正十七边形怎么华?(用圆规和无刻度的直尺)

步骤一：
给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,
在OB上作C点使OC＝1/4OB,
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,
此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆
过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,
P4为第四顶点,P6为第六顶点.
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.

高斯用代数的方法解决的,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来.
关于正十七边形的画法（高斯的思路,本人并非有意剽窃^_^）：
有一个定理在这里要用到的：
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根.
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段.
（这一步,大家会画吧?）
而要在一个单位圆中做出正十七边形,主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段.
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法.
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]

鲜花一个圆,然后这样,真央.旋转一周,永平分发分35份,没无非一大份

步骤一： 给一圆O,作两垂直的直径OA、OB, 在OB上作C点使OC＝1/4OB, 作D点使∠OCD＝1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度 步骤二： 作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点, 此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆 过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点. 步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4, 过G6作OA垂直线交圆O于P6, 则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点, P4为第四顶点,P6为第六顶点. 以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.

无知无畏
巩昂
1796年3月30日．在德国格丁根大学校园里，一位18岁的青年学生吃完晚饭后，照例做导师每天布置给他的3道数学题。这个学生很有数学天赋，导师对他寄予了厚望，因此，在他完成固定作业之外．还会多给他布置几道较难的题。一般情况下，这个学生会在3个小时内．把所有作业完成。
这一天，他像往常一样，不到3个小时，就把固定作业做完了。可是，在多布置的题中，最后一题写在一张小纸条上，要求用圆规和一把没有刻度的直尺，画出正十七边形。学生也没有特别在意，只是埋头做题。几个小时过去了，却找不到解答方法。他想：也许是导师看到我每次做题都很顺利，就故意给我增加了一些难度吧。越是困难，他越想把这道题攻克。他拿着圆规和直尺，一边画一边想着各种可能的思路，一直持续到天亮。最后，这道题终于被解开了。
学生拿着自己的作业，来到导师办公室。他内疚地对导师说：“您给我布置的最后一道题，我做了整整一个通宵才解答出来。对不起，我辜负了您对我的期望。”导师接过他的作业一看，惊呆了，问道：“这是你昨天晚上做出来的?”“是啊。可是我很笨，竟然花了整整一个晚上的时间。”
导师让学生坐下，取出圆规和直尺，让他当面在纸上再画一个正十七边形。学生很快就画了出来。这时，导师激动地说：“你知道吗?你解开了一个有两千多年历史的数学悬案。这道题，阿基米得没有做出，牛顿没有解出。你竟然在一个晚上就把它解答出来了!你真是个天才。我也正在研究这道题目，昨天给你留题时，我一不小心把写这道题目的小纸条夹在了给你布置的作业里。”
很多年后，这个学生回忆起那件事情时，总是说：“如果有人告诉我那是一道两千年没有解开的题目，我不可能在一个晚上把它解决。”这个学生就是数学王子高斯。

步骤一：
给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,
在OB上作C点使OC＝1/4OB,
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,
此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆
过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,
P4为第四顶点,P6为第六顶点.
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.
备注一
一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是,该多边形的边数必定是一个费马质数.换句话说,只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来,其它的正质数多边形就不可以了.（除非我们再发现另一个费马质数.）
备注二
黎西罗给出了正257边形的尺规作法,写满了整整80页纸.盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法,此手稿整整装满了一只手提箱,现存于德国哥廷根大学.这是有史以来最繁琐的尺规作图.
备注三
正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a=2的4次方sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
经计算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设:
x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根号17)/4
y1+y2=(-1-根号17)/4
解之可有:
(大家自己解解吧~~~~)
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,
故正17边形可用尺规作出.
http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html (韩语动画）

