求微分方程x^2y的导数=(x-1)y 的通解.

令p=y'
则y"=dy'/dx=dp/dx
方程化为：x^2 dp/dx=p^2
因此dp/p^2=dx/x^2
积分：-1/p=-1/x+c1
即 p=x/(1+cx)
dy=xdx/(1+cx)
y=∫[1/c-(1/c)/(1+cx)]dx=x/c-1/c^2* ln(1+cx)+c2

x^2y"-2xy'+2y=x^3lnx
设x=e^t,t=lnx
y'=(y't)*(1/x) y''=((y''t)-y't)/x^2,代入得：
(y''t-y't)-2y't+2y=te^3t
y''t-3y't+2y=te^3t
特征方程的根为：1和2
设特解y*=(At+B)e^3t,代入求得：A=1/2,B=-1/4
y=C1e^t+C2e^2t+(1/4)(2t-1)e^3t
=C1x+C2x^2+(1/4)(2lnx-1)x^3

令y'=p
y"=p'
x^2p'=p^2+2xp,这是伯努利方程
令p=1/q
p'=-1/q^2 q'
x^2(-1/q^2)q'=1/q^2+2x/q
化为一阶方程：q'+2q/x=-1/x^2
这用普通公式可算得结果了.

令y'=p
y"=p'
x^2p'-3xp+2p^2,这是伯努利方程
令p=1/q
p'=-1/q^2 q'
x^2(-1/q^2)q'-3x/q+2/q^2=0
化为一阶方程：q'+3q/x=2/x^2
这样可用普通公式算到结果了.