罗素悖论定义把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为

把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问,Q∈P 还是 Q∈Q?若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A∉A的性质,因为Q∈Q,所以Q￠Q,引出矛盾.若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=∅,所以Q∉Q,还是矛盾.这就是著名的“罗素悖论”.
理发师的烦恼：
个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸

一位理发师说：“我只帮所有不自己刮脸的人刮脸.”那么理发师是否给自己刮脸呢?如果他给自己刮脸的话,但按照他的话,他就不该给自己刮脸（因为他"只"帮不自己刮脸的人刮脸）；如果他不给自己刮脸的话,但按照他的话,他就该给自己刮脸（因为是"所有"不自己刮脸的人,包含了理发师本人）,于是矛盾出现了.
这就是“罗素悖论”

罗素悖论揭示了一个严酷的事实：集合论是隐含着逻辑矛盾的,如果把数学建立在集合论的基础之上,将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕,这种裂痕甚至有可能使整座大厦倾覆.

罗素悖论,即一个集合包括自己（例如宇宙包含所有,那么也包含自己）,而这是不成立的.理发师悖论也是其中一个.有解,反正是用集合的问题的,那都是数学家的事.不是数学家就引入时间就行了,我认为他理发前符合被理发的条件,所以应该给自己理发,而理完一次就不能理了（把理发的时间看做一瞬间）,不要从集合考虑,会绕昏的.

罗素悖论是个相当经典的问题,它有许多种不同的表述,但实质上是等价的,以下给一个较为易懂的表述：理发师只给那些不给自己理发的人理发.注意了,理发师给他自己理发吗?假设不,则他会给自己理发；假设要,则他不给自己理发；这是一个矛盾体,所以称之为悖论.下面解释“什么是不是它本身元素的集合”,可以理解为R={Q|Q不属于Q},那么我们不禁要问,R是R的元素吗?若R是R的元素,则由定义应有：R不属于R；同理若R不是R的元素,则由定义可得R属于R；自相矛盾.

不一样.比如上帝的存在康德那里就是二律背反.指双方各自依据普遍承认的原则建立起来的、公认为正确的两个命题之间的矛盾冲突.康德认为,由于人类理性认识的辩证性力图超越自己的经验界限去认识物自体,误把宇宙理念当作认识对象,用说明现象的东西去说明它,这就必然产生二律背反.所以在理性达不到的地方他就立法.现在我一看他书里的“先天的”这个词就头昏.其实这个还是试图解决芝诺悖论（理性世界和经验世界的那个裂痕.其实芝诺自己的悖论也有矛盾的,因为他的第一个悖论是运动不存在,第二个悖论是阿基里斯追不上乌龟.如果从第一悖论出发,阿基里斯和乌龟都根本动不了：）哈哈）.
罗素的悖论是非此即彼集合说的漏洞.不知道罗素如果和僧肇p.k一下会有什么结果.我挺僧肇.

罗素悖论又称“理发师悖论”
罗素悖论：设性质P(x)表示“x不属于x”,现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x不属于x}”.那么问题是：A属于A是否成立?首先,若A属于A,则A是A的元素,那么A具有性质P,由性质P知A不属于A；其次,若A不属于 A,也就是说A具有性质P,而A是由所有具有性质P的类组成的,所以A属于A.
罗素悖论提出后,数学家们纷纷提出自己的解决方案.人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则.“这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来.”解决这一悖论在本质上存在两种选择,the Zermelo-Fraenkel alternative 和 the von Neumann-Bernays alternative.
1908年,策梅罗（Ernst Zermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷.这一公理系统在通过 Abraham Fraenkel的该进后被称为Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms.在该公理系统中,由于限制公理（The Axion Schema of Comprehension或Subset Axioms)：P(x)是x的一个性质,对任意已知集合A,存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合,由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理,存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的,因此罗素悖论在该系统中被避免了.
除ZF系统外,集合论的公理系统还有多种,如冯·诺伊曼（von Neumann)等人提出的NBG系统等.在the von Neumann-Bernays alternative中,所有包含集合的collection都能被称为类(class),因此某些集合也能被称为class,但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合,因此仅仅是个class.这同样也避免了罗素悖论.

比如A为所有自然数集合,B为被3除整除的自然数集合,C为被3除余1的自然数集合,D为被3除余2的自然数集合,这样不就行了.
而且按照现在无穷的理论,上述四个集合中元素的个数都是相等的.具体可以去看一些集合论的书.
你的问题有些乱,我没大看明白,以上是就我理解回答的一些.

