偏微分方程,初等数论,概率论与数学统计,复变函数论,拓扑学,微分几何,实变与泛函分析初步哪个难?

这个方程是含时的GP方程,按照wikipedia的说法 “Since the Gross–Pitaevskii equation is a nonlinear,partial differential equation,exact solutions are hard to come by”.
你是学量子光学的吗?要知道搞BEC的整天围绕的就是这个方程.

逆求导求微积分,求导来验证,这是基础.
一眼看出,通常简单式的一步转化,常根据几何意义来判断.

已近帮阁下解出.答案在我空间相册.详细解答请点击以下链接.

偏微分方程

热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化.热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表达,其中u =u(t,x,y,z) 表温度,它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数./是空间中一点的温度对时间的变化率.uxx,uyy 与 uzz 温度对三个空间座标轴的二次导数.k决定于材料的热传导率、密度与热容.如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程唯一解,必须指定 u 的边界条件.如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果.

跟边界形状有关即你的偏微分方程问题如果不是定义在全空间的话,必然在一个区域上而区域可以有各种形状.此种边界条件称之为诺依曼Neumann（纽曼）边界条件n指的是区域边界上的法向即区域的边界曲线可以用一个函数来描...

薛定谔方程（Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程,也是量子力学的一个基本假定,其正确性只能靠实验来检验.是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,可描述微观粒子的运动,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解微观系统的性质.薛定谔方程是一微分方程

M:=F(x,y)*(x+y^2)
N:=F(x,y)*x*y
eq:=diff(M,y)=diff(N,x)
pdsolve(eq)
答案是:F(x,y)=x*G(2x³+3x²y²),G是任意函数

薛定谔方程 根据波函数“完全”决定微观粒子运动状态的要求，只需要由Ψ(r, t0)决定波函数Ψ(r, t)。 以自由粒子的一维运动为例，设波函数Ψ (x, t)满足方程： 考虑到 ， 代入上式得自由粒子一维运动所满足的薛定谔方程为同理可得自由粒子三维运动所满足的薛定谔方程为式中 为拉普拉斯算符。 当粒子在势函数为U(r)的势场中运动时，其薛定谔方程为 对于概率分布布随时...

一个一元函数y=f(x),写成隐函数形式为g(x,y)=0,但这隐函数也算是一元方程,故而如果全微分方程只有x,y则为一元,为常微分方程

高数包括常微基本知识,不包括偏微分方程 线性代数.
大一要一般都要学高数和线性代数,至于 常微和偏微分方程要看各校各专业的培养计划,
数学分析通常是数学系学习,比高数难.工科专业一般只要学高数就可以了.

方程中,偏导数的最高阶即是这个偏微分方程的阶.这是对线性方程而言的.

http://course.bnu.edu.cn/course/jswl/files/class/skja/ppt06.pdf

基本原理有两种：一是利用差分格式把微分方程化为代数方程求解,二是利用差分格式逐步推进.
如：y'=2x,y(0)=0,
假设dx=0.1,有,y(dx+1)-y(dx)=2*dx(或2*(dx+1),看自己怎么选择）,于是,y(0.1)=2*0*0.1+y(0)=0,
y(0.2)=0+2*0.1*0.1=0.02,y(0.3)=0.02+2*0.2*0.1=0.06.
还有如：
y''=2x,y(0)=0,y(10)=10
此时,不能递推,得化为代数方程求解,
求解微分方程是很复杂的一门学科,差分求解是其中一种近似方法,具体得查阅相关书籍与文献.

我的高等数学没学到偏微分方程,所以下面只会个很朴素的解法,
你看看行不?
先看这个简单的微分方程：y=A*(dy/dx)+B,A,B是系数；(i)
它的解是y=C*exp(x/A)+B；C是任意常数
同样对于偏微分方程：y=K1(dy/dx)+K2(dy/dt)+K3,K1,K2,K3是系数；(ii)
它也有解y=C1*exp(x/K1)+C2*exp(t/K2)+K3；C1,C2是任意常数
你的方程可以化简成上面(ii)那样的
只要分母不为0,
即K不等于-0.25*a2,
那么(ii)中的
K1=2/(4*K+a2)；
K2=-4/(4*K+a2)；
K3=4*K*a1/(4*K+a2)；
所以当K不等于-0.25*a2时
y=C1*exp[x*(4*K+a2)/2]+C2*exp[-t*(4*K+a2)/4]+4*K*a1/(4*K+a2)
C1,C2是任意常数
当K等于-0.25*a2时,
方程可化为：
0.5*(dy/dx)-(dy/dt)+K*a1=0
此时方程有
y=(2*C-2*K*a1)*x-C*t
C是任意常数

我建议你先把常微分方程的知识学扎实,在深刻理解常微分方程的解法后,再学习偏微分方程,毕竟学习偏微分方程需要很多数学基础知识做铺垫.如果你实在想快速入门,我建议你看一看数学物理方法这一类的书,里面有介绍到相关基础知识,且结合了现实中的物理意义,所以很帮助你入门、理解、记忆哦~
希望有帮到你,亲~

