点集拓扑 证明:每一个正则的T0空间都是T3空间

参考《基础拓扑学讲义》 (北大版) 第二章第三节紧致性中的课后习题13&14题即可.
此书后面有习题解答.

拓扑空间（topological space）,赋予拓扑结构的集合.如果对一个非空集合X欧几里得空间的一种推广.给定任意一个集,在它的每一点赋予一种确定的邻近

任取A∈F,记G=F{A}.由条件,
A∩(∩{B|B∈G})=∩{B|B∈F}⊆U.
两边同时取与(∩{B|B∈G})^c=∪{B^c|B∈G})（^c表示余集）的并集,得
[A∩(∩{B|B∈G})]∪[(∩{B|B∈G})^c]⊆U∪(∪{B^c|B∈G}).
对左边用分配律,得左边
=[A∪[(∩{B|B∈G})^c]]∩[(∩{B|B∈G})∪[(∩{B|B∈G})^c]]
=[A∪[(∩{B|B∈G})^c]]∩X
=A∪[(∩{B|B∈G})^c].
所以
A⊆A∪[(∩{B|B∈G})^c]=左边⊆右边=U∪(∪{B^c|B∈G}).
A是一个紧致集,而右边是一组开集的并（每个B是闭集,所以B^c是开集）.所以由紧致集的定义,此开覆盖有有限子覆盖 ,即存在有限多个Bi,1

点集拓扑 理论上基本不需要什么前置基础的,但是懂点 数分、实变、高代会很有帮助
代数拓扑 微分拓扑的级别远大于 点集拓扑
代数拓扑的话 前提是要非常熟悉 高等代数和抽象代数 以及点集拓扑,这些可能还不太够,往细了去可能还需要 对 Galois理论和 交换代数、代数几何有一定的基础.本科阶段的抽象代数貌似不够.
解析几何和微分几何(你应该说的是本科的微分几何,也就是19世纪及以前的微分几何)什么的,理论上是不需要的,但是懂了会有所帮助.
微分拓扑,跟代数拓扑有较大的差别,需要初步微分几何作前置,最好还要会点实分析和复分析的内容（理论上是不需要的,但是会了会很有帮助,因为很多特殊的例子都是通过欧氏空间的情况来理解的）,当然,跟代数拓扑一样,也要有一定的代数基础,特别是张量方面（本科的抽象代数可能不太够,所以学代数拓扑和微分拓扑之前最好先学完交换代数的课程）.另外,懂点泛函的基础知识也会很有帮助的.
代数拓扑和微分拓扑前最好能有点 数论基础,尤其是代数拓扑,会很有帮助.但不是必要的.

可遗传性质是指拓扑性质吧（就是在同构映射下保持不变的性质）
你用连通性的定义（不能分成两个不交开集）,和同构定义（双向连续映射,连续映射把像集中的开集映回成开集）,就知道连通性是拓扑性质

对Y中任意开集U:
若y0 ∈ U,则f^(-1)(U) = X,是X中的开集.
若y0不属于U,则f^(-1)(U) = ∅,也是X中的开集.
因此,对于映射f,Y中开集的原像都是X中的开集,即f为连续映射.
对于Y中子集S,其在f下的原像集f^(-1)(S)定义为{x ∈ X | f(x) ∈ S}.
用语言描述就是X中被f映到S里的所有元素.
常值映射将X中全体元素映为y0,因此当y0 ∈ U时,f^(-1)(U) = X.
而当y0不属于U,则不存在这样的元素,即f^(-1)(U) = ∅.