重心与稳定关于重心.下列说法正确的是A重心是物体内受到重力最大的点.B任何几何形状规则的物理的重心必与集合中心重合C重心

证明：连接CG交AB于点H,由于G是△ABC的重心,可知CG：GH=2：1,于是CG：CH=2：3
因为DF//AB,所以DF：AB=CD：CB=CG：CH=2：3,所以DF=2/3AB
因为DE//AC,所以DE：AC=BD：BC=1：3,所以DE=1/3AC
又由于AC=根号2AB,所以DE=根号2/3AB,于是DF=根号2DE
又由于DF//AB,DE//AC,可知∠A=∠EDF
其中DE、DF与AB、AC对应成比例,且夹角相等,所以△DEF相似△ABC.

解题思路：由于G是△ABC的重心，可得AG=2GM；根据等高三角形的面积比等于底边比，可求出△ABG和△ABM的比例关系；同理M是BC中点，可得出△ABM和△ABC的面积比，由此得解．

∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GM；
∴S_△AGB=2S_△BGM，即S_△ABG=[2/3]S_△ABM；
∵M是BC的中点，即BM=[1/2]BC，
∴S_△ABC=2S_△ABM；
故
s△ABG
s△ABC=[1/3]．
故答案为：[1/3]．

点评：
本题考点： 三角形的重心．

考点点评： 此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．

重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
大概证明如下：
连接另外一条中线BO交AC于E,再连接DE,那么AO:OD=AB:DE=2:1.

可以这样思考,即把空容器的重心和液体的重心看成是两个质点,而整个容器的重心可看成是杠杆平衡的支点.当液体开始流失时,对容器整体的影响分两个方面,一是重量的减少导致单方面的力矩减少,杠杆平衡支点上移,另一方面,液体水平面的降低导致液体重心位置向下移动,造成力矩的增强,杠杆平衡支点下移.在开始液体重量大于容器重量时,液体的重量在整体中的占比大,流失过程对重心的下移影响大,故容器整体重心下移.当液体重小于容器重量时,液体流失及重量的减少导致力矩减少,对平衡支点（重心）上移的影响更大.故,整个变化过程中,重心最低的临界条件就是存留容器中液体的重量等于容器的重量的时刻,整个容器的重心处于最低点位置.仅是我的认识,供你参考.

由椭圆方程知：a＝5,b＝4,c＝3,
∴F1、F2的坐标分别为(－3,0)、(3,0),
设重心G的坐标为(x,y),点P坐标为(s,t)(t≠0),
则有：x＝((－3)＋3＋s)/3,y＝(0＋0＋t)/3,
解得：s＝3x,t＝3y,且y≠0,
又点P坐标满足椭圆方程,
∴把上述关系式代入椭圆方程得：
(3x)^2/25＋(3y)^2/16＝1,
化简得：x^2/25＋y^2/16＝1/9(y≠0),
此即△PF1F2的重心G的轨迹方程,其轨迹为椭圆(不包括长轴的两个端点).

重心你要知道当你在重心处栓一条线垂放时,物体在线的对称的两边的重量是相等的
即是密度相等
而由题目知道p0这一特殊的点,球体上到p点距离相等的点密度相等,那可以确定重心就在圆心与p0的连线op上
如果以o为原点,op为x轴,那么重心就在x轴上,所以y=z=0
所以如题目所说的由对称性知

解题思路：根据三角形的重心的性质，是三角形各边中点连线即可求解．

∵点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，
∴AD是BC边上的中线．
故选：C．

点评：
本题考点： 三角形的重心．

考点点评： 此题主要考查了学生对三角形的重心的理解和掌握，解答此题的关键是掌握重心定义．

外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点.
内心：三角形的三内角平分线交于一点.
垂心：三角形的三条高交于一点.
重心：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.

对的

(1)设C（x,y）,则M为（x/3,y/3）
由向量AB=(0,-2),且向量MN=λAB,推出M为（x/3,y/3-2λ）
M是外心,则M到三角形三顶点距离相等
（x/3-0)^2+(y/3-2λ+1)^2=（x/3-0)^2+(y/3-2λ-1)^2
（x/3-0)^2+(y/3-2λ+1)^2=（x/3-x)^2+(y/3-2λ-y)^2
解得C点坐标方程E为x^2/3-y^2/9=1

设AD、BE、CF为中线,
容易证明AG=2GD,
延长GD到0,使得DG=OD,连接B0
则OG=2GD=AG=3
△BD0≌△CDG,所以B0=CG=5
在△BGO中,OG=3,BG=4,B0=5
所以△BGO是直角三角线
S△BGO=1/2*3*4=6
所以S△BDG=1/2*S△BGO=3
S△GBC=2S△BDG=6
S△ABC=3S△GBC=18

