夹逼定理求当n趋近于无穷时n次根号下a1^n+a2^n+……+am^n的极限,其中a1……an为指定正数

原式=（n→∞）lim[√n(n+1)(2n+1)/6]/n >=（n→∞）lim[√n^3/6]/n=（n→∞）lim[√n/6]=+∞
又
原式

利用一系列不等式,将其化为小于大于,可能两边都是带n方程,或者一边是数字1一边是n方程,如果带n的方程是一次的,就可以令这个方程小于一个无穷小数加1,解出n ,则n是一个大与带无穷小数的方程,所以就等到N大与这个解出来的n时 ,就有原方程小于1加上个无穷数 故而得证.
如果解出来的不是一次的方程,则千万不能对于这个不等式求极限,因为你没解出来之前是不知道,该方程是否收敛的,故只能求其上下极限,利用上下极限相等,或者下极限大于等于上极限等结果判定其收敛.当然如果是一次方程我们也可以利用上下极限来求.
至于不等式的运用就要记了,只要的也就是1.缩小分母,加大分子.2,通用的不等式,3,（1+X）的N次方 ,在X大于-1的时候,方程大于将其拓展的部分.

0

第一道
a

很明显,他的极限不是零啊,是不是lim 2^n/n!=0啊?
证明：
2^n/n!> 0/n!=0;
2^n/n!=2*2*2*……2/n!

第1题：
1-1/(1+2+…+n)=1-2/[n(n+1)]
=(n*n+n-2)/[n(n+1)]
=[(n-1)(n+2)]/[n(n+1)]
原式=[2/3]*[1*3/(2*4)]*…*[(n-1)(n+2)]/[n(n+1)]
=(2n+4)/(9n)
n无穷时,极限为2/9
第2题
原式=(1-x)(1+x)(1+x^2)…(1+x^2&(n-1))/(1-x)
=(1-x^2^n)/(1-x)
n无穷时,极限为1

0< n!/n^n = 1*2*3*...*n / n*n*...*n < 1/n
∵ lim(n→∞)1/n = 0
∴ lim(n→∞)n!/n^n = 0

答案确实是1/2

你的解答过程基本无误，

除了第二行那里的“∴” 要改成“∵”

可能是所谓标答错了！！

数列{a_n}收敛于A（不妨设A>0）,意味着对δ>0,存在N,使得n>N时有|a_n-A|

(3^n-e^n)^(1/n)=3[1-(e/3)^n)^(1/n)
∵0

公式一：
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等
k是整数 　sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
sec（2kπ+α）=secα
csc（2kπ+α）=cscα
公式二：
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系 　sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系 　sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系 　sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系 　sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系 　sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα
半角公式
　　sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 　　cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 　　tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 　　sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定） 　　cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定） 　　tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα）/（1+cosα）]^(1/2) 　　推导：tan（α/2）=sin（α/2） /cos（α/2）=[2sin（α/4）cos（α/4] /[2cos(α/4)^2 - 1]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
相对的倍角公式
正弦二倍角公式：
　　sin2α = 2cosαsinα
推导：
　　sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA
余弦二倍角公式：
　　余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价：　　1.cos2α = 2(cosα)^2 − 1 　　2.cos2α = 1 − 2(sinα)^2 　　3.cos2α = (cosα)^2 − (sinα)^2
推导：
　　cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1=1-2(sinA)^2
正切二倍角公式：
　　tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]
推导：
　　Cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=cos²a-sin²a
降幂公式(半角公式）：
　　cos^2A=[1+cos2A]/2 　　sin^2A=[1-cos2A]/2 　　tan^2A=[1-cos2A]/[1+cos2A]
变式：
　　sin2α=sin^2(α+π/4)-cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)-1=1-2cos^2(α+π/4);　cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)

当然不是,可以用定义证明.可以跟据一些性质,比如,单调有界必有极限等等.

...为什么要小于等于
0小于正数是必然的
n+√(n^2+1)>n,两边取倒数变成小于,也不可能有等于

这个定理中没有e.
但e=2.718281828459

√(1+1/n)>1
√(1+1/n)∞}1=1
lim{n->∞}(1+1/n)=1
所以lim{n->∞}√(1+1/n)=1.

