y’’+2y’+y=2e^(-t),y(0)=y’(0)=0,用拉普拉斯变换求解.

F(s)=1/s^2-1/(s^2+1) 1/s^2------>t 1/(s^2+1)------>sint
f(t)=t-sint

1/s

最近在预习复变函数,看到拉普拉斯变换了,应该说是比较熟悉的,
初中看高数时在常微分方程里就介绍过用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法,
我印象中那时我看到这种方法很高兴,因为我很容易地推导出了附录里两页几乎全部的拉氏变换公式（那时我还不能推导出附录里积分表的所有公式）
可现在我重新看的时候,发现我找不回当时推导拉氏变换公式的那种简单方法了,只会用书上那些要用到我初中时还不会的知识的麻烦方法.
比如t^n的变换,按现在方法是要用到欧拉积分里的伽马函数的知识,可我是直到高中才推导出伽马函数的表达式的,（当然初中看的那本简单的高数里是用我那时知道的阶乘表示的）,我不可能用这种方法推导的.
还有现在使用的方法大量使用复数各种运算,可当时我连欧拉公式都不知道.
我感到很疑惑,虽然当时可能不是用的严格的方法做的,但结果是的确对的,
不知道大家谁知道可以不用复数知识,欧拉积分之类超出高数课本范围的知识来简便的求拉氏变换?不要求严格证明.

拉普拉斯变换 从本质上说 如果常数的定义是"常数" 则其不存在拉普拉斯变换.
如果说该常数定义是 "阶跃信号" 并且定义他阶跃到了a值 则其拉普拉斯变换为 a/s
这个东西如何去理解它呢? 拉普拉斯变换最初被用来解决 (输入值) 与(输出值)
的相互关系是由 (线形定常微分方程)所描述时 将这种复杂的描述映射到另一种集合中
以企图将这种关系用一种类似 (乘法) 的简单关系描述出来. 这种简单的关系表示就是
拉普拉斯变换.
而后来, 当人们发现拉普拉斯变换具有很好的性质,它的用途被拓宽了.并将拉普拉斯变换
的概念抽象,用一种 (收敛)的方式 来描述拉普拉斯变换的过程.并且发现 很多傅氏变换
无法 (收敛)起来的函数,用拉普拉斯变换的 (收敛)方式可以将其(变换成功).
但是归根结底, 拉普拉斯变换的本质是 一个由 (你们现在通常看到的那些简单的函数)
(映射)到一个 (拉普拉斯变换后的函数的集合) . 意味着 如果你给出的东西根本就不是
一个(函数), 而是一个纯粹的(常数)的话 , 则它的拉普拉斯变换不存在.
以上是基于 (集合论)的描述
------------Ew

Abstract
Laplace transform a complex function of the part,it is a mathematical integral transformation,its core is the function of time and complex function linked to the time-domain issue to transformation through complex mathematical problems frequency domain,the domain of high-end time Differential equations transform a complex frequency domain in order to solve the algebraic equation.Laplace transform has broad application of space,Laplace transform the complex function addressed in practical applications are very important,LaPlace integral transformation in pure mathematics and applied mathematics are in a powerful tool.On certain issues,he compared the use of broad transformation because of its original function as the conditions required because of weak.Laplace transform a number of important applications,the study Laplace transform a very practical application.
Laplace transform is to simplify the calculation and the establishment of the function is variable and complex variables of a function transformation.Is a function of variables for Laplace transform and a variety of complex domain,and then computing the results obtained Laplace anti-evolution exchange for real results of the corresponding jurisdictions,often in direct than the actual domain sought The same results in the calculation of the more vulnerable.
This paper studies in Laplace transform of differential equations,integral equations and generalized integral calculation of the application,and Laplace transform as a tool introduced in Laplace transform non-mathematical applications in the field.
Key words:Laplace transform,differential equations,integral equations,generalized integral

F(s)=2/s^3+3/s

如果有L[sinwt]=w/(w²+p²)的提示,那估计出题者的本意是让你用第一种方法进行求解,即用分式裂项求解,而且只要进行一步裂项就可以了,也就是出现1/（p+a)+p/(p²+b)的形式,便可以直接逆用公式了~

不一定.以拉开头的数学家很多,比如像拉灯什么的.
实际上,拉格朗日(Lagrange)是很有名的法国数学家,注意区别是不是他的变换.

