设f(x)=x2+px+q,p.q属于R M={X|X=f(x)}N={X|X=f[f(x)]}

（Ⅰ）p=2时，f（x）=x²+2x+q；
∴x∈[-4，-2]时，x²+2x+q≥0恒成立，即q≥-x²-2x恒成立；
函数-x²-2x的对称轴是x=-1，∴该函数在[-4，-2]上单调递增；
∴x=-2时，-x²-2x取最大值0；
∴q≥0；
∴q的取值范围为[0，+∞）；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则必须满足：


−2≤f(1)≤2
−2≤f(5)≤2，即

−2≤1+p+q≤2
−2≤25+5p+q≤2 （1）；
∴

−2≤−1−p−q≤2①
−2≤25+5p+q≤2②；
①+②得：-7≤p≤-5，[5/2≤−
p
2≤
7
2]；
∴函数f（x）的对称轴在区间[1，5]上；
∴p，q还需满足f（−
p
2）≥-2，即
4q−p2
4≥−2，即q≥
p2
4−2；
∴该不等式结合（1）可得到p，q需满足的不等式组为：

−2≤1+p+q≤2
−2≤25+5p+q≤2
q≥
p2
4−2；
解该不等式组可得p=-6，带入不等式组得q=7；
∴满足条件的实数对（p，q）只有一对（-6，7）．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 考查二次函数的单调性及根据单调性求函数最值，要求对二次函数的图象比较熟悉，并且可结合二次函数f（x）及函数|f（x）|的图象找限制p，q的不等式．

用反证法证明数学命题时，应先假设要证的结论的反面成立，而“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至少有一个不小于[1/2]”的否定为：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于[1/2]，
故答案为：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于[1/2]．

点评：
本题考点： 反证法与放缩法．

考点点评： 本题主要考查命题的否定，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．

当x=-1时，它的值为-5；当x=3时，它的值为3，
代入x²+px+q得：

1−p+q＝−5①
9+3p+q＝3②，
②-①得：8+4p=8，即p=0，
将p=0代入①得：q=-6，
故答案为：0；-6

点评：
本题考点： 解二元一次方程组；代数式求值．

考点点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

（1）f（x）=x有两个相等的实数根，f（x）=x²+px+q=x，
可得方程x²+（p-1）x+q=0有两个相等的实数根为2，说明可以凑成完全平方式，
∴x²+（p-1）x+q=（x-2）²=x²-4x+4，∴p-1=-4，q=4，
所以p=-3，q=4；
（2）f（x-1）=x+1即是：（x-1）²-3（x-1）+4=x+1，
解得x=3±
2，
∴{x|f（x-1）=x+1}={3+
2，3-
2}．

点评：
本题考点： 函数的零点；交集及其运算．

考点点评： 此题主要考查函数的零点问题，以及方程有一个实根的情况，可以将其凑成完全平方式来求解，此题是一道基础题；

（1）∵y=x²+px+q上有一点M（x₀，y₀）位于x轴下方，
∴y₀=x₀²+px₀+q=（x₀+[p/2]）²-
p2−4q
4＜0，
∴
p2−4q
4＞（x₀+[p/2]）²≥0，
∴p²-4q＞0，
∴△＞0，
∴此抛物线与x轴交于两点；

（2）∵x₁+x₂=-p，
x₁•x₂=q，
∴y₀=x₀²+px₀+q=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁•x₂＜0，
∴（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
故x₁＜x₀＜x₂．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，其中：
（1）抛物线与x轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．
（2）对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．

∵f（x）=x²+px+q满足f（1）=f（2）=0
∴f（1）=1+p+q=0 ①
f（2）=4+2p+q=0 ②
将①②联立成方程组并解之得p=-3，q=2
∴f（x）=x²-3x+2
∴f（-1）=6
故选C

点评：
本题考点： 函数的值．

考点点评： 本题考查了函数的值，但解题的关键在于求解函数解析式，属于基础题．

（1）当θ∈R时，-1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，
由已知f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0可知，
对于函数f（x），当-1≤x≤1时，f（x）≤0；当1≤x≤3时，f（x）≥0；
且f（x）的一个根为1，令f（x）另外一根为a，则两根之和1+a=-p，
所以另一根为a=-P-1，
两根之积为1×a=-p-1=q，
所以p，q关系为-p-1=q，即1+p+q=0　（3分）
（2）由题意知任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0，
可知 f（1）=0
又因为要满足f（sinθ）≤0，
所以 f（-1）≤0，
故有对称轴x=-[p/2]≤0
解得P≥0． （6分）
（3）根据f（x）的函数的图象可知，
当1≤x≤3时，f（x）为增函数，所以x=3时，f（x）取得最大值
∴f（3）=9+3p+q=14，
∴9+3p-p-1=14，则p=3，q=-4，
得到f（x）=x²+3x-4，
可知，当-1≤x≤1时，f（x）为增函数，
当sinθ=-1时，f（sinθ）取得最小值为-6．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本题考查函数的恒成立问题，考查二次函数的图象和性质，以及在闭区间上求函数的最值，本题解题的关键是对于所给的函数对应的不等式进行整理变形，看出实际上是一个实根分布问题，本题是一个中档题目．

