OA+OB+OC=0,OA*OB=OB*OC=OC*OA=-1,则三角形ABC的面积是?

证明：设坐标A（x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)
设O点坐标为（x,y)
OA^2+OB^2+OC^2=(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2+(x-x3)^2+(y-y3)^2
=(x-x1)^2+(x-x2)^2+(x-x3)^2+(y-y1)^2+(y-y2)^2+(y-y3)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y*(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-(x1+x2+x3)/3)^2+3(y-(y1+y2+y3)/3)^2
+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-(x1+x2+x3)^2/3-(y1+y2+y3)^2/3
显然,OA^2+OB^2+OC^2取最小值x=(x1+x2+x3)/3 y=(y1+y2+y3)/3
即OA^2+OB^2+OC^2取最小值O点为ABC的重心
另外OA+OB+OC=0x1-x+x2-x+x3-x=0 y1-y+y2-y+y3-y=0
x=(x1+x2+x3)/3 y=(y1+y2+y3)/3
即为重心等价于向量OA+OB+OC=0
综上 O为重心等价于向量OA+OB+OC=0等价于OA^2+OB^2+OC^2取得最小值
证毕!

向量OA+OB+OC=0,
∴O是△ABC的重心,
向量OA*OB=OB*OC=OC*OA=-1,
∴OA*BC=OA*(OC-OB)=OA*OC-OA*OB=0,
∴OA⊥BC,
同理,OB⊥CA,
∴O是△ABC的垂心,
∴△ABC是等边三角形,
∠BOC=120°,
OB*OC=|OB|^2cos120°=（-1/2）|OB|^2=-1,
∴,|OB|^2=2,|OB|=√2,|BC|=|OB|√3=√6,
∴三角形ABC的周长=3√6.
您给的答案不对.

根据第一个条件：可以将三角形放在平面直角坐标系中：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)并设O(x,y)
OA=(x1-x,y1-y),OB=(x2-x,y2-y),OB=(x3-x,y3-y),依题意,OA+OB+OC=0
即：(x1-x)+(x2-x)+(x3-x)=0;(y1-y)+(y2-y)+(y3-y)=0
得：x=(x1+x2+x3)/3
y=(y1+y2+y3)/3
∴O是重心.
根据第二个条件：因为OA向量*OB向量=OB向量*OC向量
所以OB向量*(OA向量-OC)向量=0
即OB向量*CA向量=0
同理,OA向量*BC向量=0,OC向量*AB向量=0
所以OB垂直于CA,OA垂直于BC,OC垂直于AB
所以O是三角形ABC的垂心
综上所述,O点既是三角形ABC的重心又是垂心,所以选C.

OA+OB+OC=0
|OA|^2=|-OB-OC|=|OB+OC|^2=OB^2+2OB*OC+OC^2
=|OB|^2+2|OB||OC|cos+|OC|^2
cos=-1/2
向量OB,OC的夹角为120度
同理OA与OC,OA与OB夹角为120度
|AB|=|AO+OB|=√3
|AC|=|AO+OC|=√3
|BC|=|BO+OC|=√3
ABC为正三角形

因为,向量OA+OB+OC=0向量
所以,O为三角形ABC的重心.
因为,向量OA*OB=OB*OC=OC*OA=-1
所以,O为三角形ABC的外心.
故三角形ABC是……

重心亲，对我的回答满意的话，就给个好评吧。如果还有不清楚的地方，可以跟我继续交流哦。求详解这个是个结论记住就可以了设△ABC，AD，BE，CF三条中线交于点O， 延长OD到H，使得OD=OH， 由向量OA=2向量DO （注意方向相同） ∴向量HO=向量OA，（1） 由于四边形BOCH是平行四边形， 向量OB+向量OC=向量OH，（2） （1）+（2）得： 向量OA+向量OB+向量OC=向量HO+向...

解重心取BC中点D,连结并延长OD至E,使DE=OD于是四边形BOCE是平行四边形所以向量OB=向量CE所以向量OB+向量OC=向量CE+向量OC=向量OE而由向量OA+向量OB+向量OC=0得向量OB+向量OC=-向量OA=向量AO所以向量AO和向量OE共线所...

