y=x^2 ln(1+x),求y^(20),用莱布尼茨公式做的,要求20次导,

你说的是最基本的方法,其它的就是适用于特殊情况,如利用特殊图形面积已知能算一些定积分,还有就是用牛顿法算不了用二重积分的性质能算的定积分.只能是你自己综合运用各个知识点.

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：我们知道,对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：b(上限)∫a（下限）f(x)dx 现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx 但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt 接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量 ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt 显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.) 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x） 但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C 于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a) 把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.

v 是 0 阶导数是求了 0 次导数,即不求导数,就是 v 本身.

根据上面那个蓝色框里面的公式得来的

三项分别对应代入,就得到了红色线部分!

1、y=xe^(-2x)
这个n阶导数中只有两项,一项是e^(-2x)求n阶导,x不求导；另一项是e^(-2x)求n-1阶导,x求一阶导,其余项由于x求导阶数≥2,因此结果都是0
y^(n)=x[e^(-2x)]^(n)+C(50,1)(x)'[e^(-2x)]^(n-1)
=(-1)ⁿ2ⁿxe^(-2x)+(-1)ⁿ⁻¹n*2ⁿ⁻¹e^(-2x)
=(-1)ⁿ2ⁿ⁻¹e^(-2x)(2x-n)
2、y=x²+lnx
这个题不需要莱布尼兹公式
y'=2x+1/x
y''=2-1/x²
y'''=2/x³
.
y^(n)=(-1)ⁿ⁻¹(n-1)!/xⁿ,当n≥3时
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.

什么是数学
不过这本书涵盖范围稍微广了点

高阶的莱布尼茨公式,形式就跟二项式定理一样,
（u*v）^（n）=u(n) + n*u(n-1)*v(1) + [n*(n-1)/2]*u(n-2)*v(2)+……+[n*(n-1)/2]*u(2)*v(n-2)+n*u(1)*v(n-1)+v(n)
就跟二项式展开（u+v）^n=…… 一样,只是n次方换成了n次求导
很显然例如对 a*x^b （其中b为自然数）求n次导数,必然求b+1次就为0了
有的N阶求导一下子只有3项,形式如（e^x）*(x^2) 对它求n次导数,
右边第一项为e^x,第二项n * e^x * 2x,第三项[n*(n-1)/2] * e^x * 2,第四项自然是0了
所以只有三项

导数平方后结果为：1/(1-x^2)=1/(1-x)*(1+x);
进行裂项：=1/2*(1/1-x + 1/1+x);
然后相信你已经能看出来,问题转化为求 1/1-x 和 1/1+x 的n-2阶导数了,这个都是有规律有公式的；
如：{1/1+x}[n-2]=(-1)^n-2 * (n-2)!/(1+x)^n-1;
电脑上不好打,高数书上都有公式的~

因为在牛顿-莱布尼茨公式发明之前 我们只能靠无限分割区间来再相加来进行定积分（微分思想）
有时很方便 但大多数时很不方便
自从有了牛顿-莱布尼茨公式 积分学起了巨大变化
只要知道此函数的原函数就可计算出定积分
当然也有限制 必须是函数在区间内连续才可以 比如处处可导都不能用此公式
这个公式是天才的发明 向他们致敬

你好
你可以这么考虑 把从x到x+T的积分 分两部分
如果x是T的整数倍,即x=nT,那么结果显然成立；
如果x不是T的整数倍,设x在nT和（n+1）T之间,
把从x到x+T的积分 分为从（从x到（n+1）T积分 ）加上（从（n+1）T到x+T的积分）,
分的两部分中,后半部分等于从nT到x的积分 这个结果成立是因为f（x）以T为周期
**这个可以自己画个数轴考虑下**
上面证明了从x到x+T的积分就等于（从x到（n+1）T积分 ）加上（nT到x的积分）,也就是从nT到（n+1）T 的积分 也就等于0到T的积分了

给你推荐一本书,我正在看的
牛顿著：自然哲学之数学原理,写的很详细

若函数f(x）在[a,b]上连续,且存在原函数F(x）,则f(x）在[a,b]上可积,且
　　b（上限）∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)
　　这即为牛顿—莱布尼茨公式.

