设 F（X）在点X=0的某个邻域内有定义,且X=0是它的间断点,则在X=0处必间断的函数是（） A f(x)+ln(1+

（1）因为
lim
x→0(1+x+
f(x)
x)
1
x=e3，
所以：
lim
x→0
ln(1+x+
f(x)
x)
x=3
由于分母极限为0，所以
lim
x→0ln(1+x+
f(x)
x)=0，
即：
lim
x→0(x+
f(x)
x)=0
lim
x→0
f(x)
x=0，
又因为 f（x）在x=0连续，则
lim
x→0f(x)=f(0)=0
f′(0)=
lim
x→0
f(x)-f(0)
x-0=0，
由：
lim
x→0
ln(1+x+
f(x)
x)
x=3
得：
lim
x→0
ln(1+x+
f(x)
x)
x=
lim
x→0
x+
f(x)
x
x=
lim
x→0(1+
f(x)
x2)=3，
所以：
lim
x→0
f(x)
x2=2，
即：
lim
x→0
f′(x)
2x=2，
由此得：f″(0)=
lim
x→0
f′(x)-f′(0)
x-0=4
（2）
lim
x→0(1+
f(x)
x)
1
x=e

点评：
本题考点： 复合函数的极限运算法则．

考点点评： 本题主要考查复合函数的极限的运算，属于基础题．

∵
lim
h→∞h[f(a+
1
h)−f(a)]存在为连续的充分条件，
∵连续不一定可导，例如：f（x）=|x|在x=0处不可导．
∴A选项不正确
∵
lim
h→0
f(a+2h)−f(a+h)
h＝f′(a)
∴
lim
h→0
f(a+2h)−f(a+h)
h存在是f（x）在x=a处可导的充要条件，
∴B选项不正确
∵
lim
h→0
f(a+h)−f(a−h)
2h=
3f′(a)
2
∴C选项不正确
∴根据排除法得到
D选项正确
故选：D

点评：
本题考点： 导数的概念．

考点点评： 注意：如果一个函数可导，其必然连续；但反之，如果一个函数连续，则不一定可导．

由题意可知，要求f（x）在（6，f（6））处的切线方程，
需知道f（6），f′（6）
f（x）为周期为5的连续函数，它在x=1可导，
有f（1）=f（6），f′（6）=f′（1），
于是等式取x→0的极限有：f（1）=0
令sinx=t可得下列结果：

lim
x→0
f(1+sinx)−3f(1−sinx)
sinx=
lim
x→0
f(1+t)−3f(1−t)
t=
lim
x→0[
f(1+t)−f(1)
t+3
f(1−t)−f(1)
t]=4f′（1）=
lim
x→0
8x
sinx＝8
∴f′（1）=2
故切线方程为：
y=2（x-6）．

点评：
本题考点： 平面曲线的切线方程和法线方程的求法．

考点点评： 本题主要考查切线方程基本性质，属于基础题．

∵f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，即f（x），f'（x），f''（x）在x=0的某一邻域均连续
且：
lim
x→0
f(x)
x＝0
∴f（x）=f（0）=0
lim
x→0
f(x)−f(0)
x＝0
∴f’（0）=0
∴
lim
x→0
f(x)
x2＝
lim
x→0
f’(x)
2x＝
lim
x→0
f’(x)−f’(0)
2x＝
1
2f’’(0)
∴
lim
n→∞|
f(
1
n)
(
1
n)2|是一常数
∴由比值判别法可知原级数绝对收敛

点评：
本题考点： 绝对收敛与条件收敛；级数收敛的必要条件．

考点点评： 判断是否绝对收敛，一般取绝对值，然后和一个已知是否收敛的级数作比值，根据极限值做出判断