求特征值和特征向量设三阶实对称矩阵A的特征值为 λ1=-1,λ2=1（二重）,对应于 λ1的特征向量 α1= 丨 0 丨

可以按第3列展开,也可以看作分块矩阵的行列式
A 0
0 B
= |A||B|
D = (2-a) [ (-1-a)(3-a) + 4]
= (2-a) (a^2-4a+4)
= (2-a)(a-1)^2,

系数矩阵的行最简形为
1 1/2 1
0 0 0
0 0 0

每一行对应一个方程
因为只有一个非零行, 所以只有一个有效方程
x1 = (-1/2)x2 - x3
自由未知量 x2,x3 分别取 (2,0), (0,1), 代入解出x1, 得基础解系
(-1,2,0)^T, (-1,0,1)^T

》a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9],
b=a'
b1=inv(a)
[v,d]=eig(a)
end

解: |A-λE| =
-λ -1 1
-1 -λ 1
1 1 -λ
c1-c2
1-λ -1 1
λ-1 -λ 1
0 1 -λ
r2+r1
1-λ -1 1
0 -1-λ 2
0 1 -λ
= (1-λ)[λ(1+λ)-2]
= (1-λ)(λ^2+λ-2)
= (1-λ)(λ-1)(λ+2).
所以 A 的特征值为 1,1,-2.
(A-E)X=0 的基础解系为: (-1,1,0)', (1,0,1)'
所以A的属于特征值1的特征向量为 c1(-1,1,0)'+c2(1,0,1)',c1,c2 不全为0.
(A+2E)X=0 的基础解系为: (1,1,-1)'
所以A的属于特征值-2的特征向量为 c3(1,1,-1)',c3 不为0.

[v,d]=eig([1 1/4 1/5 2 1/24 1 1/2 5 35 2 1 7 41/2 1/5 1/7 1 1/32 1/3 1/4 3 1])v =0.1433 0.1036 + 0.0783i 0.1036 - 0.0783i 0.0423 + 0.1363i 0.0423 - 0.1363i0.5174 -0.1879 - 0.5101i -0.1879 + 0.5101i -0...

楼上的答案实在是.太误导人了吧
跟特征方程顺序完全没关系,所谓特征方程是根据Aa=λa推倒出来的,所以谁前谁后完全没关系
你错的地方只有一个,那个λ0和α是针对A*的,而不是针对A的.你去找下A*和A关系的公式就明白了,对应的是（A*-λ0E）α=0
另外说一句,由于是针对A*,所以你用特征方程基本没法求.得由A*和A的λ关系入手,
A=（A*）^(-1)丨A丨,知道A的特征值是多少了吧?记为λ1,带入,得到Aα=λ1α
然后解个方程组就都求出来了

特征多项式为：-λ^3+8λ^2+9 λ
λ(λ+1)(9-λ)
特征根：-1,0,9
对应的特征向量：{1,-1,0},{1,1,-1},{1,1,2}
其中特征向量由对应特征根的矩阵 λE-A 行变换结果：
1 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
2 0 -1
0 2 -1
0 0 0
依次得到解答.供参考.

|A-λE| =
1-λ 1 1 1
1 1-λ -1 -1
1 -1 1-λ -1
1 -1 -1 1-λ
ri+r1,i=2,3,4
1-λ 1 1 1
2-λ 2-λ 0 0
2-λ 0 2-λ 0
2-λ 0 0 2-λ
c1-c2-c3-c4
-2-λ 1 1 1
0 2-λ 0 0
0 0 2-λ 0
0 0 0 2-λ
= -(2+λ)(2-λ)^3.
所以,A的特征值为 2,2,2,-2.
A-2E=
-1 1 1 1
1 -1 -1 -1
1 -1 -1 -1
1 -1 -1 -1
-->
1 -1 -1 -1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(A-2E)X=0 的基础解系为:a1=(1,1,0,0)',a2=(1,0,1,0)',a3=(1,0,0,1)'
所以A的属于特征值2的全部特征向量为 c1a1+c2a2+c3a3,c1,c2,c3 不全为0
A+2E =
3 1 1 1
1 3 -1 -1
1 -1 3 -1
1 -1 -1 3
-->
1 0 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 -1
0 0 0 0
(A+2E)X=0的基础解系为 a4=(-1,1,1,1)'
所以A的属于特征值-2的全部特征向量为 c4a4,c4为任意非零常数.

|A-λE|=
-λ 0 1
0 1-λ 0
1 0 -λ
= -(1-λ)^2(1+λ).
所以A的特征值为:λ1=λ2=1,λ3=-1.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)',a2=(1,0,1)'
所以A的属于特征值1的特征向量为 c1(0,1,0)'+c2(1,0,1)',c1,c2为不全是零的常数.
(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)'
所以A的属于特征值1的特征向量为 c3(1,0,-1)',c3为不是零的常数.
令P = (a1,a2,a3)
0 1 1
1 0 0
0 1 -1
则P可逆,且 P^-1AP = diag(1,1,-1).

