高斯函数性质求解释

考察一般项ak.(k∈N+)
n=3k时,an=k
n=3k-1时,an=[(3k-1)/3]=[k-1/3]=k-1
n=3k-2时,an=[(3k-2)/3]=[k-2/3]=k-1
三项和=3k-2.
从第一项开始,每3个一组,和=3k-2
2010/3=670,一共670组.
S2010=3(1+2+...+670)-2*670=673015
S2010/2009=673015/2009=335

问老师去=.=
……墨子

如果是从-无穷到正无穷,这个积分是反常的发散的积分,没有固定的值,只能求某个柯西主值.
下面求一个柯西主值.
从0到1 的积分显然是0,不过除此之外,我们发现
从-1到0,和从1到2的积分喝也是0
从-2到-1,与从2到3的积分和是0
…………
因此这个柯西主值的和是0
如果只是到某个实数x,那只能是发散到-无穷了.

f(-0.3)+f(1)+f(1.3)=-1+1+1=1,
S3n=0+0+1+1+1+2+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n=3(1+2+...+(n-1))+n
=(3n-1)n/2

第一题：没想到好方法,给出一种做法
由－x^2＋3x＝－(x－3/2)^2＋9/4≤9/4,而x^2＋0.5≥0.5
故[－x^2＋3x]的值只有三种：0、1、2
当[－x^2＋3x]＝0时,[x^2＋0.5]＝0,从而得：0≤－x^2＋3x＜1,0≤x^2＋0.5＜0
求这两个不等式组解集的公共部分
类似地,当[－x^2＋3x]＝1时,[x^2＋0.5]＝1,从而得：1≤－x^2＋3x＜2,1≤x^2＋0.5＜2
当[－x^2＋3x]＝2时,[x^2＋0.5]＝2,从而得：3≤－x^2＋3x＜9/4,2≤x^2＋0.5＜3
再分别求各不等式组解集的公共部分,比较复杂,此处从略
欢迎高手指点
第二题：
显然,x＜0时,[x]、[1/x]均小于0,而右边是3,方程无解
x＝1也不是方程的解
当0＜x＜1时,[x]＝0,于是有：[1/x]＝3
得：3≤1/x＜4
∴1/3≥x＞1/4
当x＞1时,[1/x]＝0,原方程化为：[x]＝3
得：3≤x＜4
也就是原方程的解是：1/3≥x＞1/4或3≤x＜4

当然,[n/p]表示含有因子p的个数,依次类推

解题思路：由题意知，函数f(x)＝

2x

1+2x

−

1

2

，是定义域R上的奇函数，且值域是（-[1/2]，[1/2]）；f（-x）的值域也是（-[1/2]，[1/2]）；分x=0，x＞0，x＜0时讨论函数y的值即可．

由题意，
∵函数f(x)＝
2x
1+2x−
1
2，
∴f（-x）=
2−x
1+2−x-[1/2]=[1
1+2x−
1/2]；
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜
1
1+2x＜ 1，∴−
1
2＜
1
1+2x−
1
2＜
1
2；
即 −
1
2＜f（-x）＜[1/2]．所以，−
1
2＜f（x）＜[1/2]．
当x=0时，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
当x≠0时，若x＞0，则0＜f（x）＜[1/2]，-[1/2]＜f（-x）＜0，
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，则y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函数y的值域为{0，-1}．
故选B．

点评：
本题考点： 函数的值域．

考点点评： 本题以高斯函数为素材，用求值域来考查指数函数的性质，函数的奇偶性，函数取整问题，有一定的技巧．

f(x) = 2^x / (1 + 2^x) - 0.5
= 0.5 - 1/(1 + 2^x)
2^x > 0
0 < 1/(1 + 2^x) < 1
-0.5 < f(x) < 0.5
同理
-0.5 < f(-x) < 0.5
当 f(x) < 0
0.5 - 1/(1 + 2^x) < 0
=> x < 0
=> 0.5 - 1/(1 + 2^(-x)) > 0
f(-x) > 0
=> [f(x)] + [f(-x)] = -1 + 0 = -1
当 f(x) ≥ 0
0.5 - 1/(1 + 2^x) ≥ 0
=> x ≥ 0
=> 0.5 - 1/(1 + 2^(-x)) ≤ 0
f(-x) ≤ 0
=> [f(x)] + [f(-x)] = 0 - 1 = -1
所以 y = [f(x)] + [f(-x)] ∈ {-1}

