点集拓扑问题设 X,Y 是拓扑空间,f :X →Y是常值映射,即 对任意 x∈X,f (x) = y0,( y0是 Y

威海老肖2022-10-04 11:39:541条回答

点集拓扑问题
设 X,Y 是拓扑空间,f :X →Y是常值映射,即 对任意 x∈X,f (x) = y0,( y0是 Y 中一固定点),证明常值映射 f 是连续映射
为什么若y0 ∈ U,则f^(-1)(U) = X,

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飘零中的枫叶 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%
对Y中任意开集U:
若y0 ∈ U,则f^(-1)(U) = X,是X中的开集.
若y0不属于U,则f^(-1)(U) = ∅,也是X中的开集.
因此,对于映射f,Y中开集的原像都是X中的开集,即f为连续映射.
对于Y中子集S,其在f下的原像集f^(-1)(S)定义为{x ∈ X | f(x) ∈ S}.
用语言描述就是X中被f映到S里的所有元素.
常值映射将X中全体元素映为y0,因此当y0 ∈ U时,f^(-1)(U) = X.
而当y0不属于U,则不存在这样的元素,即f^(-1)(U) = ∅.
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点集拓扑 理论上基本不需要什么前置基础的,但是懂点 数分、实变、高代会很有帮助
代数拓扑 微分拓扑的级别远大于 点集拓扑
代数拓扑的话 前提是要非常熟悉 高等代数和抽象代数 以及点集拓扑,这些可能还不太够,往细了去可能还需要 对 Galois理论和 交换代数、代数几何有一定的基础.本科阶段的抽象代数貌似不够.
解析几何和微分几何(你应该说的是本科的微分几何,也就是19世纪及以前的微分几何)什么的,理论上是不需要的,但是懂了会有所帮助.
微分拓扑,跟代数拓扑有较大的差别,需要初步微分几何作前置,最好还要会点实分析和复分析的内容(理论上是不需要的,但是会了会很有帮助,因为很多特殊的例子都是通过欧氏空间的情况来理解的),当然,跟代数拓扑一样,也要有一定的代数基础,特别是张量方面(本科的抽象代数可能不太够,所以学代数拓扑和微分拓扑之前最好先学完交换代数的课程).另外,懂点泛函的基础知识也会很有帮助的.
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