由特征向量定义,（A﹣¹）*a=ta(t代替特征值)
两边同乘A,A（A﹣¹）*a=Ata=tAa
所以Aa=1/t*a,即1/t是A的特征值,a依旧是A的特征向量.
Aa=(2+k+3,1+2k+1,1+k+2)=1/t*(1,k,1)
由比例计算,(2+k+3):1=(2+2k):k=(3+k):1
估计你的A阵哪里写错了...前面一段理论理解一下吧.

其中v为特征向量,d为对应的特征值（按列）
>> A=[1 3 3 5;1/3 1 1/5 1/3;1/3 5 1 3;1/5 3 1/3 1]
A =
1.0000 3.0000 3.0000 5.0000
0.3333 1.0000 0.2000 0.3333
0.3333 5.0000 1.0000 3.0000
0.2000 3.0000 0.3333 1.0000
>> [v,d]=eig(A)
v =
0.8474 0.9040 0.9040 0.4153
0.1322 -0.0468 - 0.1499i -0.0468 + 0.1499i -0.1111
0.4679 -0.0179 + 0.3441i -0.0179 - 0.3441i -0.7869
0.2134 -0.1624 + 0.1145i -0.1624 - 0.1145i 0.4427
d =
4.3836 0 0 0
0 -0.1129 + 1.2779i 0 0
0 0 -0.1129 - 1.2779i 0
0 0 0 -0.1577
>> B=[1 3 5;1/3 1 3;1/5 1/3 1]
B =
1.0000 3.0000 5.0000
0.3333 1.0000 3.0000
0.2000 0.3333 1.0000
>> [v,d]=eig(B)
v =
0.9161 0.9161 0.9161
0.3715 -0.1857 + 0.3217i -0.1857 - 0.3217i
0.1506 -0.0753 - 0.1304i -0.0753 + 0.1304i
d =
3.0385 0 0
0 -0.0193 + 0.3415i 0
0 0 -0.0193 - 0.3415i
>> C=[1 1/5 3 1/5;5 1 3 1;1/3 1/3 1 1/3;5 1 3 1]
C =
1.0000 0.2000 3.0000 0.2000
5.0000 1.0000 3.0000 1.0000
0.3333 0.3333 1.0000 0.3333
5.0000 1.0000 3.0000 1.0000
>> [v,d]=eig(C)
v =
0.2234 -0.2136 + 0.2697i -0.2136 - 0.2697i 0.0000
0.6801 0.6454 0.6454 -0.7071
0.1581 -0.1108 - 0.1908i -0.1108 + 0.1908i -0.0000
0.6801 0.6454 + 0.0000i 0.6454 - 0.0000i 0.7071
d =
4.3398 0 0 0
0 -0.1699 + 1.2024i 0 0
0 0 -0.1699 - 1.2024i 0
0 0 0 0.0000

|A-λE|=
2-λ 3 2
1 8-λ 2
-2 -14 -3-λ
= -(λ-1)(λ-3)^2=0
解得特征值为1,3,3
1对应的特征向量：
(A-E)x=0
系数矩阵：
1 3 2
1 7 2
-2 -14 -4
初等行变换结果是：
1 0 2
0 1 0
0 0 0
所以特征向量是[-2 0 1]^T
3对应的特征向量：
(A-3E)x=0
系数矩阵：
-1 3 2
1 5 2
-2 -14 -6
初等行变换结果是：
1 1 0
0 2 1
0 0 0
所以特征向量是[1 -1 2]^T

一般的矩阵没有这个性质
只是属于不同的特征值的特征向量是线性无关的 (而不是正交的)

|λE-A| =
|λ-2 1 -2|
|-5 λ+3 -3|
| 1 0 λ+2|
|λE-A| =
|λ-2 1 2-λ^2|
|-5 λ+3 5λ+7|
| 1 0 0|
|λE-A| = 5λ+7-6-2λ+3λ^2+λ^3
= λ^3+3λ^2+3λ+1 = (λ+1)^3
特征值 λ = -1， -1， -1.
对于三重特征值λ = -1， [λE-A] =
[-3 1 -2]
[-5 2 -3]
[ 1 0 1]
初等变换为
[ 1 0 1]
[ 0 1 1]
[ 0 2 2]
初等变换为
[ 1 0 1]
[ 0 1 1]
[ 0 0 0]
只有一个线性无关的特征向量为 (1 1 -1)^T。

具体计算时,是要算的.只是省略了.

