““曲尺能成方圆气,直线调就栋梁才”意思?”

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△CDP∽△PAE．

（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x，
∵△CDP∽△PAE，
根据△CDP的周长等于△PAE周长的4倍，得到两三角形的相似比为4，
∴[CD/AP]=4即[4/10−x]=4，
解得x=9，
此时DP=9；

（3）在点P的运动过程中，点E能与点B重合，
当B，E重合时，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠APB，
∵∠A=∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴[AB/PD]=[AP/CD]，
[4/DP]=[10−DP/4]，
解得：DP=2或8，
∴B，E重合时DP的长为2或8；

（4）∵当PC与CD越接近重合时，得出FC无限大，
∴线段FC的长没有最大值，
∵当P在AD中点时，FC最小，
∵∠EPC=90°，∴∠DPC+∠APE=90°，
∵∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠DCP=∠APE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△EAP∽△PDC，
∴[EA/DP]=[AP/CD]，
∴[4+BE/5]=[5/4]，
∴BE=[9/4]，
∵BF∥AP，
∴△EBF∽△EAP，
∴[EB/EA]=[BF/AP]，
∴

9
4
4+
9
4=[BF/5]，
解得：BF=[9/5]，
∴FC=10-[9/5]=[41/5]，
∴线段FC的长有最小值为[41/5]．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；两点间的距离；勾股定理；矩形的性质．

考点点评： 此题考查了矩形的性质以及三角形的相似性质以及线段最值问题，根据已知得出假设当B，E重合时利用相似三角形的判定得出是解题关键．

解法一：
如图1，在木板边缘PQ上，量取PH=MN，若量得MP=NH，则这块木板的对边MN与PQ是平行的
∵PH=MN，MP=NH
∴四边形MPHN是平行四边形；
∴MN∥PQ；
解法二：
如图2，把曲尺的一边紧靠木板的边缘PQ，画直线AD分别与PQ、MN交于A、D，平移曲尺画直线BC分别与PQ、MN交于B、C．若量得线段AD=BC，则这块木板对边的MN与PQ是平行的
∵DA⊥PQ CB⊥PQ
∴DA∥BC
又∵DA=CB
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴MN∥PQ；
解法三：
如图3，把曲尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ、MN交于A、B；再把曲尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使曲尺另一边过点B．画直线若所画直线与BA重合，
则这块木板的对边MN与PQ是平行的，
∵AB⊥PQ，AB⊥MN
∴PQ∥MN．

点评：
本题考点： 平行线的判定；平行四边形的判定与性质．

考点点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．