设f(x)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0若f(x)≤|f(π6 )|对一切x∈R恒成立,

CAROL玄2022-10-04 11:39:541条回答

设f(x)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0若f(x)≤|f(π6 )|对一切x∈R恒成立,
则函数的奇偶性为,可以再告诉一下我方法吗,我总不会快速判断

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找幸福的人 共回答了23个问题 | 采纳率82.6%
直观感觉是非奇非偶
若要推导,没有太简单的方法.
f(x)≤|f(π/6)|
那么f(π/6)是f(x)的最大值或最小值
根据辅助角公式可得
f(x)=√(a²+b²)*sin(2x+φ)
那么当x=π/6时,f(x)取得最值±√(a²+b²)
∴asinπ/3+bcosπ/3=±√(a²+b²)
两边平方:
3/4a²+1/4b²+√3/2ab=a²+b²
∴1/4a²-√3/2ab+3/4b²=0
(1/2a-√3/2b)²=0
∴a=√3b
即f(x)=b(√3sin2x-cos2x)
=2bsin(2x-π/6)
f(x)是非奇非偶函数
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①f(
11π
12
)=0.
②|f(
10
)|<|f(
π
5
)|.
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
④f(x)的单调递增区间是[kπ+
π
6
,kπ+
3
](k∈Z).
⑤存在经过点(a,b)的直线于函数f(x)的图象不相交.
以上结论正确的是①,③①,③写出正确结论的编号).
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①f([11π/12])=0.
②|f([7π/10])|<|f([π/5])|.
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
④f(x)的单调递增区间是[kπ+[π/6],kπ+[2π/3]](k∈Z).
⑤存在经过点(a,b)的直线于函数f(x)的图象不相交.
以上结论正确的是______写出正确结论的编号).
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解题思路:先化简f(x)的解析式,利用已知条件中的不等式恒成立,得到|f(
π
6
)|
是三角函数的最大值,得到x=
π
6
是三角函数的对称轴,将其代入整体角令整体角等于kπ+
π
2
求出辅助角θ,再通过整体处理的思想研究函数的性质.

∵f(x)=asin2x+bcos2x=
a2+b2sin(2x+θ)
∵f(x)≤|f(
π
6)|
∴2×
π
6+θ=kπ+
π
2(k为整数)
∴θ=kπ+
π
6
∴f(x)═
a2+b2sin(2x+kπ+
π
6)=±
a2+b2sin(2x+
π
6)
对于①f(
11π
12)═±
a2+b2sin(2×
11π
12+
π
6)=0,故①对
对于②,|f(

10)|=|f(
π
5)|,故②错
对于③,f(x)不是奇函数也不是偶函数
对于④,由于f(x)的解析式中有±,故单调性分情况讨论,故④不对
对于⑤∵要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交,则此直线须与横轴平行,且|b|>
a2+

点评:
本题考点: 两角和与差的正弦函数;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

考点点评: 本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法.

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①f( )=0.
②|f( )|<|f( )|.
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
④f(x)的单调递增区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z).
⑤存在经过点(a,b)的直线于函数f(x)的图象不相交.以上结论正确的是()
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①③
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①f(
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12
)=0.
②|f(
10
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π
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③f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
④f(x)的单调递增区间是[kπ+
π
6
,kπ+
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](k∈Z).
⑤存在经过点(a,b)的直线于函数f(x)的图象不相交.
以上结论正确的是______写出正确结论的编号).
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∵f(x)=asin2x+bcos2x=
a 2 + b 2 sin(2x+θ)
∵ f(x)≤|f(
π
6 )|
∴ 2×
π
6 +θ=kπ+
π
2
∴ θ=kπ+
π
6
∴ f(x)═
a 2 + b 2 sin(2x+kπ+
π
6 ) = ±
a 2 + b 2 sin(2x+
π
6 )
对于 ①f(
11π
12 )═±
a 2 + b 2 sin(2×
11π
12 +
π
6 ) =0,故①对
对于②, |f(

10 )|>|f(
π
5 )| ,故②错
对于③,f(x)不是奇函数也不是偶函数
对于④,由于f(x)的解析式中有±,故单调性分情况讨论,故④不对
对于⑤∵要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交,则此直线须与横轴平行,且|b| >
a 2 + b 2 ,此时平方得b 2 >a 2 +b 2 这不可能,矛盾,故∴不存在经过点(a,b)的直线于函数f(x)的图象不相交故⑤错
故答案为①③
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则x=π/12时f(x)取得最大值或者最小值
f(x)=√(a^2+b^2) sin(2x+m)
其中:
cosm=a/√(a^2+b^2)
sinm=b/√(a^2+b^2)
所以:
sin(2*π/12+m)=1或者sin(2*π/12+m)=-1
所以:
m+π/6=2kπ+π/2,m=2kπ+π/3
m+π/6=2kπ-π/2,m=2kπ-2π/3
所以:
cosm=a/√(a^2+b^2)=1/2,sinm=b/√(a^2+b^2)=√3/2
cosm=a/√(a^2+b^2)=-1/2,sinm=b/√(a^2+b^2)=-√3/2
综上所述,b=√3a≠0
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答:
f(x)=asin2x+bcos2x关于x=π/12对称
则x=π/12时f(x)取得最大值或者最小值
f(x)=√(a^2+b^2) sin(2x+m)
其中:
cosm=a/√(a^2+b^2)
sinm=b/√(a^2+b^2)
所以:
sin(2*π/12+m)=1或者sin(2*π/12+m)=-1
所以:
m+π/6=2kπ+π/2,m=2kπ+π/3
m+π/6=2kπ-π/2,m=2kπ-2π/3
所以:
cosm=a/√(a^2+b^2)=1/2,sinm=b/√(a^2+b^2)=√3/2
cosm=a/√(a^2+b^2)=-1/2,sinm=b/√(a^2+b^2)=-√3/2
综上所述,b=√3a≠0
已知f(x)=asin2x+bcos2x的值为根号7,且f(π/12)=5/2.
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问:(1)求a,b的值并写出f(x)的解析式;
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即a+√3b=5
又因为a^2+b^2=7
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