若A是幂零矩阵,如何证明其特征值为0?若A为幂等矩阵,如何证明其特征值只能为0或1?

看A的Jordan标准型中零特征值对应的Jordan块即可

就不说2010B了,要证明|A+B|=|A|,其中B幂零,AB=BA.不妨假设B已经是Jordan型,否则以T^(-1)BT代替B,同时以T^(-1)AT代替A,使得新的B是Jordan型.当然这时并不知道A是不是Jordan型.这时B的主对角线上元素全是0（因为B幂零）,次对角线上可以有0或者1（次对角线是指主对角线上面的那条）.
同样的道理,除非B=0（这就没得可证了）,否则可以假定
(*) B的次对角线最右下的那个元素是1而不是0（只要通过共轭来调整B的Jordan块的次序）,
这一点,以及AB=BA,将在最后一起使用（如果B只有一个Jordan块的话,直接用AB=BA可以说明A是B的多项式,所以是上三角的；不过现在B可以有好多Jordan块,这时A不一定是上三角的,所以说起来麻烦一点）.
对A、B的阶（我是指矩阵的个头）进行归纳.2阶矩阵的话,在B化为Jordan型之后可以直接验证.假如对(n-1)阶及以下的矩阵都对,那么把|A+B|按第一列展开,和把|A|按第一列展开进行对比.当你在这个第一列里取的元素不是最下面那个元素的时候,它在|A+B|中的余子式矩阵和在|A|中的余子式矩阵差一个幂零的(n-1)矩阵,所以这两个余子式,按归纳假设,是相等的.当你在第一列里取的元素是最下面那个元素的时候,它在|A+B|中的余子式矩阵不一定和在|A|中的只差一个幂零矩阵,但是利用AB=BA和上一段开头的(*)那个假定,考虑AB和BA的第一列的倒数第二个元素,可以直接说明A的第一列的最后一个元素是0.这样|A+B|=|A|.

既然在复数域上讨论,那么直接用Jordan标准型构造出B和C即可
注: 这个分解叫Jordan–Chevalley分解

A^2=|-1 0 -1;0 0 0;1 0 1|;A^4=|0 0 0;0 0 0;0 0 0|;ji即A为零幂矩阵

这个结果对于会若当标准型的人是一目了然的.
每一个方阵都与一个若当矩阵相似,即对任意n阶方阵A,存在一个可逆的n阶方阵X和n阶若当阵J,使得A=X^(-1)JX；若当阵是有若当块组成的准对角矩阵,若当块就是主对角线上元素相同,主对角线上方斜线上元素都是1,其余元素都是0的矩阵.若当块都能分解成一个数量阵+一个幂零阵的形式,所以若当阵就能分解成一个可对角化矩阵+一个幂零阵,(这里的幂要取到该若当阵所含所有若当块分解下的所有幂零阵的幂的公倍数).
分解以后再利用X和X^(-1)回来就得到A的分解式.
唯一性是因为任意矩阵的若当标准型在不计若当块的排列次序的情况下是唯一的,而乘回来X和X^(-1)后排列次序也被固定了.
我想应该是你没有理解我的意思,举个例子最容易说明问题,如果你明白若当标准型的话可以qq我,22949520,我用一个例子解释一下我是怎么做的.

不用特意证明吧,举个反例就行了.
比如二阶矩阵D=a11=0,a12=0,a21=n,a22=0,（对应4个元素）
D^n=0,但D不为0

(1) 特征多项式为x^n,再用Cayley-Hamilton定理.
(2) Tr的两个性质：Tr(A-B)=Tr(A)-Tr(B)；Tr(AB)=Tr(BA).所以
Tr(X^k(AX-XA))
=Tr((X^k*A)*X)-Tr(X^k*X*A)
=Tr(X*(X^k*A))-Tr(X^k*X*A)
=Tr(X^(k+1)*A)-Tr(X^(k+1)*A)
=0.
(3) 设X满足AX-XA=X^p,X的全部特征值为a1,...,an.由(1),只需证明a1=...=an=0.特征值的两个性质：X^t的全部特征值为a1^t,...,an^t；Tr等于全部特征值的和.所以由(2),对任意非负整数k,有
0=Tr(X^k(AX-XA))
=Tr(X^k*X^p)
=Tr(X^(k+p))
=a1^(k+p)+...+an^(k+p).
换而言之,对任意整数t>=p有a1^t+...+an^t=0.所以a1=...=an=0.