设x=[x]+{x},其中{x}是x的小数部分
由于{x}是x的小数部分,所以必然存在整数k满足0

设x=nk+m(0=x/k-(k-1)/k
得证!

一,格林公式
一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式
表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示.
无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式.
1,单连通区域的概念
设为平面区域,如果内任一闭曲线所围的部分区域都属于,则称为平面单连通区域;否则称为复连通区域.
通俗地讲,单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域.
2,区域的边界曲线的正向规定
设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,内位于他附近的那一部分总在他的左边.
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手.
3,格林公式
【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有
(1)
其中是的取正向的边界曲线.
公式(1)叫做格林(green)公式.
【证明】先证
假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)
易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有
因此
再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证
综合有
当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有
,
同时成立.
将两式合并之后即得格林公式
注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.
格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛.
若取, ,则格林公式为
故区域的面积为
【例1】求星形线 所围成的图形面积.
解:当从变到时,点依逆时针方向描出了整个封闭曲线,故
【例2】设是任意一条分段光滑的闭曲线,证明
证明:这里 ,
从而
这里是由所围成的区域.
二,平面曲线积分与路径无关的条件
1,对坐标的曲线积分与路径无关的定义
【定义一】设是一个开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,如果对于内任意两点,以及内从点到点的任意两条曲线,等式
恒成立,就称曲线积分在内与路径无关;否则,称与路径有关.
定义一还可换成下列等价的说法
若曲线积分与路径无关, 那么
即: 在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关.
【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有
.
2,曲线积分与路径无关的条件
【定理】设开区域是一个单连通域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式
在内恒成立.
证明:先证充分性
在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立.
由格林公式,有
依定义二,在内曲线积分与路径无关.
再证必要性(采用反证法)
假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使
不妨设
由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有
由格林公式及二重积分性质有
这里是的正向边界曲线,是的面积.
这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式
应恒成立.
注明:定理所需要的两个条件
缺一不可.
【反例】讨论 ,其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.
这里
,
除去原点外,在所围成的区域内存在,连续,且 .
在内,作一半径充分小的圆周
在由与所围成的复连通域内使用格林公式有
三,二元函数的全微分求积
若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为,终点为,可用记号
或
来表示,而不需要明确地写出积分路径.
显然,这一积分形式与定积分非常相似, 事实上,我们有下列重要定理
【定理一】设是一个单连通的开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,且 ,则
是的单值函数,这里为内一固定点,且
亦即
【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分 与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即, 确为点的单值函数.
下面证明
由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有
类似地可证明
因此
【定理二】设是单连通的开区域,在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是
在内恒成立.
【证明】显然,充分性就是定理一
下面证明必要性
若存在使得 ,则
由于 ,在 内连续, 则二阶混合偏导数适合等式
从而
【定理三】设是一个单连通的开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数, 若存在二元函数使得
则
其中,是内的任意两点.
【证明】由定理1知,函数
适合
于是 或
因此 (是某一常数 )
即
而
这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故
因此 □
【确定的全微分函数的方法】
因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域).

如果是整数则【f(x)】=f(x)

四个解,1,7,-1,-7.
和是100.

