x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的4个根排列后组成首项为1的等比数列求m:n

∵U={1，2，3，4，5}，（∁_UA）∪B={1，3，4，5}，
∴2∈A．又A={x|x²-5x+m=0}，∴2是关于x的方程x²-5x+m=0的一个根，得m=6且A={2，3}．∴∁_UA={1，4，5}．
∴3∈B且B={x|x²+nx+12=0}，∴3一定是关于x的方程x²+nx+12=0的一个根．
∴n=-7且B={3，4}．∴m+n=-1．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；交、并、补集的混合运算．

考点点评： 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，判断2∈A．3∈B且B={x|x2+nx+12=0}，是解题的关键．

全集U={1，2，3，4}，C_UA={1，4}，
可得A={2，3}，
把x=2代入到x²-5x+m=0中，解可得m=6，
故答案为6．

点评：
本题考点： 补集及其运算．

考点点评： 考查学生理解补集及运算的能力．

根据得题意△=5²-4×1×m=0，
解得m=[25/4]．
故答案为[25/4]．

点评：
本题考点： 根的判别式．

考点点评： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

设1为第一个方程的根，那么显然另一个根为4，m=4；
由于最终的四个数排列成为首项是1的等比数列，
如果是1，4，16，64，就不符合第二个方程中两根之和为10的情况，
所以经过检验，四个根应该为1，2，4，8，那么m=4，n=16．此时m：n=[1/4]；
如果1是第二个方程的根，那么n=9，两个根分别是1和9，
如果等比数列前两项是1，9，则第三第四项不会是第一个方程的根，不符合题意，
那么就只有可能是第1项和第4项分别是1和9，那么在第一个方程中，两根之积等于9，
但是此时方程无实数根 因此，此题只有唯一的解m：n=[1/4]．
故选A．

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题是一个等比数列同一元二次方程结合的题目，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了一元二次方程根的存在条件，解题过程体现了分类讨论的数学思想，是基础题．

∵U={1，2，3，4，5}，（∁_UA）∪B={1，3，4，5}，
∴2∈A．又A={x|x²-5x+m=0}，∴2是关于x的方程x²-5x+m=0的一个根，得m=6且A={2，3}．∴∁_UA={1，4，5}．
∴3∈B且B={x|x²+nx+12=0}，∴3一定是关于x的方程x²+nx+12=0的一个根．
∴n=-7且B={3，4}．∴m+n=-1．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；交、并、补集的混合运算．

考点点评： 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，判断2∈A．3∈B且B={x|x2+nx+12=0}，是解题的关键．

设1为第一个方程的根，那么显然另一个根为4，m=4；
由于最终的四个数排列成为首项是1的等比数列，
如果是1，4，16，64，就不符合第二个方程中两根之和为10的情况，
所以经过检验，四个根应该为1，2，4，8，那么m=4，n=16．此时m：n=[1/4]；
如果1是第二个方程的根，那么n=9，两个根分别是1和9，
如果等比数列前两项是1，9，则第三第四项不会是第一个方程的根，不符合题意，
那么就只有可能是第1项和第4项分别是1和9，那么在第一个方程中，两根之积等于9，
但是此时方程无实数根 因此，此题只有唯一的解m：n=[1/4]．
故选A．

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题是一个等比数列同一元二次方程结合的题目，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了一元二次方程根的存在条件，解题过程体现了分类讨论的数学思想，是基础题．

∵U={1，2，3，4，5}，（∁_UA）∪B={1，3，4，5}，
∴2∈A．又A={x|x²-5x+m=0}，∴2是关于x的方程x²-5x+m=0的一个根，得m=6且A={2，3}．∴∁_UA={1，4，5}．
∴3∈B且B={x|x²+nx+12=0}，∴3一定是关于x的方程x²+nx+12=0的一个根．
∴n=-7且B={3，4}．∴m+n=-1．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；交、并、补集的混合运算．

考点点评： 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，判断2∈A．3∈B且B={x|x2+nx+12=0}，是解题的关键．

根据题意得x₁+x₂=[5/3]，x₁x₂=[m/3]，
而6x₁+x₂=0，即5x₁+x₁+x₂=0，
所以5x₁+[5/3]=0，解得x₁=-[1/3]，
所以x₂=[5/3]+[1/3]=2，
所以-[1/3]×2=[m/3]，解得m=-2．
故答案为-2．

点评：
本题考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．

考点点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=[c/a]．

∵方程有实数根，
∴△=b²-4ac=（-5）²-4×m=25-4m≥0，
解得：m≤[25/4]．
故答案为m≤[25/4]．

点评：
本题考点： 根的判别式．

考点点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

设1为第一个方程的根，那么显然另一个根为4，m=4；
由于最终的四个数排列成为首项是1的等比数列，
如果是1，4，16，64，就不符合第二个方程中两根之和为10的情况，
所以经过检验，四个根应该为1，2，4，8，那么m=4，n=16．此时m：n=[1/4]；
如果1是第二个方程的根，那么n=9，两个根分别是1和9，
如果等比数列前两项是1，9，则第三第四项不会是第一个方程的根，不符合题意，
那么就只有可能是第1项和第4项分别是1和9，那么在第一个方程中，两根之积等于9，
但是此时方程无实数根 因此，此题只有唯一的解m：n=[1/4]．
故选A．

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题是一个等比数列同一元二次方程结合的题目，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了一元二次方程根的存在条件，解题过程体现了分类讨论的数学思想，是基础题．

假设上述两方程都无实根
则

△1＝25−4m＜0①
△2＝1+4×2×(6+m)＜0②
①得m＞
25
4，②得m＜
49
8
这样的m不存在
∴方程中至少有一个有实根．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题主要考查方程的根与判断式之间的关系，要求熟练掌握．

假设上述两方程都无实根
则

△1＝25−4m＜0①
△2＝1+4×2×(6+m)＜0②
①得m＞
25
4，②得m＜
49
8
这样的m不存在
∴方程中至少有一个有实根．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题主要考查方程的根与判断式之间的关系，要求熟练掌握．

∵U={1，2，3，4}，C_UA={2，3}，
∴1，4∈A，
∴由根与系数之间的关系得m=1×4=4，
故m=4．

点评：
本题考点： 补集及其运算．

考点点评： 本题主要考查集合关系的应用，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键，比较基础．

全集U={1，2，3，4}，C_UA={1，4}，
可得A={2，3}，
把x=2代入到x²-5x+m=0中，解可得m=6，
故答案为6．

点评：
本题考点： 补集及其运算．

考点点评： 考查学生理解补集及运算的能力．

（1）由题设知：sinA+cosA＝15sinAcosA＝m25，因为（sinA+cosA）2=1+2sinAcosA，所以125＝1+2m25，解得m=-12；（2）将m=-12代入原方程得25x2-5x-12=0，解得方程两根依次为45、−35，由A∈(π2，π)得，sinA>0、c...

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查同角三角函数的基本关系，以及韦达定理的综合应用，注意三角函数值的符号，切化弦基本原则，熟练掌握公式是解题的关键．