∵G是重心,GF‖AC
∴△BFG∽△BCE
BF：FC=2：1

你要明白这和弹簧很相似
只要重心在两轮子之间来回震动就可以达到平衡
再说静止保持重心和轮子在一条直线上
在现实中不是不可能,但是需要保证一定的条件
所以现实中重心在两个轮子同一直线上左右摆动更容易实现,这也是经典物理(一般是不能实现的)与现实的结合

解题思路：

(1)小张同学所受的重力大小为

G=mg=60kg×9.8N/kg=588N，

(2)若他将身体撑起，阻力是

F2=G=588N

根据杠杆平衡条件F1LI=F2L2

地面对手的作用力至少是

F1=F2L2/L1=588N×0。9m/1.5m=352.8N，

（1） 588N（2）352.8N

解题思路：（1）转动物体静止时，重心应在最低处，由题目中的条件可确定出重心的大致位置．
（2）若重心在转轴处，则物体最后静止时F可在任意点，由此可知答案；
（3）焊接金属的目的是为了让重心回到转轴处，则应焊在重心所在的直径的最外侧；
（4）飞轮能停在任意位置，设转到焊接点与重心处在同一水平面上时，焊接物与重心的力矩应当平衡，则由力矩平衡可求得重心的位置．

（1）重心在最低点时，飞轮才能静止，因每次F都与转轴在同一水平面上，则说明重心应在轴心的正下方，故选A；
（2）如果重心在轴心处，则停止时，飞轮可以停在任意位置，即F可能出现在任意位置，故答案为：每次推动飞轮后，飞轮边缘上的标记F可以停在任意位置；
（3）焊接金属块的目的是为了让重心上移，则应焊在重心与轴心的连线上，并且在重心的另一侧，故E点位置如图所示；
（4）考虑到调整后，飞轮可以停在任意位置，
那么当飞轮的重心P和焊接点E转动到同一水平线上时（如图所示），
根据杠杆平衡条件：Mgl=mgR，
解得：l=[mR/M]
=[0.4kg×0.6m/80kg]=3×10^-3m
=3mm；
答：（1）A；
（2）每次推动飞轮后，飞轮边缘上的标记F可以停在任意位置；
（3）位置如图；
（4）重心到轴心的距离为3mm．

点评：
本题考点： 重心；杠杆的平衡条件．

考点点评： 本题难度较大，需要我们对重心及转动的性质有足够的了解才能顺利求解．

当物体可以被视为质点时,可以将物体的质量转移到重心,以达到简便问题的作用;
不倒翁的质量大部分集中在其物体的下部分,重心很低,左右摇晃时,重心都不会超过底座的轮廓,物体总是会趋于平衡,所以又会晃回来

持之以恒
语重心长
固步自封
冷嘲热讽
突飞猛进
据理力争
见异思迁
有始无终
三心二意
理所当然

延长BG与AC交于D,则BD是AC上的中线.
所以BD=1/2AC
又根据“勾股定理”得：AC=5
所以,BD=5/2
因为G是重心,所以BG=2/3BD=2/3*5/2=5/3

150，300

中线交点是内心,也就是三角形内切圆的中心,关于垂线交点.三角形每条边都有N条垂线,不能保证它们都相交于一点,但是中垂线是绝对相交于一点的,重心就是三角形中垂线的交点.

以PC为Z轴,PB为y轴,PA为X轴P为原点建立坐标C为(0,0,c)B(0,b,0)A(a,0,0)
G为(a/3,b/3,0),E为(0,2b/3,c/3),向量EG(a/3,-b/3,-c/3)向量BC(0,-b,c)
两向量内积为0,故EG⊥BC

等边三角形过,等腰的锐角三角形底边上的角平分线过,因为它与一条中线重合,中心是中线交点.

重心是都有的,内心外心进不一定了,一般是没有的,只有特殊情况下才有,垂心?在圆柱中无此概念.
重心是圆柱体各水平切面的中心,各中心的连线的中心是重心.