设n阶矩阵A的特征值均为实数,且A的所有一阶主子式与二阶主子式之和都∑aii=0 ∑(aiiajj-aijaji)=0 |A|=0 A*A降幂 A幂零

The Nature And Application Of Nilpotent Matrix
Summary:Nilpotent matrix is a special type of matrix that has an important place in matrix theory.It has some useful characteristics too.This article discusses some of the relevant characteristics from various perspectives.Nilpotent matrix can also be used in conjunction with Jordan matrix to facilitate solving relevant matrix problems.Illustrative examples have been provided in this article and a problem has been identified.By exploring this problem,conclusions are drawn,which are significant in the study of nilpotent matrix.Furthermore,nilpotent matrix can be used to simplify the usually clumsy process of finding the inverses of ordinary matrices.The last part of the article therefore discusses the approaches for finding inverses of three particular types of matix using the special characteristics of nilpotent matrix.
Keywords:nilpotent matrix,Jordan block,eigenvalue,nilpotent index

设 a 是A的特征值.
则 a^k 是 A^k 的特征值
而 A^k=0,零矩阵的特征值只有0
所以 a^k = 0
所以 a = 0
所以 幂零矩阵的特征值只能为0

幂零矩阵的特征值只有0
因为A≠0
所以属于A的线性无关的特征向量的个数 = n-r(A)

矩阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量.
幂零矩阵的特征值只有0
属于特征值0的特征向量是Ax=0 的非零解
自然与AX=0的基础解系有关系了
AX=0 的基础解系含 n-r(A) 个解向量
所以A的属于特征值0的线性无关的特征向量有 n-r(A) 个
A≠0, 所以 r(A)>=1
所以 n-r(A) < n
所以A不能对角化

∑aii=0
∑(aiiajj-aijaji)=0
|A|=0
A*A降幂
A幂零

http://wenku.baidu.com/link?url=XtLFpiyJELOK86G3PNB2osioavyd22DCIK73j4dJimeYhaaSsLvnbK32DLQO2tiuKk0-Ncq8CnTA2YvfT3tHWY0uEOTrg5Tx_fa7agBAgDm

设A^m=0,特征值为c,则有Ax=cx,A^2x=c^2x,以此类推有A^mx=c^mx,由A^m=0有c^m=0,因此c=0,即A的特征值是0

A^K=0
E-A^K=E
E^K-A^K=E
用多项式分解就有
(E-A)[E+A^2+A^3+...+A^(K-1)]=E
所以(E-A)的逆=E+A^2+A^3+...+A^(K-1)
不懂的地方可以给我留言

1、只要证明(E-A)•(E+A+A^2+…+A^(k-1) )= E
即可说明〖(E-A)〗^(-1)=E+A+A^2+…+A^(k-1)
而对(E-A)•(E+A+A^2+…+A^(k-1) )用分配律,再用条件即得E
2、只要证明A、A+3E、A-2E的行列式都不等于0即可
由A^2+A-7E=0得A^2+A=7E,即A(A+ E )=7E,两边取行列式,
右边的行列式值为7不等于0,左边的行列式为A的行列式与A+ E的行列式的乘积,所以知道A的行列式不等于0,故A可逆
同理,由A^2+A-7E=0得A^2+A-6E= E,即(A+3E)(A-2E)=E,两边取行列式,
右边的行列式值为1不等于0,左边的行列式为A+3E的行列式与A-2E的行列式的乘积,
所以知道A+3E的行列式与A-2E的行列式都不等于0,故二者都可逆
3、根据正交矩阵的定义,只要证明A^T •A= E即可
而A^T •A=(E-2aa^T ) ^T•(E-2aa^T )
根据转置的算律,(E-2aa^T ) ^T =(E-2aa^T )
从而A^T•A= (E-2aa^T )•(E-2aa^T )=E-4aa^T+4(aa^T )(aa^T )
注意用结合律,(aa^T )(aa^T )=a(a^Ta)a^T=aa^T (条件a^Ta=1)
从而A^T•A= E-4aa^T+4(aa^T )= E 证毕

我忧喜参半地谛听
庄严而缓缓地离我们而去,
夜深时,马头琴长出脚
那一绺秀发的柔光
因为我们等候得如此虔诚,如此长久.
是海暗藏汹涌波涛天空云波诡谲哈哈

提示:幂零阵的所有特征值都是零(这是充要条件)

这个分解叫Jordan–Chevalley分解, 如果在复数域上讨论的话直接从Jordan标准型入手进行拆分即可. 当然事实上结论对一般的域也是对的.

幂零矩阵的行列式一定为零

设[A B [A^{-1} X [E O
C D]乘以 Y D^{-1}]等于 O E]
直接计算左边并与右边比较可得X=-A^{-1}BD^{-1},Y=-D^{-1}CA^{-1}
由此可知原分块矩阵可逆,其逆矩阵为
[A^{-1} -A^{-1}BD^{-1}
-D^{-1}CA^{-1} D^{-1}]