实际上牛顿莱布尼茨公式对一定条件下的非连续函数也是成立的.
从函数
　f(x) = x/2+x^2*sin(1/x),x≠0,
= 0,x=0,
可以计算出其导函数
f'(x) = 1/2+2xsin(1/x)+cos(1/x),x≠0,
= 0,x=0,
它在x=0不连续.可仿瑕积分的计算方法,f'(x)在 [a,1](0

x从3阶导数开始都等于0

高数课本后面不是介绍了无穷积分,还有一个是瑕点积分吗?就是在积分区间内,不是每个点都是有意义的,那么就不能直接使用牛顿莱布尼茨了

C(k,n)=n!/[k!(n-k)!]
其实就是二项式展开的系数.
希望可以帮到你,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,

要证明莱布尼茨公式就不必了,记忆莱布尼茨公式是仿造二项式公式去记忆的,二项式公式就是高中里学的那个,（a+b）^n=∑C（n）r a^(n-r)*b^r
把二项式公式里的a,b的指数看成是对u,v的求导次数,0次就是不求导,希望你能看懂,公式不是很好编辑.

有些题目可以利用莱布尼茨公式简便的做出来,你看历年真题就知道.
最好掌握,如果用到可以节省时间的.反正你现在复习的话应该先把所有知识点过一遍的~

∫3 x3 dx=3/4x^4+c

先分类,即为§[-1,1]1-x^dx+§[1,2]x^2-1dx然后求出对应原函数!

能

一般地,对于积分∫[x1→x2] f(x)dx
假设存在F(x),使得F'(x)=f(x),即有dF(x)=f(x)dx
于是原积分化为∫[x1→x2] dF(x),按照积分的定义,∫[x1→x2] dF(x)=F(x2)-F(x1)
于是就得到了牛莱公式,∫[x1→x2] f(x)dx=F(x2)-F(x1),其中F'(x)=f(x)
对于∫（0~1）x^2 dx,f(x)=x^2,根据求导规则可知,可以选择F(x)=x^3/3,因为此时F'(x)=f(x)
于是根据牛莱公式∫（0~1）x^2 dx=F(1)-F(0)=1/3

这个不是初等函数解,但可以计算

用文本录入数学公式时最好加上必要的括号,否则表达的意思可能不对.
x>=0时,f(x)=ln(1+x),
x

By formula：
∫(π/3,0) cosx dx
= -sinx
= -√3/2
By definition：
The nth Area = Σ(k=1->n) cos[π/3 + (-kπ/3)/n] * (-π/3)/n
= [-π/(3n)]Σ(k=1->n) cos[π/3-(kπ)/(3n)]
= [-π/(3n)] * (1/4){√3 * cot[π/(6n)] + 1}
= -(π/12) * {√3 * cot[π/(6n)] + 1}/n
A = ∫(π/3,0) cosx dx
= lim(n->∞) -(π/12) * {√3 * cot[π/(6n)] + 1}/n
= (-π/12)lim(n->∞) {1 + √3/tan[π/(6n)]}/n
= (-π/12){[lim(n->∞) 1/n] + [√3lim(n->∞) 1/(n*tan(π/(6n))]}
= (-π√3/12)lim(n->∞) 1/{n*tan[π/(6n)]}
= (-π√3/12)lim(n->∞) 6/{π[tan²(π/(6n))+1]},L’Hospital's Rule
= (-√3/2)lim(n->∞) 1/{1+tan²[π/(6n)]}
= (-√3/2) * 1/(1+0)
= -√3/2

你可以把它与二项式定理比较一下,会发现它们的各项系数和阶次的相似性；为了更直观的理解西格玛（累加）的意义,你可以从上往下把一阶导数、2阶导数、3阶导数、4阶导数都具体展开,就会发现规律：(uv) = uv(uv)' = u'v...