设P(m,n)
则三角形重心的坐标是
横坐标x=(3a+0+m)/3
纵坐标是y=(0+3b+n)/3
所以m=3x-3a,n=3y-3b
P在直线上
bm+an=ab
所以
b(3x-3a)+a(3y-3b)=ab
3bx-3ab+3ay-3ab=ab
3bx+3ay-7ab=0

三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心
三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心
三线合一是指底边上的中线,底边上的高和顶角的平分线互相重合

力是物体间的相互作用
重心由物体形状和质量两个因素决定

一个质量均匀分布的圆盘,质心在圆心,要是各部分重力场均匀,其中心也是重心,但要是圆盘很大高处重力作用小,低处作用大,则重心偏下,重心就不与质心重合,均匀重力场指质点在任何地方受重力相同的重力场,地面附近就是接近均匀重力场,但高度太大的空间就是非均匀重力场

解题思路：（1）根据已知中底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，我们易得AC⊥BD，PD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，即可得到AC⊥平面PBD．
（2）以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，设PD=DC=1，则我们可以求出直线AG的方向向量与平面PBD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出AG与平面PBD所成的角的正弦值．
（3）设PD上存在点N，使DN=λDP，我们易根据PB∥平面AGN，构造λ的方程，解方程求出满足条件的λ值，即可得到答案．

证明：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，则PD⊥AC，从而AC⊥平面PBD；

（2）以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，不妨设PD=1，则DC=1，从而有A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0）P（0，0，1），又G为△PBC的重心，
则G(
1
3，
2
3，
1
3)．由（1）知

AC是平面PBD的法向量，
则AG与平面PBD所成的角θ＝
π
2−〈

AC，

AG＞
易知

AC＝(−1，1，0)，

AG＝(−
2
3，
2
3，
1
3)，
则sinθ＝cos〈

AC，

AG＞＝
2

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得AC⊥BD，PD⊥AC，（2）、（3）的关键是建立空间坐标系，将空间直线与平面的夹角问题转化为向量夹角问题．

∵F=mw^2r
w=2πn
∴F=m(2πn)^2r
=0.01*4π^2*1000000*0.2
=8000π^2N

添上条件DE//BC可解:：
设AF为中线
DE//BC
三角形ADE相似于三角形ABC
S1:(S1+S2)=(AG/AF)^2=4:9
S1:S2=4:5

设C(u,v),△ABC的重心M(m,n)

根据三角形重心的性质,有：m=(u+1)/3,n=(v+2)/3

于是,u=3m-1,v=3n-2

因为(u,v)满足2x+y-3=0

所以(m,n)满足2(3m-1)+(3n-2)-3=0即6m+3n-7=0

所以△ABC的重心轨迹方程为6x+3y-7=0

以O为原点.OC、OB、OC为坐标轴建立空间坐标系,
C（3,0,0）,B（0,2,0）,A（0,0,1）,
取BC中点E,连结OE,AE,
E（3/2,1,0）,
向量OE=（3/2,1,0）,
△ABC重心在AE上,|EG|=|EA|/3,
根据定比分点公式 ,|EG|/|GA|=1/2,λ=1/2,
设重心坐标G（x0,y0,z0),
x0=[3/2+(1/2)*0]/(1+1/2)=1,
y0=[1+(1/2)*0]/(1+1/2)=2/3,
z0=[0+(1/2)*1]/(1+1/2)=1/3,
向量OG=（1,2/3,1/3）,（可直接套公式,三个坐标和的1/3）
向量（OA+OB+OC）=（3,2,1）,
∴向量OG·（OA+OB+OC）=1*3+（2/3）*2+（1/3）*1
=3+4/3+1/3
=14/3.

M中点的坐标为:X=(1+4)/2=5/2,Y=(2+1)/2=3/2.
中线CM的长为:√[(3-5/2)^2+(4-3/2)^2]=√26/2.
重心坐标为:X=(X1+X2+X3)/3=8/3,Y=(Y1+Y2+Y3)/3=7/3.
|AB|=√[(1-4)^2+(2-1)^2]=√10,
|BC|=√[(4-3)^2+(1-4)^2]=√10.
三角形ABC为等腰三角形,设,AC边的中点为D,则点D坐标为:
X=(1+3)/2=2,Y=(2+4)/2=3.
|BD|=√[(4-2)^2+(1-3)^2]=2√2.
|AC|=√[(1-3)^2+(2-4)^2]=2√2.
根据面积相等,有
S⊿ABC=1/2*AC*BD=1/2*sin∠ABC*AB^2,
sin∠ABC=4/5.