解不出来肯定不行,要想办法化出两个0,或一个0,
实在不行我教你一种方法直接解出三阶行列式一个关于纳姆达的三次方程,试出一根,你就0,-1,1,-2,2,3,-3这样试,试出一根后,用我的短除法可以做出来

"有个定理说n重特征根对应n个线性无关的特征向量"
你的问题就出来其实根本没有这个定理
秩1矩阵确实有两种情况
如果0是n-1重根即可对角化
如果0是n重根则几何重数仍然是n-1,此时不可对角化

A= -3 2 E= 1 0
2 0 0 1
令|A-kE|=0
|-3-k 2|=0
| 2 -k|
解得k=1或k=-4（特征值）
特征向量如下
当k=1时,(A-E)x=0
将系数矩阵化为行阶梯矩阵
1 -1/2则特征向量为 1/2
0 0 1
当k=-4时,(A+4E)x=0
将系数矩阵化为行阶梯矩阵
1 2则特征向量为 -2
0 0 1

对于λ1=λ2=2的特征向量,你的方程组有误,应该是：
4x1 -x2 -x3=0
0 =0
4x1-x2-x3=0
得基础解系ξ1=（ 1,0,4）',
ξ2=（0,1,-1）'；
对于λ3=-1的特征向量,你的方程组也有误,应该是：
x1 -x2 -x3=0
-3x2 =0
4x1-x2-4x3=0
得基础解系ξ3=（ 1,0,1）',
你有问题也可以在这里向我提问：

好像都不对.
|A-λE|=
-2-λ 5 3
-1 4-λ 3
2 -4 -2-λ
r1-r2
-1-λ 1+λ 0
-1 4-λ 3
2 -4 -2-λ
c2+c1
-1-λ 0 0
-1 3-λ 3
2 -2 -2-λ
= (-1-λ)[(3-λ)(-2-λ)+6]
= -(1+λ)(λ^2-λ)
= λ(1+λ)(1-λ)
所以A的特征值为0,1,-1.

求特征值和特征向量时
对应的方程组是齐次线性方程组
只有当系数矩阵的行列式等于0时,方程组才有非零解
此时的非零解即对应的特征值的特征向量

|A-λE|=(3-λ)^2-1 = (2-λ)(4-λ).
A的特征值为 2,4
(A-2E)x=0 的基础解系为 a1=(1,1)^T
A的属于特征值2的特征向量为 k1a1,k1为非零常数
(A-4E)x=0 的基础解系为 a2=(1,-1)^T
A的属于特征值4的特征向量为 k4a4,k4为非零常数

先求特征根,定义为A减去λ倍的单位矩阵,其行列式为0
【1,0
0,1】
|A-λE|=0
这就意味着(3-λ)*(3-λ)-1*1=0
λ=2,4
向量v=
[m
n]
那么λ=2,A*v=2v
λ=4,A*v=4v
这样就有两组方程,可以解除两组mn对应两个特征根,因为你的A是2*2饱满矩阵嘛,2个正好
打字不容易啊,求给分

矩阵特征值的存在性由代数基本定理保障.
存在非零向量x满足Ax=λx当且仅当A-λI奇异,取行列式并用代数基本定理就得到了存在性,并且n阶矩阵有n个特征值.
至于零矩阵,0是n重特征值,所有非零向量x都是特征向量(满足Ax=0x).

%求特征值：
eigenvals(A)
%求特征向量:
eigenvects(A)
%输出结果为：[特征值,特征值个数,特征向量]

对于对称矩阵来说属于不同特征值的特征向量是一定正交的,但有些时候可能特征值是重的,那么这时就要验证是否正交了.如果n阶实对称矩阵有n个不同的特征值,那么这时候就一定是正交的,就无需验证了.

