设f(x)=lg(ax2-2x+a),

风中梅2022-10-04 11:39:541条回答

设f(x)=lg(ax2-2x+a),
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

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解题思路:(1)函数f(x)=lg(ax2-2x+a)的定义域是实数集,说明对任意实数x都有ax2-2x+a>0成立,则该二次三项式对应的二次函数应开口向上,且图象与x轴无交点,由二次项系数大于0,且判别式小于0联立不等式组求解a的取值范围;
(2)只有内层函数(二次函数)对应的图象开口向上,且与x轴有交点,真数才能取到大于0的所有实数,由此列式求解a的取值集合.

(1)∵f(x)=lg(ax2-2x+a)的定义域为R,
∴对任意x∈R都有ax2-2x+a>0恒成立,


a>0
(−2)2−4a2<0,解得:a>1.
∴使f(x)的定义域为R的实数a的取值范围是(1,+∞);
(2)∵f(x)=lg(ax2-2x+a)的值域为R,
∴ax2-2x+a能取到大于0的所有实数,


a>0
(−2)2−4a2≥0,解得:0<a≤1.
∴使f(x)的值域为R的实数a的取值范围是(0,1].

点评:
本题考点: 函数的定义域及其求法;函数的值域.

考点点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了函数的值域问题,考查了数学转化思想方法,解答的关键是对题意的理解,是中档题.

1年前

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