∫[1→3] |x-2| dx
=∫[1→2] |x-2| dx + ∫[2→3] |x-2| dx
=∫[1→2] (2-x) dx + ∫[2→3] (x-2) dx
=[2x-(1/2)x²] |[1→2] + [(1/2)x²-2x] |[2→3]
=4 -2 -2 + 1/2 + 9/2 - 6 - 2 + 4
=1

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我们设F(X)=(1/3)x^3+2x-1/x,那么原式子等于F(3)-F(1)-(1/3)*3^3+2*3-1/3-((1/3)*1^3+2*1-1/1)=44/3-4/3=40/3

1.先判断积分区间内有无暇点,比如区间（0,+∞),被积函数分母有个（x-1),那么区间要分为
（0,1）和（1,+∞)两个积分,如果还有就继续分.
2.现在（0,1）和（1,+∞)内无暇点,用牛顿一莱布尼茨公式计算,代入端点1,+∞时是求极限.

设un=(-1)^n/√n
|un|=1/√n
∵p=1/2

连续一定有原函数,但不连续不一定没有原函数
例如：f（x）=2xsin 1/x-cos 1/x,x不等于0；f（x）=0,x=0
存在原函数,且连续可导即：F（x）=x2sin 1/x,x不等于0；F（x）=0,x=0

若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且 b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式.牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.下面就是该公式的证明全过程：
编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b∫a*f(x)dx 现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φ(x)= x∫a*f(x)dx 但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φ(x)= x∫a*f(t)dt
编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ 与格林公式和高斯公式的联系
’(x)=f(x).证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量 ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt 显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.) 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x） 但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C 于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a) 把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.
例子：求由∫（下限为2,上限为y）e^tdt+∫（下限为o,上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx
求1,∫（下限为-1,上限为1）(x-1)^3dx 2,求由∫（下限为0,上限为5）|1-x|dx 3,求由∫（下限为-2,上限为2）x√x^2dx
e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).
1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;
2).∫（下限为0,上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0,上限为1）x-1dx+
∫（下限为1,上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;
x√x^2是奇函数,所以∫（下限为-2,上限为2）x√x^2dx=0

会考,不过考到都是灵活应用
比如：F(x)=A(x)*B(x)
其中B(x)是一个二次三项式,那么求三次导数就变成0了
那么莱布尼兹展开式中其实只有前3项.
出道题目基本就是这种类型.

这个叫"组合数"
表示从n个元素中取k个元素的取法
见链接详解

　　1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).%D%A　　证明：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量%D%A　　ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt%D%A　　显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt%D%A　　而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,%D%A　　也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)%D%A　　当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)%D%A　　可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).%D%A　　2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.%D%A　　证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）%D%A　　但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C%D%A　　于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),%D%A　　而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)%D%A　　把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.

y^(n) = x^2 e^x + 2n x e^x + n(n-1) e^x

　　这个题要用莱布尼茨公式
　　　　(uv)^(n) = Σ(0≤k≤n)C(n,k)[u^(k)][v^(n-k)]
来解的,你试试?

莱布尼茨公式展开式类似2项式展开式,把其中的几次方换成几阶导数就行

C
把xdx变成1/2d(x^2),就可以直接用牛顿-莱布尼兹公式.

k就是公式中的一个变量,就是k的取值在[0,n]的范围内取整数,取值n就是你要求导的阶数,比如你说的y=e^xcosx,求其四阶导数,则k=0,1,2,3,4时,依次带入莱布尼茨公式中.计算就可以了

这个公式是说,对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候,可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加,其系数是C(i,n).
那个C是组合符号,
C(i,n)=n!/(i!(n-i)!)

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．

一般都是转换成比较简单的形式然后积分,必须先掌握一般函数的导数形式.

微积分最基础的定义就是无穷小量的级数求和.积分的范围是很广的,咱们一般说的积分都是指黎曼积分.当你的积分变量就是自变量的时候可以用牛顿莱布尼兹公式来计算定积分.牛莱公式仅仅是一个计算的方法,和微积分的定义没有半点关系.