散度和旋度都分别是标量还是矢量?

可以根据散度的定义推导出▽*A就是散度.
在直角坐标系下,取一个立方微元,根据散度定义写出散度表达式.然后取立方微元边长趋为零的极限.结合导数的定义,就得到▽*A了.

在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时,则比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度,并记作div F .
由散度的定义可知,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量,所以div F描述了通量源的密度.
散度的重要性在于,可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度,当div F>0 ,表示该点有散发通量的正源；当div F

散度
散度指流体运动时单位体积的改变率.简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散.用以表示的量称为散度,值为负时为辐合,此时有利于天气系统的的发展和增强,为正时表示辐散,有利于天气系统的消散.表示辐合、辐散的物理量为散度.
旋度,(公式没法在这里写)详见
梯度
gradient
设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度,则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度.
在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场.标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率.更严格的说,从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似.在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况.
在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率.
梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度.可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度.梯度的数值有时也被成为梯度.

是场强E的散度等于电荷密度除以介电常数.这个式子等效于库仑定律,如果你承认库仑定律是正确的,那必须就有这个式子成立.而库仑定律的正确性是建立在实验的基础上.

在电动力学中散度可以作为某一物理量在空间的发散程度,比如divB为0,说明磁场在空间发散程度为0,即磁场是无源的

你混淆了A和旋度源（电流密度J). 我们说J是B的旋度源指的是B的旋度等于J. 而A跟B的关系是A的旋度等于B,要说的话也是B为A的旋度源.为什么B能写成A的旋度?因为任何矢量场的旋度的散度为零,既然B的散度为零,那么可以把B看成是另一个场A的旋度. 总结一下,A的旋度是B,而B的旋度是J.

我们一个一个说：

首先是梯度：
定义：在标量场f中的一点处存在一个矢量G,该矢量方向为f在该点处变化率最大的方向,其模也等于这个最大变化率的数值,则矢量G称为标量场f的梯度.
如果设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率.
在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场.标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率.

其次是散度：
定义：div F=▽·F
在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S所限定的区域直径趋近于0时,比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度.
由散度的定义可知,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量,所以div F描述了通量源的密度. 散度可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度,当div F>0 ,表示该点有散发通量的正源；当div F

散度定义为区域直径趋于0时其边界面上的矢量积分和区域体积的比值.譬如在电场中,一点的散度就可以解释为：包围此点的一个很小曲面上的电通量和这个小曲面包围体积的比.或者可以理解为某点附近单位体积包围面的电通量.
如果某点E散度为0,那么此点就没有电荷.这是麦克斯韦方程.
lz可以查wiki百科,百度的不行.

设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度,则分别称为速度梯度、浓度梯度或温
散度指流体运动时单位体积的改变率.简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散.用以表示的量称为散度,值为负时为辐合,此时有利于天气系统的的发展和增强,为正时表示辐散,有利于天气系统的消散.表示辐合、辐散的物理量为散度.
表示曲线、流体等旋转程度的量.

Gradient
Divergence
Curl

公式没有问题,至于你说的(B·grad),可以这样理解,首先B和grad都是矢量,以三维为例,设B=(b1,b2,b3),而grad（即▽）的定义是矢量(ə/əx,ə/əy,ə/əz),（ə表示偏导符号）,根据矢量点乘的定义,B·grad=b1*ə/əx+b2*ə/əy+b3*ə/əz,注意这是一个标量,所以(B·grad) A 的意义就是标量(B·grad)与矢量A的数乘,结果为矢量,即(B·grad) A =(b1*əa1/əx+b2*əa1/əy+b3*əa3/əz,b1*əa2/əx+b2*əa2/əy+b3*əa2/əz,b1*əa3/əx+b2*əa3/əy+b3*əa3/əz)

