9个连续自然数,而且必须是合数

∵三个连续自然数中最小的一个数是4n+1，
∴第二个自然数为4n+2，第三个自然数为4n+3，
∴它们的和是（4n+1）+（4n+2）+（4n+3）=12n+6．
故答案为12n+6．

点评：
本题考点： 列代数式．

考点点评： 本题考查列代数式，得到各个加数是解决本题的关键，注意相邻自然数之间相隔1．

因为3、5、7的最小公倍数是105；
所以这个自然数最小为105；
5个连续自然数为：19、20、21、22、23；
6个连续自然数为：15、16、17、18、19、20；
7个连续自然数为：12、13、14、15、16、17、18．
故答案为：105．

点评：
本题考点： 整数的裂项与拆分；最大与最小．

考点点评： 关键是明确要求的最小自然数的是3、5、7的最小公倍数．

（1）每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，由题意最后一个数是该行数的平方即得64，
其他也随之解得：8，15；
（2）由（1）知第n行最后一数为n²，则第一个数为n²-2n+2，
每行数由题意知每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，
故个数为2n-1；
（3）第n个和第（n-1）个数的差是2（n-1）；（8分）
2（n-1）=24
n-1=12
n=13
这两个数分别在原数表的第12行和第13行．（10分）

点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 本题考查了整式的混合运算，（1）看数的规律，自然数的排列，每排个数1，3，5，…从而求得；（2）最后一数是行数的平方，则第一个数即求得；（3）通过以上两部列公式从而解得．本题看规律为关键，横看，纵看．

设第一个自然数为x，则下一个自然数为（x+1），根据题意得：
x²+（x+1）²=85
解得：x=-7（舍去）或x=6
故另一个自然数为：x+1=6+1=7，
故答案为：6和7．

点评：
本题考点： 一元二次方程的应用．

考点点评： 本题考查了一元二次方程的应用，题目中的等量关系比较明显，难点是如何设出一个并表示出另一个未知数．

（1）1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）
=101×50
=5050；

（2）a+（a+d）+（a+2d）+…+（a+99d）
=a+a+a+…+a+（1+2+3+…+99）d
=100a+（1+99）×99÷2×d
=100a+4950d．

点评：
本题考点： 有理数的加法．

考点点评： 此题考查连续自然数相加的计算方法：两端数相加，乘数的个数除以2．

设另一直角边长为x，斜边为y，根据勾股定理可得
x²+13²=y²，即（y+x）（y-x）=169×1
因为x、y都是连续自然数，
可得

y+x＝169
y−x＝1，
∴周长为13+84+85=182；
故选A．

点评：
本题考点： 勾股定理．

考点点评： 本题综合考查了勾股定理与二元一次方程组，解这类题的关键是利用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．

如果n是偶数的话，
在1～n这个数列中偶数的个数和奇数的个数相等，
要保证（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）是奇数，则须保证每一项都为奇数．
因为a₁～～a_n中奇数偶数都相等，
所以完全可能找出一队序列1～～n 使（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）每一项都是奇数，
如果n是奇数的话，在1～n这个数列中偶数的个数比奇数的个数少一个，
要保证（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）是奇数，则须保证每一项都为奇数．
因为a₁～a_n中奇数比偶数多一个，一定会在（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）中有一个偶数，
因此（a₁-1）（a₂-2）（a₃-3）…（a_n-n）必为偶数，
所以n必为偶数．
故选A．

点评：
本题考点： 奇数与偶数．

考点点评： 此题主要考查了整数的奇偶性问题，对n的奇偶性进行讨论是解决问题的关键．

由剩下数的平均数可以知道，剩下的数的个数是13的倍数，因为26接近平均数，所以，剩下的数的个数是26，那么原来就有27个数．
这26个数的和是：26×[309/13]=618，前27个数的和是：（11+37）×27÷2=648，
所以擦掉的数是：648-618=30．
故答案为：30．

点评：
本题考点： 平均数问题．

考点点评： 解答此题的关键是求出剩下的数的个数，以及原来数的和．

168的因数有1，2，3，4，6，7，8，12，14，21，42，56，84，168，连续自然数只有6，7，8，
所以这三个数分别是6，7，8．

点评：
本题考点： 求几个数的最小公倍数的方法．

考点点评： 此题主要考查最小公倍数的概念，熟练掌握一个数的因数是解题的关键．