由OA+OB+OC=0得OC=-(OA+OB),|OC|=|OA+OB|.
所以|OC|^2=|OA+OB|^2=|OA|^2+|OB|^2+2OA·OB,即有9=1+4+2OA·OB,OA·OB=2.
cos=OA·OB/(|OA||OB|)=1,所以OA,OB夹角为0°.
同理可得OB,OC夹角为180°,OA,OC夹角为180°.

OA+OB+OC=0
|OA|^2=|-OB-OC|=|OB+OC|^2=OB^2+2OB*OC+OC^2
=|OB|^2+2|OB||OC|cos+|OC|^2
cos=-1/2
向量OB,OC的夹角为120度
同理OA与OC,OA与OB夹角为120度
|AB|=|AO+OB|=√3
|AC|=|AO+OC|=√3
|BC|=|BO+OC|=√3
ABC为正三角形

题目有问题吧?
OA+OB+OC=0
说明O是重心
OA*OB=OB*OC
即：OB·(OA-OC)=OB·CA=0
即：OB⊥CA
同理可得：OC⊥AB,OA⊥BC
即O是垂心
故三角形ABC是正三角形
但应该是：OA*OB=OB*OC=OC*OA=-1
令外接圆半径R,则：R^2cos(∠AOB)=R^2cos(2π/3)=-1
即：R=√2
即：a/sinA=a/sin(π/3)=2R=2√2
即：a=√6
故周长：3a=3√6
选A

http://i159.photobucket.com/albums/t145/l421013/MATH2/4O.png

OA+OB+OC=0
OA+OB=-OC
OA^2+OB^2+2OA*OB=OC^2
1+1+2OA*OC=1
2OA*OC=-1
OA*OC=-1/2
cosθ=120°
同理,∠AOB=∠AOC=∠COB=120°
△AOB≌△AOC≌△COB
所以是等边三角形

取AB中点为D,OA+OB=2 OD,(平行四边形对角线互相平分)又因为OA+OB+OC=0,所以OC=2 OD且共线,同理找BC中点为S,AC中点为W,OA=2 OS且共线,OB=2 OW且共线.D,S,W分别为AB,BC,AC中点,所以O为三角形重心.
谢谢~

设A,B,C坐标为（x1,y1）,(x2,y2),(x3,y3)
点O坐标（x,y)
OA+OB+OC=0
x1-x+x2-x+x3-x=0
y1-y+y2-y+y3-y=0
x=(x1+x2+x3)/3
y=(y1+y2+y3)/3
所以点O是三角形ABC的重心

设∠BAC=α
∠CBA=β
∠ACB=γ
可以先用正弦定理
得出:a=2Rsin α
b=2Rsin β
c=2Rsin γ
(R为三角形外接圆半径)
则a(O→A)+b(O→B)+c(O→C)
=2R((O→A)sin α+(O→B)sin β+(O→C)sin γ)
O为内心,则O到三边距离相等,
设OF⊥AB
OE⊥AC
OD⊥BC
容易证得△AFO≌△AEO
令OA交FE于点H
可证得△AFH≌△AEH
则(F→H)=(H→E)=1/2(F→E)
因为(O→A)sin α=(O→A)*2*sin α/2*cos α/2
=(F→A)*2*sin α/2
=(F→H)*2
=(F→E)
同理(O→B)sin β=(D→F)
(O→C)sin γ=(E→D)
所以(O→A)sin α+(O→B)sin β+(O→C)sin γ=0
所以a(O→A)+b(O→B)+c(O→C)=0
打的好累啊.

由OA+OB+OC=0得OC=-(OA+OB),|OC|=|OA+OB|.
所以|OC|^2=|OA+OB|^2=|OA|^2+|OB|^2+2OA·OB,即有9=1+4+2OA·OB,OA·OB=2.
cos=OA·OB/(|OA||OB|)=1,所以OA,OB夹角为0°.
同理可得OB,OC夹角为180°,OA,OC夹角为180°.