1/(s²+1)

因果信号 后时间T值与前时间相关.

cos(t)=e^(it)/2+e^(-it)/2
F(s)=L[t^3 * e^(2t) * cos(t)]=(0->∞)∫t^3*e^(2+s+i)t dt+(0->∞)∫t^3*e^(2+s-i)t dt
=(0->无穷大)[(e^(((2 + I) + s) t) (-6 + 6 ((2 + I) + s) t - 3 ((2 + I) + s)^2 t^2 + ((2 + I) + s)^3 t^3))/((2 + I) + s)^4+
+(e^(((2 - I) + s) t) (-6 + 6 ((2 - I) + s) t - 3 ((2 - I) + s)^2 t^2 + ((2 - I) + s)^3 t^3))/((2 - I) + s)^4]=
=(0->无穷大)(2cost)e^[(2+s)t](-6 + 6 ((2 - I) + s) t - 3 ((2 - I) + s)^2 t^2 + ((2 - I) + s)^3 t^3))/((2 - I) + s)^4=
=(6 (-7 - 8 s + 18 s^2 - 8 s^3 + s^4))/(5 - 4 s + s^2)^4
按理说应该有简单的方法,例如对微分方程进行Laplace变换,e^(2t)是对F(s)的平移.
但是t^3*cost的微分方程太难找了.

复频域法 您的提问（回答）过于简略,请再丰富一下内容重新提交

运用矩阵连分法程序数值求解一维谐振子、中心力场的能级和相应的几率分布,并与理论值进行比较,发现矩阵连分法只需进行有限地截断,一般小于10,就可以达到很高精确度.此外,在应用矩阵连分法求近似能级时,修正的哈密顿量不需要象微扰法那样,要求具有严格的限制条件,因而具有普适性.关键词矩阵连分法；拉普拉斯变换；三角递推关系.只能帮到这了!其他不太知.

fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；它可以说是laplace变换的特例,laplace变换是fourier变换的推广,存在条件比fourier变换要宽,是将连续的时间域信号变换到复频率域（整个复平面,而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴）；z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的laplace变换,再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期）,所对应的域为数字复频率域,此时数字频率ω=ΩT.

既然你在学,就应该知道下面的,我就不推了
就当L是法文的那个模样吧
L(t^n)=n!/p^(n+1) L(2)=2×L(1)=2/p
由线性定理
L(f(t))=2/p^3+3/p^2+2/p
是这样吧

-1/s s

简单点说,两个变换都会在一个无穷的区域上进行积分,可能有的函数会导致积分发散,从而不存在上述两个变换.由于拉普拉斯需要引进了一个衰减因子.所以,拉普拉斯变换条件更宽.当一个函数有傅里叶变换的时候,肯定有拉普拉斯变换.但是,有拉普拉斯变换,不一定有傅里叶变换.

而复指信号e^(st)是一切线时不变系统的特征函数,系统控制中广泛使用；拉氏变换运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效.指数函数很好玩,尤其是关于e的指数,无论怎样求导它都不变,与它相乘后求积分就可能通过对被乘函数多次求导达到降次作用.

激励 指输入信号对系统的刺激作用；
零状态响应 简单说就是 系统（电容,电感.）没有任何储能,刚打开系统时输入信号经过系统的响应；
零输入响应 是没有输入信号,单由系统产生的响应,一般系统内有激励源
冲击函数就是数学中的1,实质上是个信号单位,因为所有的数字信号都可以表达为 冲击函数的组合,那么任何一个信号的响应可以简单的通过冲击响应组合来表达；
构造系统函数要看系统什么要求了,带宽,带阻之类的

拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法,把定义在时域上的信号（函数）映射到复频域上（要理解这句话,需要了解一下函数空间的概念--我们知道,函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系,而两个或以上的函数组合成的集合,就是函数空间,即函数空间也是一个集合；拉普拉斯变换的“定义域”,就是函数空间,可以说,拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数.由于拉普拉斯变换定义得相当巧妙,所以它就具有一些奇特的特质）,而且,这是一种一一对应的关系（只要给定复频域的收敛域）,故只要给定一个时域函数（信号）,它就能通过拉普拉斯变换变换到一个复频域信号（不管这个信号是实信号还是复信号）,因而,只要我们对这个复频域信号进行处理,也就相当于对时域信号进行处理（例如设f(t)←→F(s),Re[s]>a,则若我们对F(s)进行时延处理,得到信号F(s-z),Re[s]>a+Re[z],那么就相当于我们给时域函数乘以一个旋转因子e^zt,即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要对F(s-z)进行反变换,就可以得到f(t)e^zt）.
拉普拉斯变换被用于求解微分方程,主要是应用拉普拉斯变换的几个性质,使求解微分方程转变为求解代数方程（因为求解代数方程总比求解微分方程容易得多!而且,（可以很方便地）对求解结果进行拉普拉斯反变换从而得到原微分方程的解）.
我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此）,但我们难以画出一个复变函数的图象,这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因,就是拉普拉斯变换中的复频率s没有明确的物理意义.
关于特征根和复数,建议提问者再去看看书中的定义,应该不难理解.

