圆周角定理可否改为"同弦或等弦所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半"

弦切角的定义：顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦角. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.如图 AB是○O的切线,AC是弦,∠BAC就是弦切角,∠BAC=∠D圆周角定义　　顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角圆周角定理　　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

∠BOC=150°或者∠BOC=30°

定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆或直径所对的圆周角是直角,九十度的圆周角所对的弦是直径.在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等

证明：（1）连接OC（如图①）,
∵OA=OC,
∴∠1=∠A．
∵OE⊥AC,
∴∠A+∠AOE=90°．
∴∠1+∠AOE=90°．
∵∠FCA=∠AOE,
∴∠1+∠FCA=90°．
即∠OCF=90°．
∴FD是⊙O的切线．
（2）连接BC,（如图②）
∵OE⊥AC,
∴AE=EC（垂径定理）．
又AO=OB,
∴OE∥BC且 OE=1/2BC．
∴∠OEG=∠GBC（两直线平行,内错角相等）,
∠EOG=∠GCB（两直线平行,内错角相等）,
∴△OEG∽△CBG（AA）．
∴ OG/CG=OE/CB=1/2．
∵OG=2,
∴CG=4．
∴OC=OG+GC=2+4=6．
即⊙O半径是6．
（3）∵OE=3,由（2）知BC=2OE=6,
∵OB=OC=6,
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB=60°．
∵在Rt△OCD中,CD=OC•tan60°=6 根号3,
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC= 1/2×6×6根号3-（60π×6的平方）/360= 18根号3-6π．

圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
弦切角的定义：顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
切割线定理的推论
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
切线
直线和圆有一个公共点时,这条直线叫做圆的切线,
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线的判定
判定圆的切线有三种方法：
1.和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
2.和圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
3.过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线的性质
关于圆的切线的性质主要有五个：
1.切线和圆只有一个公共点．
2.切点和圆心的距离等于圆的半径．
3.切线垂直于过切点的半径．
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点．
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
切线性质定理的推论
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
切割线定理———从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
内接四边形对角互补:圆的内接四边形的对角互补,并且任意一个外角等于它的内对角
四个点在圆上四边形是圆的内接四边形.圆内接四边形对角互补,外角等于它的内对角

定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论
半圆（直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

这可以用三角形的外接圆来证明,正好中线是半径,中点为圆心,那条边就是直径[也就是斜边]了.

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时：∵OA、OC是半径 ∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOC是△AOC的外角 ∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情况2：如图2,当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO,并延长AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半径 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3：如图3,当圆心O在∠BAC的外部时：连接AO,并延长AO交⊙O于D ∵OA、OB、OC、是半径 ∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC） ∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD ∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圆周角度数定理的另一种证明方法
圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理,它是解决和圆有关的角的问题的重要依据,这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法,这种证明方法主要用的是外角方面的知识,老师们在教学中多是仿照书上的方法进行证明,而很少去探讨和思考别的证明方法,下面给出用三角形内角和证明这个定理的方法,供大家参考．
求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
已知：⊙O中,∠AOB和∠ACB分别是 所对的圆心角和圆周角．
求证：∠AOB=2∠ACB
证明：当圆心O在∠ACB的一条边上时,如图(1),证明方法同课本,这里不在赘述．
当圆心O在∠ACB的外部时,如图(2)．联结OC．
∵OC=OB,OC＝OA
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°,∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC,∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA,∠BOC=180°-2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)
∵∠AOC-∠BOC=∠AOB,∠OCB -∠OCA=∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB；
当圆心O在∠ACB的内部时,如图(3)．联结OC．
∵OC=OB,OC＝OA
∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°,∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC,∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA,∠BOC=180°-2∠OCB
∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°
∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC
∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)
∵∠OCA+∠OCB =∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB ；
综上所述,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

证明：∵OC=OA ∴∠OCA=∠CAO
∵OB=OA ∴∠OBA=∠OAB
∴∠DOC=∠OCA+∠CAO=2∠CAO
∴∠DOB=∠OBA+∠OAB=2∠OAB
∴∠DOC-∠DOB=∠BOC=2∠CAO-2∠OAB=2(∠CAO-∠OAB)=2∠BAC
∴∠BOC=2∠BAC

圆周角等于同弧所对圆心角的一半
等弧所对的弦长相等
半径都相等
所以可以用“边边边”证明三角形全等
从而证明等弧所对的圆心角相等
所以可以证明等弧所对的圆周角相等

当点C无限接近点A或B时,角A或角B绝不会接近无穷大,而是一个角无限小,另一个角无限接近（180度-角C）.三角和仍为180度.
这是一个三角极限,与圆无关.三角几何应该有讲到.

可以,圆周角定理就是这个意思.

圆心角定理：在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等．
圆周角定理：①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等
④半圆（或直径）所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径
⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.

“在同圆或等圆中”可以删掉!
因为‘同弧或等弧’就在“在同圆或等圆中”定义的!