首先积分只有在a>0时有意义
由于对称性
从负无穷到正无穷对e^-at^2
=2从0到正无穷对e^-at^2
=2∫e^(-at^2)dt
[∫e^(-at^2)dt]^2
=∫e^(-ax^2)dx ∫e^(-ay^2)dy
=∫∫e^(-a(x^2+y^2))dxdy
利用极坐标
x=rcosb,y=rsinb
原积分
=∫[0,2π]db∫[0,+∞]e^(-ar^2)rdr
=(π/a)∫[0,+∞]e^(-ar^2)d(ar^2)
=(π/a)[-e^(-ar^2)]|[0,+∞]
=π/a
所以
∫e^(-at^2)dt=√(π/a)
从负无穷到正无穷对e^-at^2
=2√(π/a)

考虑标准正态分布N（0,1）,
∫e^(-x^2/2)dx 原函数F(x)不能用初等函数表示出来,
0.6μ -0.253346σ

19x/10=m+i/10(0

两个思路：
1、可以从正态分布的积分为1考虑
2、可以用高斯函数构建一个二重积分,然后利用单位圆上的极坐标积分,得到结果,最后开根号即可得到结果.

设（5+6X）/8=t,则原方程为[t]=4t-3.9
所以t≤4t-3.9＜t+1
所以1.3≤t＜4.9/3
即1.3≤（5+6X）/8＜4.9/3,解出x即可
存在二次项时注意使用x=[x]+{x},{x}为x的小数部分

解题思路：根据高斯函数的对应法则，分四种情况进行讨论，即可得到函数y=[x]+1（-0.5＜x＜2.5）的值域，得到正确答案．

①当-0.5＜x＜0时，y=[x]+1的函数值为0；
②当0≤x＜1时，y=[x]+1的函数值为1；
③当1≤x＜2时，y=[x]+1的函数值为2；
④当2≤x＜2.5时，y=[x]+1的函数值为3；
综上所述，得函数y=[x]+1（-0.5＜x＜2.5）的值域为{0，1，2，3}
故答案为：{0，1，2，3}

点评：
本题考点： 函数的值域．

考点点评： 本题给出与高斯函数相关的一个函数，在给出函数的定义域的情况下，求函数的值域，着重考查了基本初等函数的定义域与值域等知识点，属于基础题．

这个3[x-2]=3[x]-6,然后你可以把他整理成一个二元一次方程组,关于[x]和y的,解出来得到[x]=4,y=10
那么[x+y]=[x+10]=[x]+10=14

不叫“加信”,叫“加性”.中文全称叫：加性高斯白噪声,英文全称叫：
Additive White Gaussian Noise,简称AWGN.
另外加性高斯白噪声不用考虑功率谱恒定的问题,因为其功率谱就是一条平行于X轴的直线.
至于叫“高斯”,是因为所以有的噪声都被看作了一种随机过程,而高斯噪声服从高斯分布,“白”是因为其功率谱密度是一条平行于X轴的直线,“加性”是因为其具有可加性.

解题思路：先根据所给的新定义推导数列的几项，从这几项中看出数列的项的特点，找出规律，得到最终结果为S_3n=3[0+1+2++（n-1）]+n，化简即可．

∵[x]为不大于x的最大整数，f（x）=[x]
∴f（-0.3）+f（1）+f（1.3）=-1+1+1=1
：∵f（x）=[x]为高斯实数或取实数，若an＝f(
n
3)，n∈N*，
∴a1＝f(
1
3)＝[
1
3]＝0，
a2＝f(
2
3)＝[
2
3]＝0，
a3＝f(
3
3)＝[
3
3]＝1，
a4＝f(
4
3)＝[
4
3]＝1，
a5＝f(
5
3)＝[
5
3]＝1，
a6＝f(
6
3)＝[
6
3]＝2，
a7＝f(
7
3)＝[
7
3]＝2，
…
a3n＝f(
3n
3)＝[
3n
3]＝n，
∴S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=
1
2(3n2−n)（n∈N^*）．
故答案为：1，
1
2(3n2−n)

点评：
本题考点： 数列的求和；函数的值．

考点点评： 本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的推导与归纳，同时，又是新定义题，应熟悉定义，将问题转化为已知去解决，属于基础题．