对于偏微分方程,如果没有初值条件（边界条件）,通解的概念不适用
比如特殊一点的调和方程,学了复变函数可知在复平面解析的函数都是调和函数的解
像这种偏微分方程可以用简单的分离变量法进行求解

function varargout=liu(varargin)
N=5;%改这个N=10 15
a=0;b=1;c=0;d=1;h=1/(N-1);
f=inline('-2*(x^2+y^2)','x','y');
g1x=inline('0');
g2x=inline('x^2');
g1y=inline('0');
g2y=inline('y^2');
chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h);
function [X,Y,Z]=chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h)
%求解下问题
%u_xx+u_yy=-f(x,y) x,y 在区域内 x in a

数学的就是：混沌理论 物理的就是所要用到上面的馄饨理论的有关分支,主要体现在三体问题,大到宇宙中各天体的运行轨道的计算,小到分子原子的振动.并涉及很多分支,具体的我也不是很清楚

常微分方程：解得的未知函数是一元函数的微分方程.
偏微分方程：解得的未知函数是多元函数的微分方程.
全微分方程：一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后,它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程.

常微分方程是求带有导数的方程,比如说y'+4y-2=0这样子的,偏微分方程是解决带有偏导数的方程.常微分方程比较简单,只是研究带有导数的方程、方程组之类的通解、特解,现实生活中的很多问题与常微分方程有关系,所以研究起来很有必要.但是对于很多高尖端的问题都是偏微分方程,比如很多著名的物理方程：热传导方程、拉普拉斯方程等等,这就是的偏微分方程很难,它不仅仅是研究方程解的一门学科,因为有些方程很难,根本就求不出解,或者常规方法求解十分困难,所以偏微分方程还着重研究解的分布、状态等等.
你要是写作业的话,可以去图书馆找找《常微分方程》《偏微分方程》的书籍,然后抄一下前言就行了.

剩下的就是一个很简单的偏微分方程
算出了f 其他的就都出来了

不一定……,达朗贝尔公式是无界波动问题的解.X(x)*Y(y)大概线性二阶方程的初边值问题才用,其物理意义是稳定的驻波

把y当常数啊……x和y的地位是对等的,对其中一个偏,另一个就暂时看成是常数了

凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.定义式如下： F(x, y, y¢, ., y(n)) = 0 　　定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数,都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解,称为方程的特解. 　　一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数.也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同,这种解叫做微分方程的通解.通解构成一个函数族. 　　如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解.对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组.
常微分方程
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点. 　　求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究. 　　后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解.当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来. 　　一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的,那又不好确定.因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的. 　　大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解.当然,这个近似解的精确程度是比较高的.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.
常微分方程实例
　　下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). 　　(1) y= kx, k 为常数； 　　(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； 　　(3) mv(t) = mg - kv(t)；
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程.
偏微分方程分类比较繁琐,解法多样.建议找一本偏微分方程的教材来看看.会对你有很大帮助

令v= u_t + 2u_xx,
那么v_t - v_xx=0.这样先用热方程的办法解出v,然后再以v为初值,同样用热方程的办法解出u.

syms x y t
[x,y]=dsolve('Dx=y','Dy=-x',t);

这是个简单的热传导方程,属于经典的问题,这个是很容易用分离变量法解的.最终是无穷级数解.不过你这个边界是第三类的,稍微麻烦一点.还有你的初始条件没有给出.边界条件给的也不够.如果是无穷区域上的,可以用傅里叶或者拉普拉斯变换处理,都比较简单.

哇塞,你这是要逆天啊,学这么多.
你自己不是列出来了吗?基础数学,应用数学,计算数学与科学工程计算.肯定是先学基础数学啊,常微分与偏微分貌似有点难度,最后学吧,还有先学常微分再学偏微分.

只学到会定积分去自学常微分方程应该没多大问题.因为常微是一个变量的微分方程,学到定积分就够了.
学偏微分方程有难度,因为偏微分时多个变量的微分方程,要学了偏导数和二重积分后再学.

首先为什么要有初始条件?
因为方程对时间有导数
解微分方程,从某种意义上来说就是求积分
而我们知道做不定积分的时候会出现一个常数C,
初始条件就是用来定这个C的
其次,有多少阶导数就需要多少个初始条件,因为求有两次导数的微分方程,可以看成需要积分两次,故而有两个待定常数.例如y''=f(y,t),一般需要两个初始 y(0),y'(0)
说完初始条件,我们来说边界条件
偏微分方程顾名思义指有多种导数,不一定只有t的导数
例如dy/dt+dy/dx=0
此时我们可以认为需要积分两次,对变量t一次,对x一次,所以也有两个待定常数
其中一个与t直接有关,所以需要y(t=0),另一个需要y(x=x0),一共两个.
再解释初始和边界条件的区别.
其实,初始条件是边界条件的特例
因为边界条件可以指任何地方,可以指定x(-1000),x(20000)
但是初始条件一般必然指t=0,很少会有t=t0>0
但是时间一般不会是负的,这是和边界条件主要的区别.

