
π
4+2kπ（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间是[−
3π
4+2kπ，
π
4+2kπ]（k∈Z）；
（2）∵

2
2＝f(α)=
2sin(α+
π
4)，∴sin(α+
π
4)=[1/2]．
∵α∈(−
π
2，0)，∴−
π
4＜α+
π
4＜
π
4，
∴α+
π
4＝
π
6，解得α＝−
π
12．

f(x)=1+2sin2x+2cos^2(x)
=2sin2x+(1+cos2x)+1
=2sin2x+cos2x+2
=√5sin(2x+φ)+2 (其中cosφ=2/√5 ,sinφ=1/√5)

f(x)=sinx+2sin(π/4+x/2)cos(π/4+x/2)
=sinx+sin(π/2+x)
=sinx+cosx
=√2sin(x+π/4)
(1)f(α)=√2sin(α+π/4)=√2/2
所以sin(α+π/4)=1/2
而α∈(-π/2,0)
所以α+π/4∈(-π/4,π/4)
所以α+π/4=π/6
那么α=-π/12
(2)因为x∈(π/2,π)
所以x/2∈(π/4,π/2)
而sin(x/2)=4/5
所以cos(x/2)=3/5
那么sinx=2sin(x/2)cos(x/2)=24/25
cosx=cos²(x/2)-sin²(x/2)=-7/25
所以f(x)=sinx+cosx=17/25

第一题：我们来这样想sinx的周期为2π 2sin（x/2）周期为4π,sinx+2sin（x/2）为4π,这个很容易理解吧
除法的话,因为你想想,因为2π范围内是正比正（正数）到负比正（负数）,在2π到4π范围呢是正比负（负数）,负比负（正数）
所以还是4pi
明显是偶函数
你用定义可以很简单证明,如下
f（-x）=f（x）第二题呢运算思路如下π＜a＜3π/2,cosa=负数,算的为-12/13
那么cosa=2cos^2(a/2)-1
cosa/2=正负

已知向量a=（cosα,sinα）,向量b（cosx,sinx）,向量c=（sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0＜α＜x＜π；（1）若向量a与向量b的夹角为π/3,且向量a⊥向量c,求tan2α的值；
（2）若α=π/4,求函数f（x）=向量b•向量c的最小值及相应的x的值
(1)cos(π/3)=a•b/[︱a︱︱b︱]=(cosxcosα+sinxsinα)/(1×1)=cos(x-α)
故得x-α=π/3,x=α+π/3；∵a⊥c,
∴a•c=sinxcosα+2sinαcosα+cosxsinα+2sinαcosα=sin(x+α)+2sin2α=sin(2α+π/3)+2sin2α=0
于是得(1/2)sin2α+(√3/2)cos2α+2sin2α=0,即有(5/2)sin2α+(√3/2)cos2α=0,∴tan2α=-√3/5.
(2).当α=π/4时,b•c=2sinxcosx+2sinαcosx+2cosαsinx=sin2x+(√2)(sinx+cosx)
设y=sin2x+(√2)(sinx+cosx),再令y′=2cos2x+(√2)(cosx-sinx)=2(cos²x-sin²x)+(√2)(cosx-sinx)
=2(cosx+sinx)(cosx-sinx)+(√2)(cosx-sinx)=(cosx-sinx)(2cosx+2sinx+√2)
=(cosx-sinx)[2(√2)sin(x+π/4)+√2]=2(√2)(cosx-sinx)[sin(x+π/4)+1/2]=0
于是得cosx-sinx=0,即有tanx=1,故得驻点x=π/4+kπ；
及sin(x+π/4)+1/2=0,sin(x+π/4)=-1/2,x+π/4=-π/6+2kπ,故得驻点x=-5π/12+2kπ；
因为是周期函数,极值点的分析很麻烦,详细过程太繁琐,故免去；可以肯定,x=-5π/12
是一个极小点；此时min(b•c)=sin(-5π/6)+(√2)[sin(-5π/12)+cos(-5π/12)]
=-sin(π/6)+(√2)[cos(5π/12)-sin(5π/12)]=-1/2+2cos(5π/12+π/4)=-1/2+2cos(2π/3)
=-1/2-2cos(π/3)=-1/2-1=-3/2.

(1)α =45° f(x)=2sin(x+π/4)+sin2x
因为0

(1)α =45° f(x)=2sin(x+π/4)+sin2x
因为0

利用2倍角公式
f(x)=sinx+sin[2(π/4+x/2)]
=sinx+sin(π/2+x)
=sinx+cosx
=√2(√2/2sinx+√2/2cosx)
=√2(cosπ/4sinx+sinπ/4cosx)
=√2sin(x+π/4)
f(a)=√2/2
即sin(x+π/4)=1/2
a∈(-π/2,0)
a+π/4(-π/4,π/4)
所以a+π/4=π/6 x=-π/12
x∈(π/2,π) x∈(π/4,π/2) cos(x/2)>0
cos(x/2)=√[1-(sin(x/2))^2]=3/5
2倍角公式
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)=2*(4/5)*(3/5)=24/25
cosx=1-2(sinx/2)^2=-7/25
f(x)=sinx+2sin(π/4+x/2)cos(π/4+x/2)
=sinx+cosx
=17/25

16. (1) ∵ b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝π4， ∴ f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα ＝2sinxcosx＋2(sinx＋cosx)．(2分) 令t＝sinx＋cosx(0＜x＜π)，则2sinxcosx＝t2－1，且－1＜t≤2. 则y＝f(x)＝t2＋2t－1＝(t＋22...

（1）向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),
f(x)=b*a=cosxcosα+sinxsinα
=cos(x-α)=cos(x-45°）,
0