求y=2-2cosx+sin2x的单调递增区间

（I）∵函数f(x)＝
3sinx•cosx+sin2x=

3
2sin2x+
1−cos2x
2=sin(2x−
π
6)+
1
2
∴函数f（x）的最小正周期为π；　…（5分）
由2kπ−
π
2≤2x−
π
6≤2kπ+
π
2(k∈Z)⇒kπ−
π
6≤x≤kπ+
π
3(k∈Z)，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ−
π
6，kπ+
π
3]，（k∈Z）．　…（8分）
（Ⅱ）∵f(x)＝sin(2x−
π
6)+
1
2＝sin2(x−
π
12)+
1
2，
∴先由函数y=sin2x的图象向右平移[π/12]个单位，再把图象向上平移[1/2]个单位，即可得到函数f（x）的图象．…（12分）

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

程4cosx+sin²x+m-4=0
可化为m=4-4cosx-sin²x=cos²x-4cosx+3=（cosx-2）²-1
∵cosx∈[-1，1]，
则=（cosx-2）²-1∈[0，8]
则若关于x的方程4cosx+sin²x+m-4=0恒有实数解
实数m的取值范围是[0，8]
故选C

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查的知识点是三角函数的最值，其中将已知方程恒有解转化为m=4-4cosx-sin2x恒有实数解，进而将问题转化为求4-4cosx-sin2x的范围，是解答本题的关键．

程4cosx+sin²x+m-4=0
可化为m=4-4cosx-sin²x=cos²x-4cosx+3=（cosx-2）²-1
∵cosx∈[-1，1]，
则=（cosx-2）²-1∈[0，8]
则若关于x的方程4cosx+sin²x+m-4=0恒有实数解
实数m的取值范围是[0，8]
故选C

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查的知识点是三角函数的最值，其中将已知方程恒有解转化为m=4-4cosx-sin2x恒有实数解，进而将问题转化为求4-4cosx-sin2x的范围，是解答本题的关键．

（1）依题意，得f(x)＝
3sinx•cosx+sin2x=

3
2sin2x+
1−cos2x
2=sin(2x−
π
6)+
1
2，
∴f（x）的最小正周期为π，f（x）的最小值为−
1
2．
（2）由f（A）=[3/2]，得sin（2A-[π/6]）+[1/2]=[3/2]，
∴sin（2A-[π/6]）=1，
∵A∈（0，π），∴2A∈（0，2π），2A-[π/6]∈（-[π/6]，[11π/6]），
∴2A-[π/6]=[π/2]，∴A=[π/3]，
∵a=2，b+c=3，
∴根据余弦定理得，4=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3bc，
∴bc＝
5
3，∴S△ABC＝
1
2bcsinA＝
1
2×
5
3×

3
2＝
5
12
3．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题考查三角函数中的恒等变换及其应用，考查余弦定理与正弦定理的应用，求得A=π3是关键，考查运算求解能力，属于中档题．

关于x的不等式（4+m）cosx+sin²x-4＞0即 （4+m）cosx-cos²x-3＞0．∵x∈(−
π
2，
π
2)，∴0＜cosx≤1，故不等式即 m＞cosx+[3/cosx]-3．
令cosx=t，0＜t≤1，则m＞t+[3/t]-3．由于函数 f（t）=t+[3/t]-3在（0，1]上单调递减，故当t=1时，f（t）有最小值为0，
由题意可得 m＞f（t） 在（0，1]上恒有解，故 m＞0．
故选：A．

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题主要考查求函数的最值的方法，余弦函数的定义域和值域，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．

∵f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x=sin2x-cos2x=
2sin（2x-[π/4]）．
（Ⅰ）f（[π/2]）
2sin（2×[π/2]-[π/4]）=
2×

2
2＝1．
显然，函数f（x）=
2sin（2x-[π/4]）．
的最小正周期为π．…（8分）
（Ⅱ）令2kπ+
π
2≤2x−
π
4≤2kπ+
3π
2得
kπ+
3π
8≤x≤kπ+
7π
8，k∈Z．
又x∈[0，π]，∴x∈[
3π
8，
7π
8]．
函数f（x）在[0，π]上的单调减区间[
3π
8，
7π
8]．…（13分）

