游乐中心内一长方形儿童游泳池长25m,宽12.5m,深1.2m.如果用直径24cm的进水管向游泳池里注水,

（1）对人和座椅，绳的拉力与重力的合力指向圆心，由牛顿第二定律
F=[mg/cosθ]=
60×10
0.8N=750N
mgtanθ=mω²R
由几何关系得：R=r+lsinθ=4+10×0.6m=10m
所以座椅转运的角速度ω＝

gtanθ
R＝

10×
3
4
10rad/s＝

3
2rad/s
（2）在转盘从静止启动到转速稳定这一过程中，由动能定理可得：
W+(−mgh)＝
1
2mv2−0
h=l（1-cosθ）=10×（1-0.8）m=2m
v=ωR=

3
2×10m/s＝5
3m/s
解得W=
1
2mv2+mgh＝
1
2×60×(5
3)2+60×10×2J=3450 J
（3）设在座椅从静止开始到随转盘稳定转动的过程中，电动机消耗的电能为E
E×80%×80%=NW
解得：E=
10×3450
0.80×0.80J≈5.4×104J
答：（1）稳定时钢绳对座椅的拉力F的大小为750N及转盘转动的角速度ω为

3
2rad/s；
（2）每个座椅从静止开始到随转盘稳定转动的过程中，绳子的拉力对座椅做的功为3450J；
（3）如果带动转盘的电动机输出机械功率的效率为80%，转盘转动因自身转动及克服各种摩擦损失的机械功率为20%，求从座椅开始运动到随转盘稳定转动的过程中，电动机消耗的电能为5.4×10⁴J．

点评：
本题考点： 向心力；物体的内能．

考点点评： 飞椅做的是圆周运动，确定圆周运动所需要的向心力是解题的关键，向心力都是有物体受到的某一个力或几个力的合力来提供，在对物体受力分析时一定不能分析出物体受向心力这么一个单独的力．能从能量守恒角度分析消耗能量情况．

（1）人做圆周运动，根据v=rω得线速度为：v=ω₀r；
（2）静摩擦力提供圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角速度为最大角速度，
则：μmg=mω²r
解得：ω＝

μg
r
所以当ω＞

μg
r时，人与转盘发生相对滑动；
（3）人可以离开盘面，贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供向心力，则有：
FN＝mωm2R
μF_N=mg
解得：ωm＝

g
μR，与质量无关，所以不同意．
答：（1）当转盘的角速度大小为ω₀时，人未滑动，此时人的线速度大小为ω₀r；
（2）当ω＞

μg
r时，人与转盘发生相对滑动；
（3）不同意，角速度的最大值与质量无关．

点评：
本题考点： 向心力；牛顿第二定律．

考点点评： 解决本题的关键知道物块和圆盘一起做圆周运动，靠静摩擦力提供向心力，知道当人离开盘面，贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供向心力．

24厘米=0.24米，
0.24÷2=0.12（米），
25×12.5×1.2÷（3.14×0.12²×100），
=375÷4.5216，
≈83（分钟）；
答：注满一池水要83分钟．

点评：
本题考点： 长方体、正方体表面积与体积计算的应用．

考点点评： 此题主要考查长方体和圆柱的体积的计算方法在实际生活中的应用．

（1）由机械能守恒定律得：[1/2]mv₀²=mgL（1-cos37°）+[1/2]mv²，
解得：v=5m/s；
（2）选手在放开绳子时，水平速度为v_x，竖直速度为v_y，则
v_x=vcos37°=5×0.8=4m/s
v_y=vsin37°=5×0.6=3m/s
当竖直方向上的速度为零时，到达最高点，竖直方向上做匀减速直线运动
-v_y²=-2gh　　　　　　　
h=0.45m　　　　　　　
（3）选手在最高点站到传送带上有4m/s向右的速度，在传送带上做匀减速直线运动，
选手的加速度：a=[kmg/m]=kg=0.2×10=2m/s²　　
以地面为参考系
-v_x²=-2ax
x=4m＞3.75m　　　　　　　　　
所以可以到达终点
设选手从A到B的时间为t，则s_AB=v_xt-[1/2]at²
得：t₁=1.5s；t₂=2.5s（舍去）
在这段时间内传送带通过的位移为：x₁=v₁t₁=3×1.5=4.5m；
所以，摩擦力做功：W_f=Q=kmg（S_AB+x₁）=0.2×600×（3.75+4.5）=990J；
答：（1）速度大小为5m/s；（2）选手放开绳子后到达最高点与放开绳子时的位置间的竖直高度是4.5m；（3）能到达终点，滑行过程中因摩擦而产生的热量Q为990J．

点评：
本题考点： 动能定理的应用；牛顿第二定律；向心力；机械能守恒定律．

考点点评： 本题是多研究对象、多过程问题，难度较大，分析清楚选手的运动过程，应用动量守恒定律、机械能守恒定律即、牛顿第二定律、运动学公式、功的计算公式可正确解题，解题时要注意，选手在传送带上运动时，系统克服摩擦力做功转化为内能，克服摩擦力做的功等于摩擦力与相对于位移的乘积．

对飞椅受力分析：重力mg和钢绳的拉力F，由合力提供向心力，则根据牛顿第二定律得：
竖直方向上：Fcosθ=mg
水平方向上：Fsinθ=mω²R
根据几何关系可知，R=Lsinθ+r
解得：ω=

gtanθ
R＝

gtanθ
r+Lsinθ
答：①座椅在水平面内做匀速圆周运动的半径为Lsinθ+r；
②转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系为ω=

gtanθ
r+Lsinθ．

点评：
本题考点： 向心力；牛顿第二定律．

考点点评： 飞椅做的是圆周运动，确定圆周运动所需要的向心力是解题的关键，向心力都是有物体受到的某一个力或几个力的合力来提供，在对物体受力分析时一定不能分析出物体受向心力这么一个单独的力．