1、解:矩阵M的特征值λ满足方程
0==(λ+1)(λ-3)-()(-2)=λ2-2λ-8,
解得,矩阵M的两个特征值λ1=4,λ2=-2,
(1)设属于特征值λ1=4的特征向量为,则它满足方程(λ1+1)x+(-2)y=0,即(4+1)x+(-2)y=0,也就是5x-2y=0,
则可取为属于特征值λ1=4的一个特征向量.
(2)设属于特征值λ1=-2的特征向量为,则它满足方程(λ2+1)x+(-2)y=0,
即(-2+1)x+(-2)y=0,也就是x+2y=0,
则可取为属于特征值λ2=-2的一个特征向量.
综上所述:M=有两个特征值λ1=4,λ2=-2,
属于λ1=4的一个特征向量为,属于λ2=-2的一个特征向量为.

有两个基础解系？还是说这个特征值对应的基础解系里有两个线性无关的向量啊。

1、解:矩阵M的特征值λ满足方程
0==(λ+1)(λ-3)-()(-2)=λ2-2λ-8,
解得,矩阵M的两个特征值λ1=4,λ2=-2,
(1)设属于特征值λ1=4的特征向量为,则它满足方程(λ1+1)x+(-2)y=0,即(4+1)x+(-2)y=0,也就是5x-2y=0,
则可取为属于特征值λ1=4的一个特征向量.
(2)设属于特征值λ1=-2的特征向量为,则它满足方程(λ2+1)x+(-2)y=0,
即(-2+1)x+(-2)y=0,也就是x+2y=0,
则可取为属于特征值λ2=-2的一个特征向量.
综上所述:M=有两个特征值λ1=4,λ2=-2,
属于λ1=4的一个特征向量为,属于λ2=-2的一个特征向量为.

要看是什么数域
我们知道数域中的素域是有理数域,有理数域和实数域之间有无穷多个数域,然后便是实数域,最后是复数域
如果是复数域上的线性空间,那么每个线性变换均有特征值,进而有所属特征值的特征向量；如果是其他数域,就未必,反例易举.
提示：前半句的证明就是利用1元n次方程在复数域有n个解,而后半句可用二阶方阵-1 1 -2 1（先行后列）作为反例.

基本原理是A=PJP^{-1} => A^k=PJ^kP^{-1}
比如说A可对角化,那么J可以取成对角阵,J^k很容易求,所以问题归结为求特征值和特征向量

题：矩阵A=
0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0
求矩阵A的特征值与特征向量.
特征矩阵tE-A=
t 0 0 -1
0 t -1 0
0 -1 t 0
-1 0 0 t
|tE-A|=(tt-1)^2
注：这个可以用第一列进行代数余子式展开,看容易看出解来.也可以用第二三行用二阶子式及其余子式的乘积来计算,也很方便.
于是其特征值有四个,分别是 1,1,-1,-1
特征矩阵tE-A的四个解向量,就是相应的特征向量.略.

z1-z2,z3-z1,是AX=0的两个线性无关的解.系数矩阵的秩R(A)≤1.如果R(A)=0,Ax=B,无解!
所以R（A)=1.

|A-λE|=
-λ 0 1
0 1-λ 0
1 0 -λ
= -(1-λ)^2(1+λ).
所以A的特征值为:λ1=λ2=1,λ3=-1.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)',a2=(1,0,1)'
所以A的属于特征值1的特征向量为 c1(0,1,0)'+c2(1,0,1)',c1,c2为不全是零的常数.
(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)'
所以A的属于特征值1的特征向量为 c3(1,0,-1)',c3为不是零的常数.
令P = (a1,a2,a3)
0 1 1
1 0 0
0 1 -1
则P可逆,且 P^-1AP = diag(1,1,-1).

特征向量和特征值的定义就是：矩阵A乘以一个非零向量a,相当于一个数λ乘以这个向量a,于是这个数λ就是特征值（能代表矩阵A特点的数值）,向量a就是特征向量.写成式子就是
Aa=λa
那你想想,移项过去以后Aa-λa=0,要把a用乘法分配律提出来,就变成(A-λE)a=0（E是单位矩阵）
那你现在的目的是要求λ和a,如果运用条件呢?首先这是个以a为未知数的齐次方程组（右边是0）,a≠0,根据解的判别定理,齐次方程组有一个不为0的解,比如它的系数行列式为0才行,所以
|A-λE|=0,就是你问的第一个式子.
然后就算这个行列式的值来解出λ.行列式的结果是一个关于λ的3次方程,3次方程必然有3个解（这是代数基本定理）,如果出现平方项,就看成两个一样的解,或者把这个特征值称为“二重的”（代数重数为2）.
我上面说的这些教材上肯定会写,楼主再去复习一下.有什么不懂的可以追问.