不可以通过这个证明F(X)极限不存在.
只有在G（X）小于F（X）小于W（X）,而且G（X）和W（X）的极限值相等,才可以证明F（X）极限等于G（X）和W（X）的极限
不要混淆了.

夹逼法的思维就是放大和缩小
第一步,放大
将所给极限公式放大变换,求出极限值
第二步,缩小
将所给极限公式缩小变换,求出极限值
第三步,由夹逼定理得出所求极限的值
简单点就是两个所求极限通过变化放大和缩小
求出放大和缩小的极限值为相等.由夹逼定理得出所求极限的值.

令sn=1/n^2+1/(n+1)^2+……+1/(n+n)^2
则,
1/n^2

题目要求用洛必达法则,套用特殊极限更简单.经济数学团队帮你解答,请及时评价.

∑[√(1+i/n²)-1]=∑[i/n²]/[√(1+i/n²)+1]>=∑[i/n²]/[√(1+1/n)+1]=[√(1+1/n)+1]∑[i/n²]->1/4
另一方面∑[√(1+i/n²)-1]=∑[i/n²]/[√(1+i/n²)+1]1/4

∵ sin²1+sin²2+……+sin²n > sin²1
sin²1+sin²2+……+sin²n < 1+1+.+1 = n
∴ (sin²1)^(1/n) < (sin²1+sin²2+……+sin²n)^(1/n) < n^(1/n)
设 un = (sin²1+sin²2+……+sin²n)^(1/n),对un取对数,则有：
2ln(sin1)/n < ln(un) < ln(n)/n
(n→∞)lim[2ln(sin1)/n] < (n→∞)lim[ln(un)] < (n→∞)lim[ln(n)/n]
∵ (n→∞)lim[2ln(sin1)/n] = 0； (n→∞)lim[ln(n)/n] =0
∴ 根据夹逼定理有：
(n→∞)lim[ln(un)] = 0 ==> (n→∞) lim(un) = e^0 =1；
结论：
(n→∞) lim[(sin²1+sin²2+……+sin²n)^(1/n)] =1

首先观察,√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n],它在n→∞时于1/2,而1/n→0.这里并没有出现类似“0^0”“1^∞”的极限不定式,因此可以猜测lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)＝1.
要用夹逼定理证明这个结论,只需要证明√(n^2+n)-n在两个常数之间（这时再给它们加个1/n次方,再取极限,就都是1了）.
而√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n]＝n/[√(n^2+n)+n]＝1/[√(1+1/n)+1]单增,故有√(2)-1＜√(n^2+n)-n＜1/2,分析完毕.
证明：
由于√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n]＝n/[√(n^2+n)+n]＝1/[√(1+1/n)+1]单增,
故有√(2)-1＜√(n^2+n)-n＜1/2
[√(2)-1]^(1/n)＜[√(n^2+n)-n]^(1/n)＜(1/2)^(1/n)
故1＝lim(n→∞)[√(2)-1]^(1/n)≤lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)≤lim(n→∞)(1/2)^(1/n)＝1
即有lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/2)＝1.

0

两头的极限都等于0,所以是等于号了.

Xn=0
Yn=(n^2+1)/(n^4+2*n-1)
Zn=(n^2+1)/(n^4-1)=1/(n^2-1)
Xn

跟夹逼定理没有关系吧.用积分的定义：
原式=1/n （1/(1+ 1/n^2)+1/(1+(1/n)^2)+……+1/1+1）
因此为1/（1+x^2）从0到1的积分,等于π/4

