设y=f（u） ,u=g（x）均可导,则复合函数y=f（g（x））可导.【则dy/dx=f’（u）g’（x）为什么?】

解题思路：①利用商的导数法则求g(x)=

f(x)

x

的导数，由已知知其大于0，所以单增．
②利用①的结论及x₁+x₂＞x₂，和x₁+x₂＞x₁，证出不等式
③与正整数有关的命题用数学归纳法证

（1）由g(x)=
f(x)
x得g/(x)=
xf/(x)-f(x)
x2，因为xf^/（x）＞f（x），
所以g^/（x）＞0在x＞0时恒成立，所以函数g(x)=
f(x)
x在（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数g(x)=
f(x)
x在（0，+∞）上是增函数，所以当x₁＞0，x₂＞0时，
有
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x1)
x1，
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x2)
x2成立，（5分）
从而f(x1)＜
x1
x1+x2f(x1+x2)，f(x2)＜
x2
x1+x2f(x1+x2)，
两式相加得f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．
（3）推广到一般情况为：
若x_i＞0（i=1，2，3n），则f（x₁+x₂+…+x_n）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），n∈N，n≥2．
以下用数学归纳法证明
（1）当n=2时，有（2）已证成立，
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即f（x₁+x₂+…+x_k）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）
那么当n=k+1时，f（x₁+x₂+…+x_k+x_k+1）＞f（x₁+x₂+…+x_k）+f（x_k+1）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）+f（x_k+1）
成立，即当n=k+1时也成立．
有（1）（2）可知不等式对一切n∈N，n≥2时都成立．（12分）

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；数学归纳法．

考点点评： 本题考查导数与单调性；利用当调性及数学归纳法证不等式

（1）由g(x)＝
f(x)
x得g/(x)＝
xf/(x)−f(x)
x2，因为xf^/（x）＞f（x），
所以g^/（x）＞0在x＞0时恒成立，所以函数g(x)＝
f(x)
x在（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数g(x)＝
f(x)
x在（0，+∞）上是增函数，所以当x₁＞0，x₂＞0时，
有
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x1)
x1，
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x2)
x2成立，（5分）
从而f(x1)＜
x1
x1+x2f(x1+x2)，f(x2)＜
x2
x1+x2f(x1+x2)，
两式相加得f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．
（3）推广到一般情况为：
若x_i＞0（i=1，2，3n），则f（x₁+x₂+…+x_n）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），n∈N，n≥2．
以下用数学归纳法证明
（1）当n=2时，有（2）已证成立，
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即f（x₁+x₂+…+x_k）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）
那么当n=k+1时，f（x₁+x₂+…+x_k+x_k+1）＞f（x₁+x₂+…+x_k）+f（x_k+1）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）+f（x_k+1）
成立，即当n=k+1时也成立．
有（1）（2）可知不等式对一切n∈N，n≥2时都成立．（12分）

他们这样写道: “在数学课上学了正反三角函数，但是数学书上对反三角函数的解释不是很深入，然而同学们对此十分感兴趣，于是想正反三角函数会有哪些关系呢，于是我们便行动了起来…”。他们对自己的研究方法是这样表述的:“先由图形计算器先画出图像，然后使用控制变量的方法分析其图像的性质以及规律。（1）a为定值时，改变b的数值为2，1，0.5，-0.5，-1，-2的图像。… (2) 函数图像与y轴无交点，即x的...

f'(x)