（1）设在圆轨道最高处的速度为v，则在圆轨道最高处：mg=m
v2
R
解得：v=
gR＝
55m/s
由机械能守恒定律得：mgh=mg2R+[1/2]mv²
解得：h=13.75m．
（2）在最低点A点时对座椅的压力最大，根据机械能守恒定律得：
mgH=
1
2mvA2…①
在A点有：
N-mg=m
vA2
R…②
由①②解得：N=3600N
根据牛顿第三定律得：乘客对座椅的最大压力为3600N
答：（1）要保证过山车安全通过圆环轨道最高点B，过山车开始下滑的高度H至少应为13.75m；
（2）乘坐过山车绕圆环轨道运动过程中，一位质量为60kg的乘客对座椅的最大压力为3600N．

点评：
本题考点： 机械能守恒定律．

考点点评： 本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好做为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握住．

（1）由运动学公式：V²=2ax得抓住绳时的速度V=
2ax＝
2×2.5×13=
65m/s
（2）根据机械守恒定律有：[1/2]m
V2C＝
1
2mV2−mgL(1−cosθ)，
解得：V_C=
V2−2gL(1−cosθ)=5m/s
（3）选手在放开绳子时，水平速度为v_x，竖直速度为v_y，则v_x=v_Ccos37°=4m/s．
选手在最高点站到传送带上A点有4m/s向右的速度，在传送带上做匀减速直线运动．
选手的加速度大小a=[kmg/m]=2m/s²．
以地面为参考系
-v_x²=-2ax，
x=4m＞3.75m
所以可以顺利冲过终点．
答：（1）选手加速运动抓住绳时的速度
65m/s；（2）选手飞越到C点放开绳子时的速度大小5m/s．
（3）可以顺利冲过终点．

点评：
本题考点： 动能定理；牛顿第二定律．

考点点评： 本题综合考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式以及功能关系，综合性较强，对学生的能力要求较高，是一道好题．

（1）人在斜面上受力如图所示，建立图示坐标系，设人在斜坡上滑下的加速度为a₁

由牛顿第二定律有mgsinθ-F_f1=ma₁
F_N1-mgcosθ=0
又 F_f1=μF_N1
联立解得　a₁=g（sinθ-μcosθ）=2.0 m/s²
（2）根据动能定理，选取从开始到停止，
则有：mgL_ABsinθ-μmgL-μmgcosθL_AB=0-0；
解得：L_AB=50m；
答：（1）人从斜坡滑下的加速度为2m/s²；
（2）若由于场地的限制，水平滑道的最大距离为L=20.0m，则人在斜坡上滑下的距离AB应不超过50m．

点评：
本题考点： 牛顿第二定律；匀变速直线运动的位移与时间的关系；匀变速直线运动的速度与位移的关系．

考点点评： 对研究对象的进行受力分析与运动分析，再由运动学公式与牛顿运动定律相结合．同时第二个小问可以用动能定理来处理．

（1）座椅在水平面内做匀速圆周运动，半径为：
R=r+Lsinθ
（2）对飞椅受力分析：重力mg和钢绳的拉力F，由合力提供向心力，则根据牛顿第二定律得：
竖直方向上：Fcosθ=mg
水平方向上：Fsinθ=mω²R
解得：ω=

gtanθ
R=

gtanθ
r+Lsinθ
（3）由上式得知，当转盘转动的角速度ω增大时，θ将增大．
故答案为：
（1）r+Lsinθ；
（2）转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系为ω=

gtanθ
r+Lsinθ．
（3）增大．

点评：
本题考点： 向心力；线速度、角速度和周期、转速．

考点点评： 飞椅做的是圆周运动，确定圆周运动所需要的向心力是解题的关键，向心力都是有物体受到的某一个力或几个力的合力来提供，在对物体受力分析时一定不能分析出物体受向心力这么一个单独的力．

（1）选手摆到最低点的过程中，由机械能守恒得
mgl（1-cosα）=[1/2mv2 ①
选手经过最低点时F-mg=m
v2
l] ②
①②两式联立，解得：
F=（3-2cosα）mg=1080N
（2）对选手开始下落到在水中速度为零整个过程进行分析，重力、浮力和阻力分别做功，设进入水的深度为d，由动能定理有：
mg（H-lcosα+d）-（F₁+F₂）d=0 代入数据解得：d=1.2m
（3）选手从最低点开始做平抛运动
水平方向上有：x=vt
竖直方向上有：H-l=[1/2gt2
以上两式联立解得：x=2
l(1−cosα)(H−l)]=2
0.4l(H−l)
当l=[H/2]时，x有最大值，解得l=1.5m．
答：（1）选手摆到最低点时对绳的拉力F的大小是1080N；
（2）选手落入水中的深度d为1.2m．
（3）若选手摆到最低点时松手，绳长l为1.5m时，落点距岸边最远．

点评：
本题考点： 牛顿第二定律；平抛运动；向心力．

考点点评： 本题考查综合应用机械能守恒定律、牛顿第二定律和平抛运动知识的能力．第（3）问要根据数学知识求解极值．

（1）由题意得：x=1时y=2；
x=2时，y=2+4=6代入得：


a+b＝2
4a+2b＝6
解之得：

a＝1
b＝1
∴y=x²+x；
（2）由题意得：
g=33x-150-（x²+x）
=-x²+32 x-150；
（3）g=-x²+32 x-150=-（x-16）²+106，
∴当x=16时，g_最大值=106，
即设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大，
又∵当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；
当x≤5时，g＜0；而当x＞6时，g＞0，
∴6个月后能收回投资．

点评：
本题考点： 二次函数的应用．

考点点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．