（3）∵lim(x->0)[x/(e^x-1)]
=lim(x->0)(1/e^x) (0/0型极限,应用罗比达法则)
=1
lim(x->0)[x/ln(1+x)]
=lim(x->0)(1+x) (0/0型极限,应用罗比达法则)
=1
lim(x->0)[(1-cosx)/x^2]
=lim(x->0)[(1/2)(sinx/x)] (0/0型极限,应用罗比达法则)
=(1/2)*1 (应用重要极限lim(t->0)(sint/t)=1)
=1/2
∴lim(x->0){(1-cosx)/[(e^x-1)ln(1+x)]}
=lim(x->0){[x/(e^x-1)]*[x/ln(1+x)]*[(1-cosx)/x^2]}
={lim(x->0)[x/(e^x-1)]}*{lim(x->0)[x/ln(1+x)]}*{lim(x->0)[(1-cosx)/x^2]}
=1*1*(1/2)
=1/2
=0.5
（5）令An=1/√(n^2+1)+1/√(n^2+2)+.+1/√(n^2+n)
∵n/√(n^2+n)≤An≤n/√(n^2+1)∞)[n/√(n^2+n)]=lim(n->∞)[1/√(1+1/n)]=1
∴1=lim(n->∞)[n/√(n^2+n)]≤lim(n->∞)An≤n/√(n^2+1)lim(n->∞)An=1
即lim(n->∞)[1/√(n^2+1)+1/√(n^2+2)+.+1/√(n^2+n)]=1.

可以将分母都缩小成n²+1
那么Xn≤1/(n²+1)+2/(n²+1)+…+n/(n²+1)=[n(n+1)/2]/(n²+1)
将分母都放大成n²+n
那么Xn≥1/(n²+n)+2/(n²+n)+…+n/(n²+n)=[n(n+1)/2]/(n²+n)=1/2
那么1/2≤Xn≤[n(n+1)/2]/(n²+1)
lim[n(n+1)/2]/(n²+1)=1/2
所以limXn=1/2

c=(c^x)^(1/x)

这里有无穷多项
所以结果是0*∞
这是不定型,不一定是0的
可以是0,也可以是∞,还可以是不等于0的常数
比如x趋于0
则x²趋于0,1/x和1/x²趋于无穷
则limx*1/x²趋于无穷
limx²*1/x=0
而lim2x*1/x=2

求lim[1/(n³+1) + 4/(n³+4)+...+n²/(n³+n²)]用夹逼定理1/(n³+n²)+2²/(n³+n²)+…+n²/(n³+n²)≤1/(n³+1)+2²/(n³+2²)+…+n...

把要夹的那个化简,观察分子 两边一个是取1 另一个是取n

如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：　　（1）Yn≤Xn≤Zn (n=1,2,3,……）,　　（2）当n→∞,limYn =a；当n→∞ ,limZn =a,　　那么,数列{Xn}的极限存在,且当 n→∞,limXn =a.

定理的叙述为：
若在X0的去心邻域内,有g(x)

利用一系列不等式,将其化为小于大于,可能两边都是带n方程,或者一边是数字1一边是n方程,如果带n的方程是一次的,就可以令这个方程小于一个无穷小数加1,解出n ,则n是一个大与带无穷小数的方程,所以就等到N大与这个解出来的n时 ,就有原方程小于1加上个无穷数 故而得证.%D%A如果解出来的不是一次的方程,则千万不能对于这个不等式求极限,因为你没解出来之前是不知道,该方程是否收敛的,故只能求其上下极限,利用上下极限相等,或者下极限大于等于上极限等结果判定其收敛.当然如果是一次方程我们也可以利用上下极限来求.%D%A至于不等式的运用就要记了,只要的也就是1.缩小分母,加大分子.2,通用的不等式,3,（1+X）的N次方 ,在X大于-1的时候,方程大于将其拓展的部分.

1、只是在前面求极限的地方用得到,而且还是局部,不常用.常用泰勒公式什么的.
2不等式两边一般都是靠经验,我们老师也都没说怎么求的.

设An=（（1/根号n^2+1)+(1/根号n^2+2）+...+(根号1/n^2+n)）
先把所有项放到1/n^2+1
Ann/(n^2+n)=1/(n+1)
lim[1/(n+1)]=0
由夹逼定理,limAn=0

数列极限,如果是N项按递减或递增排列的,用夹逼定理求解..
通常是前后放缩法...
比如2/（1/N的平方+N+1 + 2/N的平方+N+2 + + N/N的平方+N+N）
左边把分母中的1,2,N.都换成N,右边吧分母的1.2,N都换成1.得左右两边的极限都是1/2,用夹逼定理就能得出极限

是的，因为连续不一定可导

|xy|/（√x∧2＋y∧2）极限是0等价于xy/（√x∧2＋y∧2）大于0
无穷小的绝对值还是无穷小.

画个单位圆 再做出三角线 根据面积大小得到sin x