教你一个画任意正多边形的画法：先画一个圆,把其中的一条直径AB分成等份,若你画的是正17边形,就把这条直径分成17等份,取最前面的两份,记这点为 D再以这条直径画一个等边三角形ABC,连结CD并延长,交这个圆上一点为E,那么AE就是这个正17边形的边长,灾在这个圆上取17个这样的边就行了.注意：取边长的时候稍微取得短一点点.
不知道这是不是高斯想出来的,不过应该是你要的答案了 可以用数学归纳法.首先你先看看怎么证明正六边形,在看12,最后你归纳它们的方法,试试19的证明.可能有些难度.加油吧.
看看下面的,
关于正十七边形的画法（高斯的思路,本人并非有意剽窃^_^）：
有一个定理在这里要用到的：
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根.
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段.
（这一步,大家会画吧?）
而要在一个单位圆中做出正十七边形,主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段.
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法.
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]

设：正17边形在单位圆上的顶点的复数表示为,
Zk=cos(2kж/17)+isin(2kж/17) (k=0,1,2…16)
若记：ρ=cos(2kж/17)+isin(2ж/17),则除了1以外的其余16个项为：
ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8；ρ-1 ρ-2 ρ-3 ρ-4 ρ-5 ρ-6 ρ-7 ρ-8
若设 P=ρ+ρ2+.+ρ-8
Q=ρ3+ρ5+…+ρ-7
则：P+Q=ρ+ρ2+.+ρ8+ρ-1+ρ-2+.+ρ-8
=（1+ρ+ρ2+.+ρ8+ρ-1+.+ρ-8）-1
=-1
P*Q=（ρ+ρ2+ρ4+ρ8+ρ1+ρ-2+ρ-4+ρ-8）*（ρ3+ρ5+ρ6+ρ7+ρ-3+ρ-5+ρ-6+ρ-7）
=4（P+Q）
=-4
所以：P,Q是方程 X*X+X-4=0的根
P=1/2（-1+gen2（17））
Q=1/2（-1-gen2（17））
显然P,Q可以用尺规作出.
可见cos（2ж/17）可以用尺规作出.
作图的5个步骤：
1） 作出线段P,Q
2） 作出线段 u1,u2
3） 作出线段 V1
4） 作出单位圆,并在实轴上去一点v,使Ov=1/2V1,
过v作虚轴的平行线交单位圆与Z1,则Z0Z1（Z0=1）,即为正17边形的一边.
5） 作出其余所有顶点,完成正17边形.

看过你就明白过程了,
每一步可以点着看的

请看这个网站,
来自百科

在与圆O的直径AB垂直的半径OC上,作出OC的中点D,在OB上作一点E,使OE等于半径的1/8；以E为圆心,ED长为半径作弧,与OA、OB分别交于F、G；以F为圆心,FD长为半径作弧,交OA延长线于H,以G为圆心,GD长为半径作弧,交OA于I；作OB中点J,以线段IJ为直径作圆,交OC于K；过K作AB的平行线,与以线段OH为直径的圆交于远端L,过L作OC的平行线,与圆O交于M.弧AM就是圆O的1/17.依次连结各点就行了

用园规

太复杂了，
没耐心去仔细推导；
只是猜想和直角三角形CEO两直角边为1：4，然后斜边大小就是根号17倍的EO；
有了这个基数以后往下推，仔细算还是可以推出来的。
高斯是牛人。
你想弄明白还是先看看初中的书再说吧。
再次景仰高斯牛人一次。

将圆心角分成17等份

历史上最早的正十七边形尺规作图创造人为:高斯.
具体作法如下：
步骤一
给一圆O,作两垂直的半径OA、OB, 　　
作C点使OC=1/4OB, 　　
作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度
步骤二
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,此圆交OB于F点,
再以D为圆心,作一圆过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.
步骤三
过G4作OA垂直线交圆O于P4, 　　
过G6作OA垂直线交圆O于P6, 　　
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点,P6为第六顶点.以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.
供参考!JSWYC

正十七边形尺规做图是高斯解决的千年数学难题,这里有做法
七不是费马质数,所以正七边形无法用尺规作出.

步骤一：
给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,
作C点使OC＝1/4OB,
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,
此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆
过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点,P6为第六顶点.
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.

