用高斯消元法求方程组（多谢了）用列主元素高斯消元法求方程组4x1+2x2+x3=72x1-5x2+2x3=-1x1+2x

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累人啊～～～～～～～～～好难翻译啊！期待加分哦呵呵～晕！楼上都没有翻译完啊！！！！他最后一个没有翻译哦！
Linear equations
The Direct Method
Gaussian elimination method
The Gauss-Jordan ...

增广矩阵 =
2 -1 -1 1 2
1 1 -2 1 4
4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
r4-r1-r2,r3-2r1,r1-2r2
0 -3 3 -1 -6
1 1 -2 1 4
0 -4 4 -4 0
0 6 -6 5 3
r4+2r1,r3*(-1/4),r1+3r3,r2-r3
0 0 0 2 -6
1 0 -1 0 4
0 1 -1 1 0
0 0 0 3 -9
r1*(1/2),r3-r1,r4-3r1
0 0 0 1 -3
1 0 -1 0 4
0 1 -1 0 3
0 0 0 0 0
交换行
1 0 -1 0 4
0 1 -1 0 3
0 0 0 1 -3
0 0 0 0 0
方程组的通解为 (4,3,-3,0)^T+k(1,1,1,0)^T.

题目为讨论线性方程组Ax=b的解的情况
1）若A为方阵（行列数相等）,则至少有一个A可逆时有唯一解；A非满秩时有无穷多个解；(c)正确；
2) 若A的行数少于列数,则方程数少于未知数个数,此时有无穷多个解.(d)错误.
3) 若有全零解,代入方程得到b=0,说明方程组为齐次的.(b)正确.
4） 行多于列时,方程组个数多余未知数个数,可能无解（此时可求出最小二乘解,是一种近似解）；(a)错误.

数学上,高斯消元法（或译：高斯消去法）,是线性代数中的一个算法,可用来为线性方程组求解,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵.当用于一个矩阵时,高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”.高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数.不过,如果有过百万条等式时,这个算法会十分费时.一些极大的方程组通常会用叠代法来解决.亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组.

如果学过内积和度量矩阵,可以比较简单的证明这一点.
考虑实数域R上的n维线性空间R[x]_n,即由关于x的次数小于n的实系数一元多项式构成的线性空间.
对f,g ∈ R[x]_n,定义(f,g) = ∫{0,1} f(x)g(x)dx.
不难验证(·,·)是双线性的,此外(f,f) = ∫{0,1} f(x)²dx ≥ 0,且等号成立当且仅当f = 0.
因此(·,·)是R[x]_n上的一个内积.
R[x]_n有一组基1,x,x²,...,x^(n-1),考虑上述内积在这组基下的度量矩阵A = (a_ij).
有a_ij = (x^(i-1),x^(j-1)) = ∫{0,1} x^(i-1)·x^(j-1)dx = ∫{0,1} x^(i+j-2)dx = 1/(i+j-1).
因此A就是n阶Hilbert矩阵.
而内积的度量矩阵总是正定矩阵,因此也是可逆的,即得Hilbert矩阵可逆.
其实数学归纳法也是可行的,但是有一定技巧性,以n = 4为例:
1/1 1/2 1/3 1/4
1/2 1/3 1/4 1/5
1/3 1/4 1/5 1/6
1/4 1/5 1/6 1/7
依次从第1行减去第2行,第2行减去第3行,第3行减去第4行,反复利用1/m-1/n = (n-m)/(mn)得:
1/(1·2) 1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
再依次从第1行减去第2行,第2行减去第3行,得:
2/(1·2·3) 2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6) 2/(5·6·7)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
然后从第1行减去第2行,得:
2·3/(1·2·3·4) 2·3/(2·3·4·5) 2·3/(3·4·5·6) 2·3/(4·5·6·7)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6) 2/(5·6·7)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
分别从第1,2,3行依次提出因子3!,2!,1!得(行列式提出因子1!·2!·3!):
1/(1·2·3·4) 1/(2·3·4·5) 1/(3·4·5·6) 1/(4·5·6·7)
1/(2·3·4) 1/(3·4·5) 1/(4·5·6) 1/(5·6·7)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
分别从第1,2,3,4列依次提出因子1/4,1/5,1/6,1/7得(行列式提出因子3!/7!):
1/(1·2·3) 1/(2·3·4) 1/(3·4·5) 1/(4·5·6)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6)
1/3 1/4 1/5 1/6
1 1 1 1
依次从第1列减去第2列,第2列减去第3列,第3列减去第4列,得:
3/(1·2·3·4) 3/(2·3·4·5) 3/(3·4·5·6) 1/(4·5·6)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6) 1/(5·6)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/6
0 0 0 1
按第4行展开得:
3/(1·2·3·4) 3/(2·3·4·5) 3/(3·4·5·6)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6)
分别从第1,2,3列提出因子1/4,1/5,1/6,从1,2行提出因子3,2得(行列式提出因子3!·3!/6!):
1/(1·2·3) 1/(2·3·4) 1/(3·4·5)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/3 1/4 1/5
分别将第1,2行乘以因子2!,1!得(行列式提出因子1/(1!·2!)):
2/(1·2·3) 2/(2·3·4) 2/(3·4·5)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/3 1/4 1/5
将第1行加上第2行,得:
1/(1·2) 1/(2·3) 1/(3·4)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/3 1/4 1/5
依次将第2行加上第3行,第1行加上第2行,得:
1/1 1/2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
即得n = 3的Hilbert矩阵.
于是det(H_4) = det(H_3)·(3!)^4/(6!·7!).
对一般的n,上述过程同样适用,det(H_n) = det(H_(n-1))·((n-1)!)^4/((2n-2)!·(2n-1)!).