学过麦克斯韦方程么,学过就知道了.
电场的旋度=-dB/dt,（这里d表偏微分,B为磁感应矢量）.静电场是由相对静止的电荷激发的电场,没有变化的磁场,所以旋度为0,是无旋场.
电场的散度=ρ/ε,（ε表介电常数,ρ表示电荷密度）所以在有电荷聚集的地方电场是有散度的,其他地方没有.
对无旋度可以粗略的理解为检验电荷沿静电场任意环路运动一圈,电场对其做功之和为0,电场力是保守力.
有散度可以理解为有源.静电场的电力线是有起点的,起始于静电荷,是有源场.

div F=▽·F 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S所限定的区域直径趋近于0时,比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度,并记作div F
　　由散度的定义可知,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量,所以div F描述了通量源的密度.
　　散度的重要性在于,可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度,当div F>0 ,表示该点有散发通量的正源；当div F

通量与散度
定义：
1 设P,Q,R 是在某空间区域上定义的函数,令,则是依赖于自变量的动变矢量,称为定义在上的向量函数,或称为上的向量场．
2 又设为中的有向曲面,是上点处的单位法矢量,则 称为向量场（或向量函数）通过曲面向指定侧的通量（或流量）
3 称 为向量场（或向量函数）的散度．

你的公式没错,平面波矢量A是常量,▽·A=0,接下来再加上就出来了

1 设P,Q,R 是在某空间区域上定义的函数,令,则是依赖于自变量的动变矢量,称为定义在上的向量函数,或称为上的向量场．
2 又设为中的有向曲面,是上点处的单位法矢量,则 称为向量场（或向量函数）通过曲面向指定侧的通量（或流量）
3 称 为向量场（或向量函数）的散度．

是一个意思的,不过在直角坐标系中你可以直接从▽·A得出散度表达式,方便记忆,柱坐标球坐标就不能这样推导了

就是球坐标系下求解散度的公式啊,教材正文或者附录中都会有这个公式的,E只和r有关系,并且只有r方向的分量,其大小随着r的增大而增大,与xita,fai都没有关系,照着球坐标系散度公式代入计算就可以了.
E=Er er+Eθ eθ+Eφ eφ=(r^3+Ar^2)er+0+0
Er=r^3+Ar^2,Eθ =Eφ=0
把Er代入到第三个式子,求导即可.

散度:就是一个封闭曲面 数电力线磁力线进出的次数 因为磁力线是封闭的 进出的次数一样 总和为零 因此B的散度为零 而电力线从正电荷出发到负电荷 非封闭曲线 所以D的散度=曲面内的电荷 旋度:在没有变化电磁场的情况下 看磁力线围住的电流量 它决定的H的大小 H旋度=J 而电力线没办法封闭 围不住任何东西 因此 E旋度=0

矢量场都有散度,这是一种运算.求矢量的散度.
div F=▽·F.
▽是梯度算子.梯度算子本身可以理解为一个矢量,所以中间是矢量点乘,表示两个向量的乘法.

以直角坐标系为例：梯度可以认为是一个矢量在各个方向上的变化率（矢量与变化方向可以不同）,散度div U 认为该矢量在各坐标上的分量对对应的方向梯度（分量与对应方向相同）.旋度是指矢量的分量对其垂直方向的梯度间的线性组合!

标量场有梯度说明其连续可微,也就是物理连续变化而不突变,那么在空间中两点任画两条路径对其梯度进行线积分得到的结果是相同的,都为两点物理量的差值那么也就是说标量场的梯度所构成的场为保守场,保守场的旋度为零

冲击函数
不过你写的有些问题,一般都是写δ(r-r')
r'代表q的位置矢量,如果r=r',δ(r-r')=无穷,r不等于r'时δ(r-r')=0
对这个冲击函数积分的时候积分区域包括r'时积分值为1,不包括r'时值为0
这个函数一般是证明高斯定理的时候用的.
题目中的矢量场应该类似于点电荷q产生的静电场.