∵在x∈[[1/2]，2]上，g（x）=[3x/2]+[3/2x]≥2

3x
2×
3
2x=3，当且仅当x=1时等号成立
∴在x∈[[1/2]，2]上，函数f（x）=x²+px+q在x=1时取到最小值3，
∴

−
p
2＝1
1+p+q＝3解得p=-2，q=4
∴f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+4，
∴当x=2时取到最大值4
故选B

点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考点是函数的最值及其几何意义，考查了基本不等式求最值与二次函数求最值，利用基本不等式求最值要注意等号成立的条件，及相关两项的符号．本题中两个求最值的方法在高中阶段应用都很广泛，注意总结此两种求最值方法的规律．

设m是函数f（x）=x²+px+q与函数y=f（f（f（x）））的一个相同的零点，
则 f（m）=0，且f（f（f（m）））=0．
故有 f（f（m））=f（0）=q，且f（f（f（m）））=f（q）=q²+pq+q=q•（q+p+1）=0，
即f（0）•f（1）=0，故 f（0）与f（1）至少有一个等于0．
故选D．

点评：
本题考点： 函数的零点；二次函数的性质．

考点点评： 本题考查函数零点的定义，二次函数的性质，得到f（0）•f（1）=0，是解题的关键，属于基础题．

当x=-1时，它的值为-5；当x=3时，它的值为3，
代入x²+px+q得：

1−p+q＝−5①
9+3p+q＝3②，
②-①得：8+4p=8，即p=0，
将p=0代入①得：q=-6，
故答案为：0；-6

点评：
本题考点： 解二元一次方程组；代数式求值．

考点点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

∵f（x）=x²+px+q满足f（1）=f（2）=0
∴f（1）=1+p+q=0 ①
f（2）=4+2p+q=0 ②
将①②联立成方程组并解之得p=-3，q=2
∴f（x）=x²-3x+2
∴f（-1）=6
故选C

点评：
本题考点： 函数的值．

考点点评： 本题考查了函数的值，但解题的关键在于求解函数解析式，属于基础题．

（1）∵y=x²+px+q上有一点M（x₀，y₀）位于x轴下方，
∴y₀=x₀²+px₀+q=（x₀+[p/2]）²-
p2−4q
4＜0，
∴
p2−4q
4＞（x₀+[p/2]）²≥0，
∴p²-4q＞0，
∴△＞0，
∴此抛物线与x轴交于两点；
（2）∵x₁+x₂=-p，
x₁•x₂=q，
∴y₀=x₀²+px₀+q=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁•x₂＜0，
∴（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
故x₁＜x₀＜x₂．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．

考点点评： 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，其中：
（1）抛物线与x轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．
（2）对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．

（1）由点M（x₀，y₀）位于x轴的下方，
有

y0＜0
y0＝x02+px0+q＝(x0+
p
2)2−
p2−4q
4
得△=p2−4q＝4(x0+
p
2)2−4y0≥−4y0＞0．
∴方程x²+px+q=0有两个实根，设为x₁、x₂（x₁＜x₂）．
于是抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0）．（4分）
（2）由（1）得

x1+x2＝−p
x1x2＝q①
代入x₀²+px₀+q=y₀＜0，得不等式x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂＜0
即（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0
故x₁＜x₀＜x₂．（8分）
（3）由M在抛物线上，而x₁，x₂满足①得
y₀=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂．即-1997=（x₁-1）（x₂-1）．
∵1997为整数，
∴（x₁-1）、（x₂-1）均为整数，且由x₁＜x₂，知x₁-1＜x₂-1，
得

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题是二次函数的综合题目，分别考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系及方程组的解法等知识，综合性很强，代数变形能力要求比较高，是一个难题，平时加强训练才能很好解决这类问题．

∵f（x）=x²+px+q满足f（1）=f（2）=0
∴f（1）=1+p+q=0 ①
f（2）=4+2p+q=0 ②
将①②联立成方程组并解之得p=-3，q=2
∴f（x）=x²-3x+2
∴f（-1）=6
故选C