罗素悖论：设性质P(x)表示“”,现假设由性质P确定了一个类A----也就是说“”.那么现在的问题是：是否成立?首先,若,则A是A的?敲碅具有性质P,由性质P知；其次,若,也就是说A具有性质P,而A是由所有具有性质P的类组成的,所以.
罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论：
理发师悖论：某理发师发誓“要给所有不自已理发的人理发,不给所有自己理发的人理发”,现在的问题是“谁为该理发师理发?”.首先,若理发师给自己理发,那他就是一个“自己理发的人”,依其誓言“他不给自己理发”；其次,若“他不给自己理发”,依其誓言,他就必须“给自己理发”.
罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决.
罗素提出类型论,就是为了解决这种问题.
实际上这类悖论是因为我们对集合的概念不够严格造成的.
罗素规定：一个集合必须满足：“它不包含自身”.这才是真正的集合.否则就叫做“类”
"类”是可包含自身的,但它不是集合.
普通人头脑中没有“类”的概念.所以不管遇到什么事物,总是不自觉的用“集合”的概念去限定它.

悖论的解决关键在于分清语言结构,比如上中下三个层次的语言,中层的只能对下层的起作用,而不能再翻过去规定上层的
就理发师的悖论来说：他只给不给自己剪头发的人剪发,而他给自己剪头发属于上一个语言层次,不能被这个命题规定

“自我指涉”可导致罗素悖论.简单来说,一个命题的真或假依赖于其本身的真假,即可为自我指涉.日常交流中,我们应该避免、也没有必要说出自我指涉的话.【练习题】请用自我指涉创造罗素悖论.例:这句话是假的.

不是包含自己
元素E跟E大小一样

引发第三次数学危机的是罗素悖论

逻辑上?不懂.
鄙人的粗浅理解是：
说谎者悖论是自循环否定,理发师悖论是两句话无法自相容.

特兰·罗素是二十世纪英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家,无神论或者不可知论者,也是上世纪西方最著名、影响最大的学者和和平主义社会活动家之一,1950年诺贝尔文学奖得主,罗素也被认为是与弗雷格、维特根斯坦和怀特海一同创建了分析哲学.他与怀特海合著的《数学原理》对逻辑学、数学、集合论、语言学和分析哲学有着巨大影响.1950年,罗素获得诺贝尔文学奖,以表彰其“多样且重要的作品,持续不断的追求人道主义理想和思想自由”. 把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有： P={A∣A∈A} Q={A∣A?A} 问,Q∈P 还是 Q∈Q? 若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A?A的性质,因为Q∈Q,所以Q￠Q,引出矛盾.若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=?,所以Q?Q,还是矛盾. 这就是著名的“罗素悖论”.罗素悖论还有一些较为通俗的版本,如理发师悖论等

罗素悖论：设性质P(x)表示“”,现假设由性质P确定了一个类A----也就是说“”.那么现在的问题是：是否成立?首先,若,则A是A的元素,那么A具有性质P,由性质P知；其次,若,也就是说A具有性质P,而A是由所有具有性质P的类组成的,所以.
罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论：
理发师悖论：某理发师发誓“要给所有不自已理发的人理发,不给所有自己理发的人理发”,现在的问题是“谁为该理发师理发?”.首先,若理发师给自己理发,那他就是一个“自己理发的人”,依其誓言“他不给自己理发”；其次,若“他不给自己理发”,依其誓言,他就必须“给自己理发”.
罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决.

历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用．
（一）
?马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽．
?自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索：既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源．
（二）
?早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义．
?1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为yx.
?当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
?18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延．
（三）
?函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年,高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许多关于磁的实验工作,提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论,使得函数作为数学的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
?后来,人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步．”
?在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本质,主张函数不必局限于解析表达式．1822年,他在名著《热的解析理论》中说,“通常,函数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是,任意一个以2π为周期函数,在〔－π,π〕区间内,可以由
?表示出,其中
?富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很大的震动．原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了,那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．
?通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
?1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数,它对于每个x都有确定的值,并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．
?1837年,德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,所以他的定义是：“如果对于x的每一值,y总有完全确定的值与之对应,则y是x的函数．”
?根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：
f（x）= 1?（x为有理数）,
0?（x为无理数）．
?在这个函数中,如果x由0逐渐增大地取值,则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里,f（x）无限止地忽0忽1．因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个f（x）仍是一个函数．
?狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义．
（四）
?生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾,本世纪20年代,人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数,
即?ρ（x）＝ 0,x≠0,
∞,x=0．
且
?δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数．另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的．然而,δ-函数确实是实际模型的抽象．例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力．从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是
?P（0）=压力／接触面=1／0=∞．
?其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即?P（x）=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即
?函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f（x）.元素x称为自变元,元素y称为因变元．
?函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系．
?函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．
?设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为
?X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
?积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若（x,y）∈R,则称x与y有关系R,记为xRy.若（x,y）R,则称x与y无关系．
?现设f是X与Y的关系,即fX×Y,如果（x,y）,（x,z）∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数．在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了．
?从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系.
由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数.
三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中,三角函数也是常用的工具.