非空子集 为什么是这样求出的=2^n-1 ?(n代表子集的个数)

①一个元素：8；两个元素：1，7；2，6；3，5；三个元素：1，3，4；1，2，5；四个元素：
∴满足S（A）=8的集合A的个数为6．
②∵S（A）的所有可能取值为1，2，3，4，5，…，100．
对于S（A）来说，由于它是集合A中的各元素之和，同时
A又是集合M的非空子集，
∵1+2+3+…+100=5050，
∴易知S（A）将取尽1到5050的所有数，
∴S（A）的取值个数为5050，
故答案：①6；②5050．

点评：
本题考点： 元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题重点考查集合的基本概念，集合的元素特征等知识，考查角度比较新颖，属于中档题．

（1）当n=3时，P={1，2，3 }，
其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
则所有满足题意的集合对（A，B）为：
（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}），
（{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对，
∴a₃=5．…（3分）
（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，
则A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，
可在A中，故A的个数为：

C0k-1
+C1k-1+…
+Ck-1k-1=2k-1，…（5分）
B中必不含元素1，2，…，k，
另元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中，
故B的个数为：
C1n-k
+C2n-k+…
+Cn-kn-k=2^n-k-1，…（7分）
从而集合对（A，B）的个数为2^k-1•（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1，
∴a_n=
n-1

k=1（2^n-1-2^k-1）
=(n-1)•2n-1-
1-2n-1
1-2
=（n-2）•2^n-1+1．…（10分）

点评：
本题考点： 数列的求和；子集与真子集．

考点点评： 本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

因为集合有三个元素，所以非空子集的个数为。

集合 的非空子集个数为（   ）
A．5 B．6 C．7 D．8
C


<>

∵S₁∪S₂∪S₃=I，
∴C_IS₁∩C_IS₂∩C_IS₃）=C_I（S₁∪S₂∪S₃）=C_II=∅．
故答案选C．

点评：
本题考点： 交、并、补集的混合运算．

考点点评： 本题主要考查了集合的交，并，补运算，公式CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）是一个重要公式，应熟记．

由题意知本题是一个分类计数问题，
当A、B均有一个元素时，有3对；
当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；
当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；
当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；
当A、B均有两个元素时，有3对．
根据分类计数原理知共有3+8+3+3+3=20对，
故选D

点评：
本题考点： 计数原理的应用．

考点点评： 本题考查分类计数原理，考查集合之间的关系问题，考查分类讨论的思想的应用，本题是一个简单的综合题目．

要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起
（要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”）
故不含“好元素”的集合共有{1，2，3}，{2，3，4}，
{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6种可能
故选A

点评：
本题考点： 元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题考查新定义，读懂新定义并列举是解决问题的关键，属基础题．

A中1-2=-1不是自然数，即自然数集不满足条件；
B中1÷2=0.5不是整数，即整数集不满足条件；
C中有理数集满足条件；
D中π-π不是无理数，即无理数集不满足条件，
故选C

点评：
本题考点： 进行简单的合情推理．

考点点评： 这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将答案中的四个数集逐一代入新运算验证，即可解答．

（1）当n=3时，P={1，2，3 }，
其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
则所有满足题意的集合对（A，B）为：
（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}），
（{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对，
∴a₃=5．…（3分）
（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，
则A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，
可在A中，故A的个数为：

C0k-1
+C1k-1+…
+Ck-1k-1=2k-1，…（5分）
B中必不含元素1，2，…，k，
另元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中，
故B的个数为：
C1n-k
+C2n-k+…
+Cn-kn-k=2^n-k-1，…（7分）
从而集合对（A，B）的个数为2^k-1•（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1，
∴a_n=
n-1

k=1（2^n-1-2^k-1）
=(n-1)•2n-1-
1-2n-1
1-2
=（n-2）•2^n-1+1．…（10分）

点评：
本题考点： 数列的求和；子集与真子集．

考点点评： 本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

U（A，B）中，A、B的交集为空集，即B为∁_UA的非空子集，
根据题意，分4种情况讨论：
①、若A是单元集，则A有5种情况，B为∁_UA的非空子集，有2⁴-1=15种情况，此时有5×15=75组U（A，B），
②、若A中有2个元素，则A有C₅²种情况，B为∁_UA的非空子集，有2³-1=7种情况，此时有C₅²×7=10×7=70组U（A，B），
③、若A中有3个元素，则A有C₅³种情况，B为∁_UA的非空子集，有2²-1=3种情况，此时有C₅³×3=10×3=30组U（A，B），
④、若A中有4个元素，则A有C₅⁴种情况，B为∁_UA的非空子集，有1种情况，此时有C₅⁴×1=5组U（A，B），
共有75+70+30+5=180种；
故选C．

点评：
本题考点： 排列、组合及简单计数问题．

考点点评： 本题考查分类计数原理的运用，关键在于理解U（A，B）的含义．

依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．
因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．
故答案为：6．

点评：
本题考点： 元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．
列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏

对于命题①中的两个集合，可取函数f（x）=2^x，x∈N，是“保序同构”；
对于命题②中的两个集合，可取函数y＝
9
2x−
7
2 （-1≤x≤3），是“保序同构”；
对于命题③中的两个集合，可取函数tan(πx−
π
2) （0＜x＜1），是“保序同构”．
故答案为①②③．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；子集与交集、并集运算的转换．

考点点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题．

A是真命题 S={0}是和谐集；
B是真命题：
设 x₁=k₁a，x₂=k₂a，k₁，k₂∈Z
x₁+x₂=（k₁+k₂）a∈S
x₁-x₂=（k₁-k₂）a∈S
∴S={x|x=ka，a是无理数，k∈Z）是和谐集
C是真命题：任意和谐集中一定含有0，
∴S₁∩S₂≠∅；
D假命题
取S₁={x|x=2k，k∈Z}，S₂={x|x=3k，k∈Z∈}
S₁，S₂均是和谐集，但5不属于S₁，也不属于S₂
∴S₁∪S₂不是实数集．
故选D．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较新的题型．

U（A，B）中，A、B的交集为空集，即B为∁_UA的非空子集，
根据题意，分4种情况讨论：
①、若A是单元集，则A有5种情况，B为∁_UA的非空子集，有2⁴-1=15种情况，此时有5×15=75组U（A，B），
②、若A中有2个元素，则A有C₅²种情况，B为∁_UA的非空子集，有2³-1=7种情况，此时有C₅²×7=10×7=70组U（A，B），
③、若A中有3个元素，则A有C₅³种情况，B为∁_UA的非空子集，有2²-1=3种情况，此时有C₅³×3=10×3=30组U（A，B），
④、若A中有4个元素，则A有C₅⁴种情况，B为∁_UA的非空子集，有1种情况，此时有C₅⁴×1=5组U（A，B），
共有75+70+30+5=180种；
故选C．

点评：
本题考点： 排列、组合及简单计数问题．

考点点评： 本题考查分类计数原理的运用，关键在于理解U（A，B）的含义．