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的基本性质的应用．

（I）∵函数f(x)＝
3sinx•cosx+sin2x=

3
2sin2x+
1−cos2x
2=sin(2x−
π
6)+
1
2
∴函数f（x）的最小正周期为π；　…（5分）
由2kπ−
π
2≤2x−
π
6≤2kπ+
π
2(k∈Z)⇒kπ−
π
6≤x≤kπ+
π
3(k∈Z)，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ−
π
6，kπ+
π
3]，（k∈Z）．　…（8分）
（Ⅱ）∵f(x)＝sin(2x−
π
6)+
1
2＝sin2(x−
π
12)+
1
2，
∴先由函数y=sin2x的图象向右平移[π/12]个单位，再把图象向上平移[1/2]个单位，即可得到函数f（x）的图象．…（12分）

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

由题意得，f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x
=sin2x-cos2x=
2sin(2x−
π
4)，
（Ⅰ）令2kπ+
π
2≤2x−
π
4≤2kπ+
3π
2得，
kπ+
3π
8≤x≤kπ+
7π
8（k∈Z），
又x∈[0，π]，所以x∈[
3π
8，
7π
8]，
则函数f（x）在[0，π]上的单调区间是[
3π
8，
7π
8]；
（Ⅱ）将函数f（x）=
2sin(2x−
π
4)的图象向右平移m（m＞0）个单位后，
得到函数g（x）=
2sin[2(x−m)−
π
4]=
2sin(2x−2m−
π
4)的图象，
又其函数图象关于原点对称，则g（0）=0，
即−
π
4−2m＝kπ(k∈Z)，解得m=−
kπ
2−
π
8（k∈Z），
因为m＞0，令k=-1得m=[3π/8]，
所以实数m的最小值是[3π/8]．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题考查了诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦函数公式，以及正弦函数的性质，三角函数的图象平移变换，属于中档题．

（I）∵函数f(x)＝
3sinx•cosx+sin2x=

3
2sin2x+
1−cos2x
2=sin(2x−
π
6)+
1
2
∴函数f（x）的最小正周期为π；　…（5分）
由2kπ−
π
2≤2x−
π
6≤2kπ+
π
2(k∈Z)⇒kπ−
π
6≤x≤kπ+
π
3(k∈Z)，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ−
π
6，kπ+
π
3]，（k∈Z）．　…（8分）
（Ⅱ）∵f(x)＝sin(2x−
π
6)+
1
2＝sin2(x−
π
12)+
1
2，
∴先由函数y=sin2x的图象向右平移[π/12]个单位，再把图象向上平移[1/2]个单位，即可得到函数f（x）的图象．…（12分）

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

程4cosx+sin²x+m-4=0
可化为m=4-4cosx-sin²x=cos²x-4cosx+3=（cosx-2）²-1
∵cosx∈[-1，1]，
则=（cosx-2）²-1∈[0，8]
则若关于x的方程4cosx+sin²x+m-4=0恒有实数解
实数m的取值范围是[0，8]
故选C

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查的知识点是三角函数的最值，其中将已知方程恒有解转化为m=4-4cosx-sin2x恒有实数解，进而将问题转化为求4-4cosx-sin2x的范围，是解答本题的关键．

程4cosx+sin²x+m-4=0
可化为m=4-4cosx-sin²x=cos²x-4cosx+3=（cosx-2）²-1
∵cosx∈[-1，1]，
则=（cosx-2）²-1∈[0，8]
则若关于x的方程4cosx+sin²x+m-4=0恒有实数解
实数m的取值范围是[0，8]
故选C

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查的知识点是三角函数的最值，其中将已知方程恒有解转化为m=4-4cosx-sin2x恒有实数解，进而将问题转化为求4-4cosx-sin2x的范围，是解答本题的关键．