三角形重心：三条边中线的交点.
性质：重心到一边中点距离等于中线长的1/3.
由A（2,0）,C（-2,0）
原点O（0,0）是AC的中点,
连BO,设重心P（x,y）,
过P作PM⊥x轴于M,
过P作PN⊥y轴于N,
y=PM,x=PN,
PM/BH=1/3,
∴y=PM=1,
OM/OH=1/3,
∴x=OM=1/3,
∴重心P（1/3,1）

1. 10×1/跟2=5跟2 CM=6.13左右
2. 1比跟2 也就是 1比6.13 貌似是这个值

重心的坐标是顶点坐标的算术平均
设重心M(x,y),C(x1,y1)
x=(x1+6-3)/3=x1/3 + 1,x1=3(x-1)
y=y1/3,y1=3y
∴C(3(x-1),3y)
把C代入圆x²+(y-6)²=1中得
[3(x-1)]²+(3y-6)²=1
(x-1)²+(y-2)²=1/9
∴△ABC的重心的轨迹方程为(x-1)²+(y-2)²=1/9

自言自语重心长生不老当益壮志凌云

重心越低,物体的稳定性越好,这里的稳定性指的是物体保持原来状态的能力,比如,不倒翁之所以不倒就是因为重心低,故能保持直立的状态.
你可以去了解一下物理学中的3中平衡：稳定平衡、 不稳定平衡、 随遇平衡

等效作用点就是所谓的将一个物体所受的全部力用一个点收到的力表示,这个店就是等效作用点

应为重心的特点是所有的重力效果都经过这一点,但是重力是作用在物体的每一块质量上的,进过等效,可以吧物体受到的重力都看作是作用在重心上,这就是等效.有的物体受到的重力会等效到物体外的一个点《比如圆环》,所以他就可以不在物体上

解题思路：注意重心的位置与物体的质量分布和形状有关，在水从小孔不断流出的过程中，容器和水的整体的重心将先下降，当水流完后，重心又上升．

装满水时重心在球心处，随着水从小孔不断流出，重心位置不断下降，当水流完后，重心又上升到球心处，故重心的位置先下降后上升，故ABD错误，C正确．
故选：C．

点评：
本题考点： 重心．

考点点评： 本题考查对实际物体重心位置的分析能力，注意理解重心与质量分布的关系，不能认为重心位置就一直下降，比较简单，这里用到的分析法是特殊位置法．

中学阶段一般都是画在重心或者直接物体中心的,浮力画重心应该是没问题的~

证明全等三角形多种方法
范例
在平常学习中,有许多关于证明全等三角形的问题.
据我现在知道,证明全等三角形的方法就有四种：SSS,SAS,ASA,AAS.唯独不能用的就是SSA,用这种方法证明是完全错误的.
现在,我就先分别每一种证明方法列两个题目.
SSS是指有三边对应相等的两个三角形全等.
第一题是SSS证明方法里最简单的.
如图,已知AB=DE,BC=EF,AF=DC,则∠EFD=∠BCA,请说明理由.
证明：∵AF＝DC（已知） E
∴AF+FC=DC+FC
∴ AC=DF
在△ABC与△DEF A F
∵ AC=DF(已证) C D
AB=DE(已知)
DC=EF(已知)
∴△ABC≌△DEF(SSS) B
∴∠EFD=∠BCA(全等三角形的对应角相等)
这是最基础的一道题.下面讲第二道题.
这一题还运用了关于中点的知识.
如图,AB=DC,AC=DF,C是BF的中点.说明△ABC≌△DCF.
证明：∵C是BF的中点(已知) A D
∴BC=CF(线段中点定义)
在△ABC与△DCF中
∵AB=DC(已知)
AC=DF(已知) B C F
BC=CF(已证)
∴△ABC≌△DCF(SSS)
这一题不仅帮我了解了SSS的题目,还帮我巩固了中点的知识.
SAS是指有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
第一题还是SAS证明方法中最简单的题目.
如图,AC与BD相交于点O,已知OA=OC,OB=OD,说明△AOB≌△COD.
证明：在△AOB与△COD中 A B
∵OA=OC(已知)
∠AOB=∠COD(对顶角相等) O
OB=OD(已知)
∴△AOB≌△COD(SAS) D C
这一题是非常的简单但是如果前面的对顶角知识没学好的话,这一题就不会这么轻松了.下面再来讲讲第个题目
第二题还运用了中垂线的知识.
如图,直线L⊥线段AB于点O,且OA=OB,点C是直线L上任意一点,说明CA=CB.
证明：∵直线L⊥线段AB于点O
∴∠COA=∠COB(垂直的定义)
在△COA与△COB中 C
∵OA=OB(已知)
∠COA=∠COB(已证)
OC=OC(公共边)
∴△COA≌△COB(SAS)
∴CA=CB（全等三角形的对应角相等） A O B
L
ASA是指两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
第一题是ASA比较简单的.
如图,已知∠DAB=∠CAB,∠EBD=∠EBC,说明△ABC≌△ABD.
证明：∵∠EBD=∠EBC(已知) D
∴∠ABC=∠ABD(等角的补角相等)
在△ABC与△ABD中 A B E
∵∠DAB=∠CAB(已知)
AB=AB(已知)
∠ABC=∠ABD(已证) C
△ABC≌△ABD(ASA)
这一题我说它简单是因为有许多已知的条件,但是有一条件是要记得等角的补角相等这一知识.
这是比较简单的一道题,下面讲第二题.
这一题还运用高的知识.
如图,△ABC的两条高AD,BE相交于H,且AD=BD,说明△DBH≌△ADC.
证明：∵AD,BE相交于点H
∴∠BHD=∠AHE（对顶角相等） A
∵AD,BE是△ABC的高
∴△BDH≌△ADC（AAS） E
∵∠HBD+∠BHD+∠BDH=180°
∠AHE+∠HAE+∠EAH=180°
∴∠DBH=∠DAC
在△BDH和△ADC中 B D C
∵∠BHD=∠ACD（已证）
∠HDB=∠CDA（已证
AD=BD（已知）
∴∠ADC=∠BDH=90°
还有最后一种是运用AAS的方法来证明题目.
如图,已知∠B=∠C,AD=AE,说明AB=AC. B
证明：在△ABE与△ACD中
∵∠B=∠C(已知) D
∠A=∠A(公共角) A
AE=AD(已知) E
∴△ABE≌△ACD(AAS) C
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
这也只是一种,还有一种不仅用AAS方法证明全等三角形,其中还用了角平分线的知识.
如图,点P是是∠BAC的平分线上的一点,PB⊥AB,PC⊥AC,说明PB=PC.
证明：∵AP是∠BAC的平分线（已知）
∴∠CAP=∠BAP(角平分线的定义)
∵PB⊥AB,PC⊥AC（已知）
∴∠ABP=∠ABP(垂线的定义)
在△APB与△APC中 C
∵∠PAB=∠PAC(已证) P
∠ABP=∠ABP(已证)
AP=AP（公共边） V A B
∴△APB≌△APC(AAS)
∴PB=PC(全等三角形的对应边相等)
在这些所以的证明全等三角形的题目中,有一类题目最让我头痛,经常让我做错,就像下面这题：
如图△ABC和△AB’C’中,AB=AB’,要使△ABC≌△AB’C’,再添加一个条件＿＿＿＿＿＿＿＿ B’
C

