1.fx=x分之1+lnx,若对任意x1x2,当x1>x2≥e时恒有|fx1-fx2|≥k|x1分之一-x2分之一|,求

飞飞的眼泪2022-10-04 11:39:541条回答

1.fx=x分之1+lnx,若对任意x1x2,当x1>x2≥e时恒有|fx1-fx2|≥k|x1分之一-x2分之一|,求k取值
2.是否存在m,n（m＜n),当x∈【m,n]时,fx值域恰为【m,n】?若存在给出证明,若不存在说明理由

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少年失意须尽欢共回答了15个问题 | 采纳率73.3%: 1)设g(x)=x+In(1/x)
题1即证对任意x1x2,当x1,x2都在定义域（0,1/e]上时恒有|gx1-gx2|≥k|x1-x2|
即|(gx1-gx2)/(x1-x2)|≥k
说白了就是这一段定义域上的函数g(x)图像任意两点间的斜率绝对值都要大于k
g‘(x)=1+x*（-1/x^2)=1-1/x 在定义域上递减
g'‘(x)=1/x^2其值恒大于0意味着函数是凹函数且g‘(x)在x=1/e处取得最大值1-e,绝对值在此处取最小值e-1
定义域内g(x)上任意两点连线后将其平移后都可以找到一个与函数图像相切的位置,即
所有这些连线的斜率都可以在g'(x)内找到
所以有|(gx1-gx2)/(x1-x2)|>e-1恒成立,这里x1不等于x2所以不取等号
因而有k; 1年前

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证明：
∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)＜f(x2).
另设f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知,A1＜A＜A2.
构造函数g(x)=f(x)-A.(x1＜x＜x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A＜0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A＞0.
∴由“零点存在定理”可知,
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-A=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在（x1,x2)内必有一实数根.

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选（2）（3）
将（2）变形
f(x1)/x1>f(x2)/x2
f(x1)/x1和f(x2)/x2可以理解为和原点的斜率
∵x11
而[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)是f(x)的导数,也就是斜率
可以看出函数的斜率不是都大于1,不是恒成立
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YES

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你别逗我了这明明是偶函数
你即已算出f(-1)=0我就直接用这个了
令x1=x,x2=-1
则f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
如果发现这个错误,我想,你应该会做了吧

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