在△ABC中BD、CF分别是高 M为BC中点 N为DF中点 求证MN⊥DF

∵BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠CEA=∠BDA
∵∠BAD=∠CAE
∴△ABD∽△ACE
∴AE/AD=AC/AB
2/3=AC/(2+4)
AC=4
∴在RT△ACE中：AE=1/2AC
∴∠ACE=30°
∴∠A=60°
做EH⊥AC于H
∴∠AEH=90°-∠A=30°
∴AH=1/2AE=1
∴EH=√(AE²-AE²)=√3
∴S△ADE=1/2AD×EH=1/2×3×√3=3√3/2

解题思路：由△ABC中BD和CE是两条高，∠A=45°，易得△AEC和△ABD是等腰直角三角形，则可求得在Rt△ACE中，cos∠A=[AE/AC]=

2

2

，又由∠ADE=∠ABC，∠A是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，可证得△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得答案．

∵△ABC中BD和CE是两条高，∠A=45°，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴△AEC和△ABD是等腰直角三角形，
∴在Rt△ACE中，cos∠A=[AE/AC]=

2
2，
∵∠ADE=∠ABC，∠A是公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴[DE/BC]=[AE/AC]=

2
2．
故答案为：

2
2．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键．

解题思路：根据平行线的性质和角平分线的性质，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．

∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1=∠2，∠5=∠6，
∵EF∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，
∴∠1=∠3，∠4=∠5，
根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE=ED，DF=FC，故EF=ED+DF=BE+CF．

点评：
本题考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质．

考点点评： 本题综合考查等腰三角形的性质及平行线的性质；一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边，进而得出结论．进行等量代换是解答本题的关键．

B

根据平行线的性质和角平分线的性质，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．
由BD平分∠ABC得，∠EBD= ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=2∠EBD，∠AEF=∠EBD+∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴△BED是等腰三角形，
∴ED=BE，
同理可得，DF=FC，（△CFD是等腰三角形）
∴EF=ED+EF=BE+FC，
∴EF=BE+CF．
故选B．
本题综合考查了等腰三角形的性质及平行线的性质；一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边，进而得出结果．进行等量代换是解答本题的关键．

∵HG⊥BC,CE⊥AB,∠HBG=∠CBE
∴△HBG∽△CBE
∵HG⊥BC,CE⊥AB,∠CBE=∠CFG
∴△CBE∽△CFG
∴△HBG∽△CFG
∴HG/CG=BG/FG
HG*FG=CG*BG
∵BD⊥AC,DG⊥BC
∴DG^2=BG*CG(射影定理,自己也可由相似三角形推出)
∴GD^2=GF*GH

解析如下：
∵BD⊥AC,CE⊥AB（已知）,
∴∠ABD+∠BAC=90°,∠ACE+∠BAC=90°（垂直定义）,
∴∠ABD=∠ACE（等量代换）,
又∵BM=AC,CN=AB（已知）,
∴△ABM≌△NCA（SAS）,
∴AM=AN（全等三角形对应边相等）．
可得∠CAN=∠M（全等三角形对应角相等）,
∵BD⊥AC（已知）,即∠M+∠CAM=90°（直角三角形两锐角互余）,
∴∠CAN+∠CAM=90°（等量代换）,即∠NAM=90°,
∴AM⊥AN（垂直定义）．

我会用向量做：
0.8
以BC 的中点为原点,BC为x轴建立 坐标系.
那么 A点必定在y轴上 因为△ABC为等腰.
B点为（-a,0),C点为（a,0),A点为（0,h)
得到：向量BA=(a,h)
向量CA=(-a,h)
cosA= (h^2-a^2)/(a^2+h^2) ------(1) 根据向量夹角公式得到.
那么现在根据 BD,CE是两腰中线,且BD⊥CE这两个条件来求a和h的关系.
E为AB中点 所以 E的坐标为（-a/2 ,h/2)
同理求得：D为（a/2 ,h/2)
所以 向量EC=（3a/2,-h/2) 向量BD=( 3a/2,h/2)
cos90度=0= [(9/4)*a^2 - (1/4)*h^2]/[(9/4)*a^2 +(1/4)*h^2]
得出：9a^2=h^2 ------(2）
将（2）带入(1)得
cosA = 4/5 =0.8

易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°

连接BE,设阴影部分的面积为x,设ABE面积为a,BDE面积为b
则b=3x a=4(b+x) a+b+x=250
x=12.5

三角形HEC和HBE相似,
HE：HB=HC：HE,
HE^2=HC*HB,
三角形MHC和BDC相似,
三角形BDC和 BHG相似,
三角形MHC和BHG相似,
MH：BH=HC：HG,
MH*HG=HC*HB,
HE^2=MH*HG

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