散度（divergence）的概念
div F=▽·F 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S所限定的区域直径趋近于0时,比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度,并记作div F
由散度的定义可知,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量,所以div F描述了通量源的密度.
散度的重要性在于,可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度,当div F>0 ,表示该点有散发通量的正源；当div F

1 散度原指流体运动时单位体积的改变率.简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散.用以表示的量称为散度,值为负时为辐合,此时有利于天气系统的的发展和增强,为正时表示辐散,有利于天气系统的消散.表示辐合、辐散的物理量为散度.散度的重要性在于,可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度.
2旋度：设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近,那么以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小,也将逐渐减小,一般说来,这两者的比值有一极限值,记作即单位面积平均环流的极限.它与闭合曲线的形状无关,但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则,旋度的重要性在于,可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,如果场中处处rot称为无旋场.
磁场的散度——处处为零,不能自激发出电场的.
磁场的旋度——有可能某些特殊点不为0（这些点上的电流密度不为0或有变化的电场）
磁场强度的旋度等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和.

任意一个向量场记为（P,Q,R）,P,Q,R是三个分量,都是空间位置的函数,旋度和散度的表达式就不写了,如果把向量场中的P,Q,R当做未知量的话,散度是标量能确定一个唯一的方程,旋度是矢量能确定三个方程,但实际上旋度中三个只有两个是独立的,因为三个方程的和为零,这样散度和旋度确定的话就能给出关于P,Q,R的三个方程,这样向量场也就确定了,我还觉得旋度和散度这两个名字取的特别好,看看电磁和空气动力方面的书就能更好的明白,物理意义特别明确,但纯粹从数学上看就觉得很空洞,就像电场里面的高斯定理电场的通量等于包围的电荷比一个常数,这里的通量对应于散度,这里给这个散找到了一个源,就是电荷,比如说看水流的速度矢量,当你取一个不含有水源的面时,散度就计算出来等于0（不考虑温度的分布）,因为取的面里面没有水源就没有水散出来,飞机机翼受到的升力主要来源于一个环量,旋度相当于环量的微分,环无限小的时候认为是一点的旋

标量场的梯度： ∇f={df/dx,df/dy,df/dz} ，
向量场的旋度：∇ × F ={dF_3/dy-dF_2/dz,dF_1/dz-dF_3/dx,dF_2/dx-dF_1/dy}
（我找不到专用符号，这里的d表示偏导数。）
利用光滑函数的混合偏导数可以交换次序：d^2f/dxdy=d^f/dydx.
1.∇ × (∇f)=∇ ×{df/dx,df/dy,df/dz}
={d(df/dz)/dy-d(df/dy)/dz,d(df/dx)/dz-d(df/dz)/dx,d(df/dy)/dx-d(df/dx)/dy}
={d^2f/dzdy-d^2f/dydz,d^2f/dxdz-d^2f/dzdx,d^2f/dydx-d^2f/dxdy}={0,0,0}
2.向量场的散度是个数。
∇ · (∇ × F) = (d/dx)（dF_3/dy-dF_2/dz）+(d/dy)(dF_1/dz-dF_3/dx),(d/dz)(dF_2/dx-dF_1/dy)
=d^2F_3/dydx-d^2F_2/dzdx +d^2F_1/dzdy-d^2F_3/dxdy +d^2F_2/dxdz-d^2F_1/dydz=0
3. ∇ × (φF) ={d(φF_3)/dy-d(φF_2)/dz,d(φF_1)/dz-d(φF_3)/dx,d(φF_2)/dx-d(φF_1)/dy}
=φ{dF_3/dy-dF_2/dz,dF_1/dz-dF_3/dx,dF_2/dx-dF_1/dy}
+{F_3(dφ/dy)-F_2(dφ/dz),F_1(dφ/dz)-F_3(dφ/dx),F_2(dφ/dx)-F_1(dφ/dy)}
=φ(∇ × F) + (∇φ) × F