　　量子化学计算从本质上是从整个体系(原子,分子)的薛定谔方程开始,在具体的计算中,首先采用单电子近似(原子体系为中心力场近似,分子体系为分子轨道理论)将体系的薛定谔方程转成单电子薛定谔方程.
　　对多电子原子体系,薛定谔方程无法精确求解,因此采用中心力场近似后可采用Slater型轨道形式通过变分法求解(径向部分与氢原子不同,角度部分完全一致); 对分子体系,采用分子轨道理论,分子轨道采用原子轨道线性组合,通过计算一系列积分后可求解出组合系数(可参考HMO解法)得到分子轨道.分子轨道和原子轨道均为单电子波函数,一般指空间轨道(没有加自旋),每个轨道可装2个电子,当乘上自旋部分后,该轨道为自旋轨道,只能装1个电子；分子的整体状态由自旋轨道通过Slater行列式组合的反对称波函数表示.
　　在量子化学计算中,由于大量的积分都与原子轨道（原子轨道作为已知）相关,而Slater型原子轨道（STO）在积分计算上极其繁琐,因此将原子轨道波函数表示为高斯型原子轨道（GTO）,这就是量子化学计算中的基组,如STO-3G,6-31G等.

将x,y表示成整数部分和小数部分：x=A+a y=B+b
则[x][y]=AB,[xy]=[AB+Ab+Ba+ab]=AB+[Ab+Ba+ab]>=AB=[x][y]

当然不同,前者是概率分布函数,是统计学的概念,后者是连续函数的概念.因此描述统计量的时候采用前者,描述数量关系的时候采用后者.

将原题记成数列形式以利分析.
A0=2000,Ai=A(i-1)^t+(2000-i),t=1/3,...
如：
A1=2000^t+1999,A(1999)=...+1,A(2000)=A(1999)^t+0
求:
A(2000)的整数部分,用[]表示取整函数.
1728=12^3

解题思路：本填空题利用特殊值法解决，取a=2，由题意知，f(x)−

1

2

＝

2x

1+2x

−

1

2

是定义域R上的奇函数，且值域是（-[1/2]，[1/2]）；
∴f（-x）的值域也是（-[1/2]，[1/2]）；分x=0，x＞0，x＜0时讨论函数y的值即可．

由题意，g（x）=f（x）-12=2x1+2x−12=1-11+2x-12=12-11+2x；f（-x）=2−x1+2−x-12=11+2x−12；∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数．又∵2x＞0，∴1+2x＞1，∴0 ＜11+2x＜ 1，∴−12＜11+2x−12＜12；...

点评：
本题考点： 函数最值的应用；函数的值域．

考点点评： 本题用求值域来考查指数函数的性质，函数的奇偶性，函数取整问题，应该是有难度的小题．

由2式得
3(x-[x])=2或1
所以[y=-2或-3
第一种x=[x]+1/3 [y]=-3
第二种x=[x]+2/3 [y]=-2
有1式得
2(y-[y]=1
[x]=2
综上
第一种x=7/3 [y]=-3.5
第二种x=8/3 [y]=-2.5

解题思路：由给出的定义分别求得b₁，b₂，b₃，…，b₇，得到{b_n}是一个周期为6的周期数列，则b₂₀₁₄可求．

∵b₁=a₁=INT（[2/7]×10）=INT（2.85714）=2；
a₂=INT（[2/7]×10²）=INT（28.5714）=28，
b₂=a₂-10a₁=28-20=8；
a₃=INT（[2/7]×10³）=INT（285.714）=285，
b₃=a₃-10a₂=285-280=5；
a₄=INT（[2/7]×10⁴）=INT（2857.14）=2857，
b₄=a₄-10a₃=2857-2850=7；
a₅=INT（[2/7]×10⁵）=INT（28571.4）=28571，
b₅=a₅-10a₄=28571-28570=1；
a₆=INT（[2/7]×10⁶）=INT（285714）=285714，
b₆=a₆-10a₅=285714-285710=4；
a₇=INT（[2/7]×10⁷）=INT（2857142）=2857142，
b₇=a₇-10a₆=2857142-2857140=2；
…
由上可知，{b_n}是一个周期为6的周期函数，
∴b₂₀₁₄=b_335×6+4=b₄=7．
故答案为：7．