尺规正十七边型,如果你照书做的话,有一个小时就完了,我中学的时候做过.当时看的一本书叫《数学大观园》,可能是我作图不精确,最后做出来的一边和第一边合不上,
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圆内接正十七边形做法：
步骤一：
给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,
作C点使OC＝1/4OB,
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,
此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆
过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,
P4为第四顶点,P6为第六顶点.
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.
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高斯在1801年对问题给出了一个漂亮的回答.高斯指出,如果仅用圆规和直尺,作圆内接正n边形,当n满足如下特征之一方可做出：
1) n=2m；（ 为正整数）
2) 边数n为素数且形如 n=2^2^t（t+1=0 、1、2……）.简单说,为费马素数.
3) 边数 n具有n=2mp1p2p3...pk ,其中p1、p2、p3…pk为互不相同的费马素数.
这是高斯得出的结论.三边五边十七边都可以做.

高斯最终在1801年对整个问题给出了一个漂亮的回答.高斯指出,如果仅用圆规和直尺,作圆内接正n边形,当n满足如下特征之一方可做出：
1) n=2^m；（m为正整数）
2) 边数n为素数且形如 n=2^(2^t) +1（t=0 、1、2……）.简单说,为费马素数.
3) 边数 n具有n=2^m*p1*p2*p3...pk ,其中p1、p2、p3…pk为互不相同的费马素数.
以下的两个网页均有介绍如何正十七边形的尺规作图,笔者已验证：

http://zhidao.baidu.com/question/276330048.html
求cos2/17π的过程只包括四则运算和开平方,这种数可以用尺规作图.这样就能画出正十七边形.

步骤1
把圆规拉开,之间的距离为a （如 — 的长度=a）
2
画出34段a的长度,标为b （如——为两段a）
3
在b的中点做圆心,画出一个半径为17a的圆 （中点就是17段a的长度）
4
在圆上画出17个半径为a的圆 （圆的圆心在圆上）
5
把圆的圆心连起来,就可以画出正十七边形

按我的叙述自己画图,注意线段的方向.我作图,你证明.行吗?
在单位园中作两条相互垂直的直径AB和CD相交于圆心O.AB从下到上,CD从右到左.从A点和D点分别作切线交于S,AODS是边长为1的正方形.在AS上取AE=AS/4.在EA的延长线上取EF=EO,在AE的延长线上取EF'=EO.在EF的延长线上取FH=FO,在F'F上取F'H'=F'O.作HTQ与AO平行,交OC的延长线于T,使TQ=AH’.以BQ为直径作圆交OT于N和M,使ON等于TM.以OM的中点L作垂线交单位园于P.则CP即为正十七边形的一边.

一个图形是否可以用尺规作出,并不是说一定要在纸上作出一个非常准确的图形,只要在理论上肯定其是可作的就行了.所以你的观点我是赞同的.也许当年高斯的确在纸上作出了一个很漂亮很准确的正17边形,也许和你一样,虽然推算证明了十七边形可以用尺规作出,但实际作图时并没有能准确地亲手作出了正十七边形.我17边形没有动手作过,但记得初中时作正五边形,最后的一条边总是经常和前面的边不相等,何况17边形,误差一定不小,呵呵.但我知道这是工具和操作造成的误差,与作图理论没有关系.个人观点,供参考!

步骤一：
给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,
作C点使OC＝1/4OB,
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,
此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆
过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,
P4为第四顶点,P6为第六顶点.
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.

步骤一：
给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,
作C点使OC＝1/4OB,
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,
此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆
过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,
P4为第四顶点,P6为第六顶点.
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.
PS:
一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是,该多边形的边数必定是一个费马质数.换句话说,只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来,其它的正质数多边形就不可以了.（除非我们再发现另一个费马质数.）

一：给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,
作C点使OC＝1/4OB,
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
二：作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,
此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆
过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.
三：过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点,P6为第六顶点.
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.

关于正十七边形的画法（高斯的思路,本人并非有意剽窃^_^）：
有一个定理在这里要用到的：
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根.
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段.
（这一步,大家会画吧?）
而要在一个单位圆中做出正十七边形,主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段.
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法.
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]

这个可以参考：http://www.***.com/A/a277/text/277kp_4.htm

给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,
作C点使OC＝1/4OB,
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,
此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆
过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点.
过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点,P6为第六顶点.
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.
π/4和45度是一回事……
提问前先搜搜