果有L[sinwt]=w/(w

利用公式：2 sinA sinB = cos(A-B) - cos(A+B)
再积分.懂啦?

用某种数学变换,把微分运算变成代数运算（或减少微分方程中为质量的个数）的方法,以使得计算简便.
就像取对数可以把乘除运算变成加减运算一样.

从定义解的话,这个详解相当长而且复杂,要替换变量和应用柯西积分定理；但是t的m次幂是有对应的可背的公式的

提示：
1.sin(2t)=[e^(2j)-e^(-2j)]/2j
2.把e^(-3t)和上述表达结合在一起.求出拉氏变换.
3.用性质：在时域内乘以t对应于在频域内对s求导.

标准正态分布的原函数实质上是个伽马积分,这种积分没有显式表达式,只能够通过分部积分写出递推式.当积分上下限各趋向于正、负无穷时,此积分趋向于伽马函数Γ(1/2)/sqrt(π)

是的,高等数学

根据拉普拉斯变换函数的线性性质
7sin3t的拉普拉斯变换等于7倍的sin3t的拉普拉斯变换
根据常用拉普拉斯变换表可知
sin(wt)的拉普拉斯变换函数是w/(s^2+w^2)
这里w=3
所以最终得到7sin3t的拉普拉斯函数是7*[3/(s^2+3^2)]=21/(s^2+9)

=1/(S+4)

一定没有,看一下拉普拉斯变换后的式子,如果极点在收敛域内,则拉普拉斯变换后的式子就是取无穷大的值了,所以不包含极点的,如果是因果信号,收敛域是最右边极点的右边；如果是反因果信号,收敛域是最左边极点的左边；如果是双边序列,就要具体问题具体分析了

无间断点.拉普拉斯变换公式积分区间由三部分构成：负无穷~0,T,正无穷.三部分结果相加就行了.

离散信号对应的“拉普拉斯变换”我们成为z变换1.e(kT)=1-e^(-akT)对应连续信号e(t)=1-e^(-at)1对应z变换为z/z-1e^(-at)对应z变换为z/z-e^-(aT)则：e(kT)=1-e^(-akT)对应z变换为z/z-1 -z/z-e^-(aT)2.e(kT)=e^(-akT)*c...

利用微分性质,可以知道L【tsin(wt)】=-L【（-t)sin(wt)】=-L‘【sin(wt)】就可以求出来了

最后一步,积分上下限要换一下,所以负号抵消

δ函数拉普拉斯变换不就是1么……
若有时移…：δ(t-t0)↔e^-st0
你想问的是这个么……

时域相乘等于频域卷积,时域卷积等于频域相乘.
所以上面的式子是错误的.应该等于F(S1)和F(S2)的卷积.

欧拉公式：e^iwx=coswx+isinwx
e^-iwx=coswx-isinwx
i为虚数单位,两式相减,消去cos项即可得到

L【tsin(wt)】=-L【（-t)sin(wt)】=-L‘【sin(wt)】

用求拉普拉斯变化的基本公式可得到

L[f(x)]=1/(s+2)+2/(s^2+4)

积分里面极限都为0了,怎么积都是0,楼主开动脑筋,
别一天到晚老缠着定理:>
话说拉不出来变换这块儿挺有爱的

由积分定理,原积分就化为1/p×L(原被积函数)
接下来就老老实实的进行拉普拉斯变化吧
L(原被积函数)=∫(0~∞)e^(iωt+st-pt)dt,我看你原函数是这意思哈,错了就不知道了……
=∫e^(iω+s-p)tdt 接下来很好做吧,外面就一个分式,不用说了

欧拉公式：
e^jθ=cosθ+jsinθ
令θ=wt
e^jwt=coswt+jsinwt
e^-jwt=cos-wt+jsin-wt=coswt-jsinwt
两式相减：
sinwt=1/2j *(e^jwt-e^-jwt)

位移性质用的不对

左边利用微分性质 初始条件已知
右边利用乘积性质