#include
#include
using namespace std;
int main()
{
int n,i,j,k;
double a[100][100],b[100],o;
cout

把题目说清楚一点,多谢那.

(1)x1+x2+x3=1,(1)
x1+2x2-5x3=2,(2)
2x1+3x2-4x3=5,(3)
(1)+(2)-(3)得
0=-2,
此方程组无解.(可能是你不小心抄写错误吧!)
(2)x1+x2+x3=1
x1+2x2-5x3=2
2x1+3x2-4x2=3

A =
2 -3 6 2 -5 3
0 1 -4 1 0 1
0 0 0 1 -3 2
=
1 0 -3 0 5 -2
0 1 -4 0 3 -1
0 0 0 1 -3 2
∴
x1 = 3x3 - 5x5 -2
x2 = 4x3 - 3x5 -1
x4 = 3x5 + 2

矩阵形式：
1 1 0 1
0 1 2 2
1 0 -1 1
（第三行减第一行）
1 1 0 1
0 1 2 2
0 -1 -1 0
（第三行＋第二行）
1 1 0 1
0 1 2 2
0 0 1 2
所以,x3=2
x2+2·x3=2
解得,x2=-2
x1+x2=1
解得,x1=3

2 -3 5 0
8 2 -1 21
2 11 -16 21
2 1 -1 6
乖 高斯消元法就是从左下角耐着性子一列一列的消,消成上三角形式
我们把第四行减去第一行 第三行减去第一行 第二行减去第一行的四倍
得到
2 -3 5 0
0 14 -21 21
0 14 -21 21
0 4 -6 6
明显第二行和第三行重复,去掉一个（去掉一行相当于去掉一个方程）变成
2 -3 5 0
0 14 -21 21
0 4 -6 6
第二行减第三行得 0 10 -15 15,两行再同除以2
2 -3 5 0
0 5 -3 3
0 2 -3 3
第三行减第二行得0 -3 0 0
明显左边的系数行列式|A|=0 方程组无解

看来你不知道有所谓的“选主元”,你应该去学一下列选主元Gauss消去法.
对于非奇异矩阵而言,只要通过选主元,一定可以保证Gauss消去法进行到底.
就你给的矩阵而言,即使不做行交换也没问题,因为消去的时候会产生“填充”,对角元正好变成非零了.

A为n阶矩阵,高斯消元法的思想是将A转化为上三角形矩阵,
时间复杂度是n+(n-1)+(n-2)+...+1=n(n+1)/2=O(n^2).

行变换相当于方程之间相加减,列变换做了没意义.

就是主列消元 比如就是选择一列中绝对值最大的元素 然后用它把下面的数消掉 比如说 1 1 1 1
2 1 1 1
3 1 1 1
4 1 1 1
你就把第四行与第一行交换 然后 用第一行的4把下面的1,2,3消为零

2,2,-2,8；1,-1,3,16；变换：1,1,-1,4；1,-1,3,16；变换：1,1,-1,4；0,-2,4,12；变换：1,1,-1,4；0,1,-2,-6；变换：1,0,1,10；0,1,-2,-6.→x+z=10；y-2z=-6.设x=t,则z=10-t,y=2z-6=14-2t.所以：[x,y,z]=[t,14-2t,10-t].

增广矩阵 =
2 -1 -1 1 2
1 1 -2 1 4
4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
r4-r1-r2,r3-2r1,r1-2r2
0 -3 3 -1 -6
1 1 -2 1 4
0 -4 4 -4 0
0 6 -6 5 3
r4+2r1,r3*(-1/4),r1+3r3,r2-r3
0 0 0 2 -6
1 0 -1 0 4
0 1 -1 1 0
0 0 0 3 -9
r1*(1/2),r3-r1,r4-3r1
0 0 0 1 -3
1 0 -1 0 4
0 1 -1 0 3
0 0 0 0 0
交换行
1 0 -1 0 4
0 1 -1 0 3
0 0 0 1 -3
0 0 0 0 0
方程组的通解为 (4,3,-3,0)^T+k(1,1,1,0)^T.

其实高斯消元法的过程就是你初中是二元一次方程的化简过程,只不过是我们把未知数舍弃,纯粹对这些数字进行变化；例如
x+2y+z+4r=13
2x+4z+3r=28
4x+2y+2z=r=20
-3x+y+3z+2r=6
[1 2 1 4 13
2 0 4 3 28
4 2 2 1 20
-3 1 3 2 6]对这个矩阵做初等变化
其实就是一个消元的过程,最后化成如下形式
[1 2 1 4 13
0 -4 2 -5 2
0 0 -5 -7.5 -35
0 0 0 -9 -18]
即-9后面应该是未知数r了,即-9r=-18.得出r=-2,从而从下往上代入,依次求得各个未知数的解

(1)X1-X2+X3-X4=1
(2)X1-X2-X3+X4=0
(3)2X1-2X2-4X3+4X4=-1
(1)-(2),2X3-2X4=1,X3-X4=1/2,X3=X4+1/2,
(1)+(2),2X1-2X4=1,X1-X2=1/2,X1=X2+1/2,
因为
(3)-(2)*2,-2X3+2X4=-1,X3-X4=1/2,
所以方程组的解为
X1=X2+1/2,X3=X4+1/2,
其中X2、X4为任意实数.

2）式-3）式得：x3=-1
2)式+1）式得：-x2-x3=1,得：x2=-x3-1=0
将x2,x3,代入1）式得：x1=5x2-3x3-1=0+3-1=2
所以解为：
x1=2,x2=0,x3=-1