将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序数对（m，n）表示第m排，从左到右第n个数，如（3，2）表示整数5，则（16，

当n=1时2^1-1＜（1+1）² ，
当n=2时，2^2-1=2＜（2+1）² ，
当n=3时，2^3-1=4＜（3+1）² ，
当n=4时2^4-1＜（4+1）² ，
当n=5时2^5-1＜（5+1）² ，
当n=6时 2^6-1＜（6+1）²，
当n=7时 2^7-1=（7+1）² …（2分）
n=8，9，10，…时，2^n-1＞（n+1）²，
猜想n≥8时，2^n-1＞（n+1）²． …（4分）
证明：①当n=8时，由以上知结论成立；
②假设当n=k（k＞8）时，2^k-1＞（k+1）²，
则n=k+1时，2^（k+1）-1=2^1+（k+1）=2•2^k-1＞2（k+1）²．而2（k+1）²-（k+2）²=k²-2，∵k≥9∴k²-2＞0，
所以2（k+1）²-（k+2）²＞0，
即2（k+1）²＞（k+2）²，即2^（k+1）-1＞（k+2）²，即n=k+1时，结论成立，
由①，②知，对任意n≥8，结论成立．

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查猜想、证明的推理方法，考查数学归纳法证明命题．注意证明的步骤的应用．

A、3是6和9的公约数，小于6，所以排除A；
B、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除B；
C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的；故C正确；
D、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除D；
故选C．

点评：
本题考点： 约数与倍数．

考点点评： 此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法．

当C为20时，20+27=47，不符合合数的定义，所以答案A错；
当C为11时，11+8=19，不符合合数的定义，所以答案B错；
当C为4时，4+1=5，不符合合数的定义，所以答案D错；
故选 C．

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 在作选择题时，如果直接不好找答案的话，可以借助于题中答案进行验证求解，这也是选择题所特有的解题方法．

∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1…①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2^n-1-1…②，
①-②得a_n=2^n-1，
∴a_n²=2^2n-2，
∴数列{a_n²}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=
1−4n
1−4]=
1
3(4n−1)，
故选C．

点评：
本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{an}的通项公式，本题难度一般．

∵[
n
3]+[
n
6]＝
n
2，
∴只有[n/3]+[n/6]=[n/2]，
∴只有n整除3，且整除6时才能符合要求，6是3的倍数，
∴只要整除6即可，
∵正整数n小于2002，[2002/6]≈333，
∴这样的n有 333个．
故答案为：333．

点评：
本题考点： 取整计算．

考点点评： 此题主要考查了取整函数的性质，以及数的整除性知识进行分析，题目综合性较强．

（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，
且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上，
∴S_n=2-2a_n+1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2-2a_n+1）-（2-2a_n）=2a_n-2a_n+1，
∴2a_n+1=a_n，
∴an+1＝
1
2an，
∴a2＝
1
2a1=[1/2]，
a3＝
1
2a2=[1/4]．
（2）∵2a_n+1=a_n，∴
an+1
an=[1/2]，
∴a₁=1，∴a_n=（[1/2]）^n-1．

点评：
本题考点： 数列递推式；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．