设f(x)=ex(ax2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.（1）求a的值,并讨论f(x)的单调性

函数f(x)＝
1
3ax3+ax2+x+1有极值
则f′（x）=ax²+2ax+1=0有两不等的根
当a=0时，无解
当a≠0时，△＞0．即4a²-4a＞0
解得a＞1或a＜0，
故选B．

点评：
本题考点： 导数的运算．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及充要条件的判断，属于基础题．

（Ⅰ）由题意知，x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+x+1=0的实数根，
∴x₁+x₂=-
1
a，x₁x₂=[1/a]．∴x₁+x₂=-x₁x₂
∴（1+x₁）（1+x₂）①（3分）
（Ⅱ）证明：由于关于x一元二次方程ax²+x+1=0有两个不等实数根x₁，x₂，
故有a＞0且△=1-4a＞0∴0＜a＜
1
4（4分）
∴



x1+x2=-
1
a＜-4
x1•x2=
1
a＞4（5分）
∴

(x1+1)+(x2+1)≤-2＜0
(x1+1)(x2+1)=1＞0∴

x1+1＜0
x2+1＜0即x₁＜-1，x₂＜-1得证．（6分）
（Ⅲ）由lg
x1
x2∈[-1，1]⇔[1/10]≤

点评：
本题考点： 函数的零点与方程根的关系；函数最值的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 此题是中档题．考查函数最值的应用和一元二次方程根的分布与系数的关系，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．

∵f（x）=ax²+x+1∴f'（x）=2ax+1
∵函数f（x）=ax²+x+1在区间[-2，+∞）上为单调增函数
∴f'（x）=2ax+1≥0在区间[-2，+∞）恒成立．
∴0≤a≤[1/4]
故答案为：0≤a≤[1/4]

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性

考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．

（1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与x轴只有一个交点（-1，0）．
当a≠0时，依题意得方程ax²+x+1=0有两等实数根．
∴△=b²-4ac=1-4a=0，
∴a=[1/4]．
∴当a=0或a=[1/4]时函数图象与x轴恰有一个交点；
（2）依题意有[4a−1/4a＞0，
当4a＞0，4a-1＞0，解得a＞
1
4]；
当4a＜0，4a-1＜0，解得a＜0．
∴a＞[1/4]或a＜0．
当a＞[1/4]或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 函数可能是一次函数，也可能是二次函数；只有一个交点，那么b2-4ac=0；顶点在x轴上方，那么顶点纵坐标大于0．

命题p为真，则△=（a-1）²-4＞0⇒a＞3或a＜-1
命题q为真，则

a＞0
1−4a＜0⇒a＞[1/4]
∵p或q为真命题，p且q为假命题，根据复合命题的真值表，命题p和命题q一真一假

（1）命题p真，命题q假，则

a＞3或a＜−1
a≤
1
4⇒a＜-1
（2）命题p假，命题q真，则

−1≤a≤3
a＞
1
4⇒
1
4＜a≤3
综合得：a＜-1或
1
4＜a≤3

点评：
本题考点： 复合命题的真假．

考点点评： 本题考查复合命题的真假判断．

解（Ⅰ） f'（x）=ax²-2ax+1．
∵x₁，x₂是f（x）的两个极值点，所以x₁，x₂是f'（x）=0的两根．
∴x1+x2＝2，x1•x2＝
1
a．
又∵1＜
x2
x1≤5，
∴2＜
x1+x2
x1≤6．
∴1＜
1
x1≤3．
从而[1/3≤x1＜1．
∴
1
a＝x1x2＝x1(2−x1)＝−(x1−1)2+1
当
1
3≤x1＜1时，
1
a∈[
5
9，1)．
故 a∈(1，
9
5]．
（Ⅱ）当x≥2时，f'（x）单调递增
∴f'（x）≥f'（2）=1．
∴f（x）单调递增
∴f（x）的最小值f(x)min＝f(2)＝3−
4
3a．
令g（a）=3f（x）+|f'（a）-1|
∴g(a)≥9−4a+|a3−2a2|＝

a3−2a2−4a+9，a≥2
−a3+2a2−4a+9，a＜2]．
又9−4a+|a3−2a2|＝

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力．

由a＞0，a≠1，函数函数f(x)＝ax2+x+1有最大值可知0＜a＜1，
所以不等式log_a（x-1）＞0可化为0＜x-1＜1，即1＜x＜2．
故答案为{x|1＜x＜2}．

点评：
本题考点： 对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题考查对数的性质，函数最值，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．

若a=0，f（x）=x+1单调递增，此时无极值．
若a≠0，要使f（x）=ax²+x+1有极大值，
则抛物线开口向下，即a＜0，
故选：A

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，比较基础．

（1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与x轴只有一个交点（-1，0）．
当a≠0时，依题意得方程ax²+x+1=0有两等实数根．
∴△=b²-4ac=1-4a=0，
∴a=[1/4]．
∴当a=0或a=[1/4]时函数图象与x轴恰有一个交点；
（2）依题意有[4a−1/4a＞0，
当4a＞0，4a-1＞0，解得a＞
1
4]；
当4a＜0，4a-1＜0，解得a＜0．
∴a＞[1/4]或a＜0．
当a＞[1/4]或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 函数可能是一次函数，也可能是二次函数；只有一个交点，那么b2-4ac=0；顶点在x轴上方，那么顶点纵坐标大于0．

∵f（x）的值域为R，
∴必有a=0，
∴g（x）=x²+1，
∴值域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数的值域．

考点点评： 本题考查二次函数的图象和性质，特别是对二次函数值域的考查是重点．

∵f（x）的值域为R，
∴必有a=0，
∴g（x）=x²+1，
∴值域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数的值域．

考点点评： 本题考查二次函数的图象和性质，特别是对二次函数值域的考查是重点．