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查了学生分析问题和观察问题的能力，关键是对数列规律的找寻，是中档题．

(3n的平方-n)/2

好久没有做这种题了,只想出来一个很笨的解法.令 t = (x+1)/2, 设t = n+s, n为t的整数部分,0 ≤ s < 1, [s]=0.原方程化为[5-4t] + [t] = 2[5-4n-4s]+[t] =2[1-4n+4(1-s)] +[t] =21-4n +[4(1-s)] +n+[s] =2[4(1-s)] = 3n+1 0 < 4(1-s) ≤4, 所以n只能为 0 或 1n=0时, [4(1-s)] = 1,1≤ [4(1-s)] <2, 1/2< t≤ 3/4, 即0

答案为145
这个可以用程序来实现
#include
#include
void main()
{int a,i,sum=0;
for (i=1;i

设f(x) = x³-x²-x,有f'(x) = 3x²-2x-1 = (3x+1)(x-1).当x ≥ 1或x ≤ -1/3时f'(x) ≥ 0,故f(x)在(-∞,-1/3]和[1,+∞)上单调递增.而当-1/3 ≤ x ≤ 1时,f'(x) ≤ 0,故f(x)在[-1/3,1]上单调递减.f(2) =...

一个数x加上一个整数n以后得到的数的整数部分,等于x的整数部分加上n
一个数x加上一个整数n以后的到的数的小数部分,等于x的小数部分.
一个数x的整数部分与小数部分的和等于他自己.

解题思路：由题意知，f（x）是定义域R上的奇函数，且值域是（-[1/2]，[1/2]）；∴f（-x）的值域也是（-[1/2]，[1/2]）；
分x=0，x＞0，x＜0时讨论函数y的值即可．

由题意，f（x）=
2x
1+2x−
1
2=1-[1
1+2x-
1/2]=[1/2]-[1
1+2x；f（-x）=
2−x
1+2−x-
1/2]=[1
1+2x−
1/2]；
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜
1
1+2x＜ 1，∴−
1
2＜
1
1+2x−
1
2＜
1
2；
即−
1
2＜f（-x）＜[1/2]．所以，−
1
2＜f（x）＜[1/2]．
当x=0时，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
当x≠0时，若x＞0，则0＜f（x）＜[1/2]，-[1/2]＜f（-x）＜0，
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，则y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函数y的值域为{0，-1}．
故答案为：{0，-1}

点评：
本题考点： 函数的值域．

考点点评： 本题用求值域来考查指数函数的性质，函数的奇偶性，函数取整问题，应该是有难度的小题．

由题意，g（x）=f（x）-
1
2 =
2 x
1+ 2 x -
1
2 =1-
1
1+ 2 x -
1
2 =
1
2 -
1
1+ 2 x ；f（-x）=
2 -x
1+ 2 -x -
1
2 =
1
1+ 2 x -
1
2 ；
∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数．
又∵2 ^x ＞0，∴1+2 ^x ＞1，∴ 0 ＜
1
1+ 2 x ＜ 1 ，∴ -
1
2 ＜
1
1+ 2 x -
1
2 ＜
1
2 ；
即 -
1
2 ＜g（-x）＜
1
2 ．所以， -
1
2 ＜ g（x）＜
1
2 ．
当x=0时，g（x）=g（-x）=0，y=[g（x）]+[g（-x）]=0；
当x≠0时，若x＞0，则0＜g（x）＜
1
2 ，-
1
2 ＜g（-x）＜0，
∴y=[g（x）]+[g（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，则y=[g（x）]+[g（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函数y的值域为{0，-1}．
故选A．

{-1 ，0}

[x/2]

1+2+.+100不成,

x=12.5时,
[x/12.5]=[1]=1
[-12.5/x]=[-1]=-1
f(x)=-1
当0

x=x/1不就行了?