点评：
本题考点： 函数的值．

考点点评： 本题考查了函数的值，但解题的关键在于求解函数解析式，属于基础题．

（x²+px+q）（x³-x²+1）
=x⁵+px⁴+qx³-x⁴-px³+qx²+x²+px+q
=x⁵+（p-1）x⁴+（q-p）x³+（1-q）x²+px+q．
根据题意得：p-1=0，q-p=0，1-q=0，
解得：p=q=1．
则展开式中x项的系数是1．

点评：
本题考点： 多项式乘多项式．

考点点评： 本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．

若一元二次方程x²+px+q=0的两根为3、4，
那么倒数第二步为：（x-3）（x-4）=0，
∴x²+px+q=（x-3）（x-4），故选C．

点评：
本题考点： 解一元二次方程-因式分解法．

考点点评： 用到的知识点为：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为（x-x1）（x-x2）=0．

当x=-1时，它的值为-5；当x=3时，它的值为3，
代入x²+px+q得：

1−p+q＝−5①
9+3p+q＝3②，
②-①得：8+4p=8，即p=0，
将p=0代入①得：q=-6，
故答案为：0；-6

点评：
本题考点： 解二元一次方程组；代数式求值．

考点点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

∵方程x²+px+q=0的两个根为x₁=-4，x₂=3，
∴（x-3）（x+4）=0，
∴二次三项式x²+px+q=（x-3）（x+4）；
故选B．

点评：
本题考点： 解一元二次方程-因式分解法．

考点点评： 此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

∵（x²+px+q）（x²-3x+2）=x⁴+（p-3）x³+（2-3p+q）x²+（2p-3q）x+2，
又∵式子展开式中不含x²项和x项，
∴

2−3p+q＝0
2p−3q＝0，
解得

p＝
6
7
q＝
4
7．
故选C．

点评：
本题考点： 多项式乘多项式．

考点点评： 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．

f（x）=x²+px+q，f′（x）=2x+p，
∵在x=1处取得极小值4，
∴f′（1）=2+p=0，p=-2，
f（1）=1+p+q=4，
∴p+q=3
故答案为：3

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查导数的几何意义的简单应用，属于基础题．

（1）函数y=x²+px+q可化为y=（x+[p/2]）²+q-
p2
4，
将M（x₀，y₀）代入得，y₀=（x₀+[p/2]）²+q-
p2
4＜0，
∵y₀＜0，
∴q-
p2
4＜0，即p²＞4q，
∵△=p²-4q，
∴△＞0，
∴抛物线必与x轴有两个不同的交点；

（2）设y=（x-x₁）（x-x₂），将x₀代入，则y₀=（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
∴（x₀-x₁）＞0且（x₀-x₂）＜0，或（x₀-x₁）＜0且（x₀-x₂）＞0，
∵x₁＜x₂，只能是前一种情况，
∴x₁＜x₀＜x₂；

（3）∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴M点代入方程，p和q用x₁和x₂代换整理得，
x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=-1999，即（x₁-1）（x₂-1）=-1999，
又∵x₁和x₂是整数及x₁＜x₂，
∴x₁=-1998，x₂=2，或x₁=0，x₂=2000．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．

考点点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与坐标轴的交点问题转化为与二元一次方程有关的问题是解答此题的关键．

∵（x²+px+q）（x²-3x+2）=x⁴+（p-3）x³+（2-3p+q）x²+（2p-3q）x+2，
又∵式子展开式中不含x²项和x项，
∴

2−3p+q＝0
2p−3q＝0，
解得

p＝
6
7
q＝
4
7．
故选C．

点评：
本题考点： 多项式乘多项式．

考点点评： 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．

当x=-1时，它的值为-5；当x=3时，它的值为3，
代入x²+px+q得：

1−p+q＝−5①
9+3p+q＝3②，
②-①得：8+4p=8，即p=0，
将p=0代入①得：q=-6，
故答案为：0；-6

点评：
本题考点： 解二元一次方程组；代数式求值．

考点点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

若a是函数f（x）=x²+px+q与函数y=f（f（x））相同的零点，
则f（a）=0，f（f（a））=0，
则f（0）=0，
即q=0，
故选D．

点评：
本题考点： 函数的零点．

考点点评： 本题考查了函数的零点的定义的应用，属于基础题．

∵f（x）=x²+px+q满足f（1）=f（2）=0
∴f（1）=1+p+q=0 ①
f（2）=4+2p+q=0 ②
将①②联立成方程组并解之得p=-3，q=2
∴f（x）=x²-3x+2
∴f（-1）=6
故选C

点评：
本题考点： 函数的值．

考点点评： 本题考查了函数的值，但解题的关键在于求解函数解析式，属于基础题．