当然解析解是人们最想找到的,但是大多PDE找不到解析解,在实际工程科学计算中只能退而求其次去寻求数值解,数值解是对真解的一种近似,在极限的情况下收敛到真解.数值解还有个好处就是可以借助计算机这个利器,大概是这样吧.

可以使用分离变量方法.
设u(x,y) = f(x)g(y)
2xyf '(x)g'(y) = xf '(x)g(y) + yf(x)g'(y)
g(y) / (yg'(y)) + f(x) / (xf '(x))=2
设 xf '(x) / f(x) = k
则yg'(y) / g(y) = k / (2k - 1)
|f(x)| = A1 |x|^k,
|g(y)| = A2 |y|^(k/(2k-1))
|u| = A |x|^k |y|^(k/(2k-1))
利用初始条件,确定u

设：偏微分方程中的变量是x（可代表多个变量）,待求函数是y=y(x)、z=z(x)等,abcd为常数.
线性是指微分方程中的待求函数及其各阶导数（含它们与常数之积）以线性运算方式（加、减）的形态呈现——方程中只包含y、z等及其各阶导数的一次幂项,或含这些一次幂项与x的各种运算组合构成的混合项.如只含ay、by'、xy"、cz、dz'、xz"一类的项.
非线性是指微分方程中的待求函数y及其各阶导数以非线性运算方式（乘、除、基本初等函数的复合）的形态呈现——含y、z等及其各阶导数的高次幂项、y、z等及其各阶导数之间的混合项或以它们为初等函数的自变量的项.如含ayy、byy'、cxyy"、dy/y"、sin(y)、lny'等（其中的y可任意换成z等）.

郭敦顒回答：
我第一次见到“yUxx+Uyy=0”是表达为偏微分方程,其中“U”是表示偏微分符号∂吧,以此作答.
∵y∂xx+∂yy=0
∴2xy∂x+2y∂y=0

有平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等就非线性,否则就线性

设U=TX
T^(-3/4)X^(-3/4)T'X = TX''
T^(-7/4)T' = X^(-1/4)X'' = 常数c
所以T' = cT^(7/4),X'' = cX^(1/4)
然后去查书,找到这种类型的公式即可.

一阶的可用特征方程法：
先求du/dt+a du/dx=0的特征线：
dt/1=dx/a
得：x-at=C1
得：u=f(x-at)
再求du/dt+adu/dx=c的解
设u*=pt+qx+r,则代入原方程有:p+aq=c,得：p=c-aq
即u*=(c-aq)t+qx+r=q(x-at)+ct+r,
将q(x-at)合并到f(x-at)里,有：
所以通解为u=f(x-at)+ct+r ,这里f为任意一阶可微函数,r为任意常数.

偏 微 分 方 程偏微分方程的起源 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中...

是齐次的
有常数项的就是非齐次方程,没有的是齐次方程
举个例子吧
3X+4Y+5Z=0是齐次方程
3X+4Y+5Z=3是非齐次

这个是很有难度的问题.目前来说常见的只有这几种,波动方程,热传导方程,调和方程.
这种线性的是相对简单的,但是其形式也是相当的复杂.而且对于边界条件和初始条件的不同解法又不相同了.
对于非线性的,以及维数高的偏微分方程求解是当前正在研究的课题,数学系的研究生才会去做.
你有兴趣可以去看看数学物理方程,和一些经济学中的偏微分方程的书,一道题的求解占去好几页的.

思路：用g(x)表示你的phi.考虑变量替换y1=x1-x2,y2=x2-x3,...,y(n-1)=x(n-1)-xn,yn=xn.
用a表示偏微分算子,若求和(i=1到n)ag/axi =0,则g=f(y1,...,y(n-1)).
证明：因为ag/ax1=ag/ay1,
ag/ax2=ag/ay1*(-1)+ag/ay2*1,
ag/ax3=ag/ay2*(-1)+ag/ay3*1,.,
ag/ax(n-1)=ag/ay(n-2)*(-1)+ag/ay(n-1)*1,
ag/axn=ag/ay(n-1)*(-1)+ag/ayn,
相加得
0=ag/ayn,即g与yn无关,因此g只是y1,...,y(n-1)的函数,
即g可表示为g=f(y1,...,y(n-1))=f(x1-x2,...,x(n-1)-xn).

二阶偏微分方程的一般形式为
A*Uxx+2*B*Uxy+C*Uyy+D*Ux+E*Uy+F*U=0
其特征方程为
A*(dy)^2-2*B*dx*dy+C*(dx)^2=0
若在某域内B^2-A*C0则在此域内称为双曲形方程
其实主要是按特征方程的曲线类型分的
注：
Uxx表示U对x求二阶偏导,Uyy表示U对y求二阶偏导,Uxy表示对x求一阶偏导后再对y求一阶偏导,Ux表示U对x求一阶偏导,Uy表示U对y求一阶偏导
partial符号实在打不出来