A
C’ B
在这种情况下,我们可以用SAS,ASA,AAS.唯独不能用来证明的就是SSA的方法,可我有时就偏用SSA的方法去证明,填入BC=B’C’,这是完全错误的,在这个空内我们可以选填∠B’=∠B或∠ACB=∠AC’B’,或AC=AC’.
这就是我在生活中发现的关于证明全等三角形的问题.

AD是BC边上的中线, BE是AC边上的中线
所以BD=DC,AE=EC
所以DE是三角形ABC的中位线
所以ED‖AB,ED=1/2AB,即ED/AB=1/2
所以△GED∽△GAB
所以AG/GD= ED/AB =1/2
即AG/GD=2
同理可证BG/GE=2

过B C分别作AG的平行线,交AG于D、E
则BM/AM=BD/AG,CN/AN=CE/AG
BM/AM+CN/AN=(BD+CE)/AG=2GK/AG=1
其中K是BC中点.AG=2GK是重心的性质

过C作CD平行AB交AG延长线于D,过C作CE平行BG交AD于E,延长BG交AC于F,AD与BC交于H
因G为⊿ABC重心,则F为AC中点,H为BC中点
BG平行CE,则AG/EG=AF/CF,则EG=AG=3
AB平行CD,则AB/CD=BH/CH=AH/DH,则AB=CD,AH=DH
因AB平行CD,则角BAD=角CDA
因BG平行CE,则角BGE＝角CEG,则角AGB＝角DEC
因角BAD=角CDA,角AGB=角DEC,AB=CD
则三角形ABG全等DCE
则CE=BG=4
又CG=5,CE^+EG^=CG^ (^表示平方)
所以角CEG=90度,角BGA=角CED=180度-角CEG=90度
又BG平行CE,BH=CH,则GH=EH=GE/2=1.5
S(ABH)=AH*BG/2=(3+1.5)*4/2=9
因H为BC中点,则S(ABH)=S(ACH) (底相等高相同)
则S(ABC)=2S(ABH)=2*9=18

重力和拉力平衡------------既等值且反向 ∵重力的作用线通过重心 ∴拉力的作用线也闭通过重心
至少悬挂两次 得两条直线 两条不平行的必相交（∵都过重心）确定唯一的点