梯度是矢量,其大小为该点函数的最大变化率,即该点的最大方向导数.
梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向,它指向函数增加的方向.
散度
散度指流体运动时单位体积的改变率.简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散.其计算也就是我们常说的“点乘”.
散度是标量,物理意义为通量源密度.
散度为零,说明是无源场；散度不为零时,则说明是有源场（有正源或负源）
关于梯度可以这样理
对于一座山,它的每一点的海拔高度φ就是一标量场.那么,某一点海拔高度φ向山顶方向的位置变化率就是梯度.这个标量场的φ是连续的,当然梯度也是连续倾斜的.梯度可以表示为7楼的形式,但用张量形式表示就更简练：即“φ,i”,式中,“,”表示普通微分,i=1,2,3（三维时）表示φ在空间3个方向微分的分量.
散度可以理解为一个流场中,某点的流速v在各方向的变化率之和,是一个标量.根据这个定义可以知道,如果在流场中取一小空间,其散度不为零的话,就说明有流入或流出的流体.当散度为零的话,说明该小空间的流体是连续的,没有多余的流体流入流进.所以,连续体的连续式就是以此式为零.

梯度是函数变化率最大的方向向量.
散度描述向量沿闭曲面积分,若散度>0,流出大于流入,说明闭曲面内有源泉,

A、B之间是叉乘还是点乘?要是点乘的话,AB至少有一个得是2阶张量吧~
要是叉乘的话,就(▽·A)xB-(▽·B)xA吧~

对电磁场,散度表示矢量场在某个闭合面有没有通量源,当散度为时就没有源,当散度不为0时就有源
环度表示矢量场在某点沿en方向的环流面密度
旋度表示矢量场在某点产生的漩涡源密度
对一般的电磁场,有散无旋,有旋无散,
即▽·（▽×A）=0
▽×（▽u）=0

对于静电场,比如一个带电导体,在带电体外面的电场散度就是零,因为电荷密度为零
如果是一个内部也带电荷的带电体,它内部的电场散度不为零.

设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw,则称为该物理参数的 梯度 ,也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度,则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度. 在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场.标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率.更严格的说,从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似.在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况. 在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率. 梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度.可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度.梯度的数值有时也被成为梯度. 在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 梯度本意是一个向量（矢量）,当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点出的最大值,即函数在该点处沿方向变化最快,变化率最大（为该梯度的模）. 旋度的数学定义设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 δR/δy - δQ/δz ,δP/δz - δR/δx ,δQ/δx - δP/δy 的向量叫做向量场A的旋度,记作 rot A 或 curl A ,即 rot A= (δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k 式中的 δ 为偏微分（partial derivative）符号. 行列式记号 旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示： 若A=Ax·i+Ay·j, 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 为一向量. 旋度的物理意义 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近,那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小.一般说来,这两者的比值有一极限值,记作即单位面积平均环流的极限.它与闭合曲线的形状无关,但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则,旋度的重要性在于,可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度. 散度的概念 div F=▽·F 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时,则比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度,并记作div F 由散度的定义可知,div F 表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量,所以div F 描述了通量源的密度. 散度的重要性在于,可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度,当div F>0 ,表示该点有散发通量的正源；当div F

梯度

1 散度
δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度,记作 div A,即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz
2 梯度
在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量
(δf/x)*i+(δf/y)*j
这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y)
类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]

电场的散度——C.有可能某些特殊点不为0（这些点上的电荷密度不为0）
电场的旋度——C.有可能某些特殊点不为0（这些点上有变化的磁场）
磁场的散度——A.处处为0
磁场的旋度——C.有可能某些特殊点不为0（这些点上的电流密度不为0或有变化的电场）
熟悉一下麦克斯韦方程组就知道啦!
静电场的散度——C.有可能某些特殊点不为0（这些点上的电荷密度不为0）
静电场的旋度——A.处处为0
静磁场的散度——A.处处为0
静磁场的旋度——C.有可能某些特殊点不为0（这些点上的电流密度不为0）

静电场的电场线没有涡旋结构,是无旋场,即旋度为0；
静电场的电场线发于正电荷止于负电荷,是有源场,散度电荷密度除以真空电容率.
要证明上面的静电场有源,需要用高斯定理；证明无旋的性（或者说静电势能的有位性）,直接用库仑定理+电场叠加原理.具体证明可参看大学物理教材.

可以是静电荷；也可以是均匀变化的磁场.