用泰勒定理拉格朗日余数证明cos(x)的问题

用泰勒公式展开e^x sinx
e^x=1+x+x²/2+o(x³)
sinx=x-x³/6+o(x³)
代入式子可得极限为1/3

不能将φ视为常数,φ是个变量,第一次求导后的φ1与第二次求导后的φ2不一定相等.
φx只说明有一个位于0到x之间的变量值使余项公式成立,求导时是对f(x)求导,φx视为一个最终会存在的常量

如果f(x)是n次多项式,则不妨设,
那么有：

这说明了命题的充分性；



反之,如果
,
不能说明f(x)是n次多项式：
反例：
,
显然其n+1阶导为0,但f(x)为1次多项式.

f(x)具有n+1阶导数
方法1：
设F(x)=
f(x)-f(x0)-f'(x0)(x-x0)-f"(x0)(x-x0)^2/2-***-f(n)(x0)(x-x0)^n/n!
G(x)=(x-x0)^(n+1)
则F(x0)=G(x0)=0
由柯西定理得：
F(x)/G(x)=[F(x)-F(x0)]/[G(x)-G(x0)]=F'(x1)/G'(x1)
F(k)(x)=f(k)(x)-f(k)(x0)-***-f(n)(x0)(x-x0)^(n-k)/(n-k)!
又G(k)(x)=(x-x0)^(n+1-k)(n+1)!/(n+1-k)!k

f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+0.5f''(a)(0-x)^2
f(2)=f(x)+f'(x)(2-x)+0.5f''(b)(2-x)^2,两式相减取绝对值得2|f'(x)|《|f(0)-f(2)|+0.5|f''(a)x^2-f''(b)(2-x)^2|
《2+0.5（x^2+(2-x)^2）,利用二次函数x^2+(2-x)^2在【0,2】上的最大值是2可得结论.

lim x-x0
[f(x)-pn(x)]/(x-x0)^n=0
o((x-x0)^n)=f(n+1)(E)*x^(n+1)/(n+1)!
其中E介于x0与x之间

在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.
目录
公式定义
证明麦克劳林展开式
麦克劳林展开式的应用
泰勒展开式原理
余项
泰勒简介简介
主要著作
公式定义
证明 麦克劳林展开式
麦克劳林展开式的应用
泰勒展开式 原理
余项
泰勒简介 简介
主要著作
展开 编辑本段公式定义
　　泰勒公式（Taylor's formula） 　　泰勒中值定理：若函数f(x)在含有x的开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：　　f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn(x) 　　其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.　　（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.）
编辑本段证明
　　我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx）,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：　　P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 　　来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式.设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!(x-x.)^n.　　接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x.)^(n+1).一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn.
麦克劳林展开式
　　：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：　　f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!x^2,+f'''(0)/3!x^3+……+f(n)(0)/n!x^n+Rn 　　其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!x^(n+1),这里0

表面上看,
柯西中值定理包含泰勒中值定理（因为泰勒定理是由柯西定理证明出来的）,泰勒包含拉格朗日中值定理,拉格朗日包含罗尔中值定理.
从本质上看,【这几个定理是等价的】.
因为,拉格朗日可以推出柯西定理,柯西定理可以推出泰勒定理,泰勒定理可以推出拉格朗日定理.而拉格朗日与罗尔可以互推.所以这几个定理本质上是等价的.
教科书上所说的包含关系指的是形式上的.并不是本质上的.
罗比达法则是柯西定理在求极限时的一个应用.

那个是高阶无穷小的表达式,这个最高次数是三次,因而它是三阶无穷小.课本上有介绍.

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n

误差是被连续函数的有界性自动保证的

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理,前一个是后一个的特例.我不知道这三个定理有什么用处,因为在函数表达式的导数可以很方便求出来的情况下,直接求导求值就可以了,不用说用这三个定理找有多少个零点等等,所以感觉好像就是证明不等式的时候能用用,拉格朗日将(f(a)-f(b))/(a-b)换为f'(ξ),柯西定理将拉格朗日中（a-b）的部分变为相似的函数形式,也用来求不等式.
泰勒定理是将函数的某一点处及很小领域转为常数和不同阶无穷小之和.
洛必达法则用于无穷小之间的同阶,高阶,等阶的确定,即lim0/0时,不能计算.于是就降阶,还是lim0/0,再降阶,直到结果为0高阶,1等阶,C同阶,∞低阶.
而泰勒公式能用求0/0,正是将前面几阶为0的去掉,将高阶去掉,只保留有值的最低阶.若分子分母阶相同,即同阶就可以求C之比.
不知道你看懂没有.