负正定二次型怎样判断?问错了，应该是负定二次型。请问rryypp123能详细的回答一下吗？

二次型的矩阵 A =
1 t -1
t 1 2
-1 2 5
2阶顺序主子式
1 t
t 1
= 1 - t^2
|A| = - 5t^2 - 4t
所以 1 - t^2 >0,- 5t^2 - 4t>0
解得 -4/5 < t < 0.

前面条件是对任意x f均大于零 要想f为零 当然是x要全为零喽

其实 这是正定的另一个定义

f=x^2+2y^2+3z^2-2xy-2yx+3xz+3zx+4yz+4zy
a11=1, a12=-2, a13=3
a21=-2. a22=2, a23=4
a31=3, a32=4, a33=3
写成矩阵形式,即M=
1 -2 3
-2 2 4
3 4 3
若M正定,则f正定
M的各阶顺序主子式为
1阶顺序主子式|1|=1>0
2阶顺序主子式
|1 -2|
|-2 2|
=-2 分别换为＜,≥和≤,则为负定,半正定,半负定的定义

根据就是正定二次型的定义
根据正定二次型的定义,对于任意不全为0的x1,x2……xn,有F(X1,X2,……xn)>0
而题目中,很明显存在一个非0的x=[1,-1,0,0,0,...0],使F(x1,x2,……xn)=0,所以F不是正定二次型

提示：
1. 把P^TAP对称正定的定义写出来,不要空想
另外,正定矩阵一定可逆
2. 把A*和A的关系写出来,当然,先做出上一题再说

解: n∑xi^2 - (∑xi)^2= (n-1)∑xi^2 - 2∑(1

我来回答
一. 1.D 2.A 3.B 4.D 7.A
二. 1.A 2.看不到图 3.A 4.B 5.A

你记住：对A的特征值全为正数，那么是正定的。
不正定，那么就非正定或半正定。若A的特征值大于等于，则半正定。否则非正定。 就这么简单。其他的你可以根据特征根的相关知识推到。。

a是n级实对称矩阵,所以存在正交阵Q使得A=Qdiag(k1,k2,...,kn)QT
其中QT是Q的转置,k1,k2,...,kn是A的n个特征值
tI+A=Qdiag(t+k1,t+k2,...,t+kn)QT
而由题意知s>=|ki|,所以t+ki>s+ki>=0.所以tI+A是正定的

二次型的矩阵A=
1 a -1
a 1 2
-1 2 5
由A正定,A的顺序主子式都大于0.
1 a
a 1
= 1-a^2 >0
|A| = -5a^2 - 4a > 0.
故 -1

注意正定的定义:
二次型f正定 对任意x≠0,f(x)>0.
x=0时,当然有f=0

就是牛顿第一定律
在无合外力下,物体运动状态不改变
汗了.
我学高数和数学物理方法的.没专门学线代,帮不了你了.

二次型的矩阵 A=
2 t -1
t 5 0
-1 0 3
由于A正定,其顺序主子式>0,
所以 10 - t^2 >0,且 25 - 3t^2 >0
所以 -√10 < t < √10,
且 -√(25/3) < t < √(25/3)
所以t满足 -5/√3 < t < 5/√3 .

二次型的矩阵 A=
2 t -1
t 1 0
-1 0 3
各阶顺序主子式分别为 2,2-t^2,5 - 3t^2
由于A正定A的各阶顺序主子式都大于0
所以 2-t^2>0,5-3t^2>0
所以 t^2 < 5/3
所以 -√5/3 < t < √5/3 .

1. 坐标变换x=Cy 是 同一个向量在不同基下的坐标的变换.
C 是两个基之间的过渡矩阵, 所以是可逆的
2. 若 x0 = 0, 则 Cy0 = 0.
两边左乘C^-1 得 y0=0, 矛盾.

由 X1^TAX1 = 0,
左乘A^T得 (AX1)^T(AX1)=0
所以必有 AX1 = 0.
故X1是AX=0的解向量.
同理X2是AX=0的解向量.
所以AX=0 有2个线性无关的解向量X1,X2
所以 3-r(A)>=2,即 r(A)=1
故 r(A)=1.
再由 tr(A)=1+1+1=3 知 A的特征值为3,0,0
所以此二次型经正交变换所得的标准形为 3y1^2.

B是m×n矩阵,BX = 0的解就是使得B的列向量线性组合得0的组合系数.
因此BX = 0只有零解,等价于B的列向量线性无关,等价于B的列秩为n,即r(B) = n.
也可以有别的说法,例如由BX = 0的解空间维数为n-r(B).

不是正定二次型,原式可以经过先合并平方项,然后经过一个非退化线性替换后得到标准型可以看到标准的正惯性指数为3,负惯性指数为1所以不是正定.还可以验证其各阶顺序主子试看看.

二次型的矩阵 A=
5 2 -1
2 1 -1
-1 -1 a
|A| = a-2 >0
所以 a > 2.

先写出二次型矩阵[5,-2,0；-2,6,-2；-2,0,4]
因为A的迹分别是5,6,4都大于0
二阶顺序主子式[5,-2；-2,6]=26>0
A的行列式值为96>0
所以A正定

任一一个非零列向量x,由于A、B是正定的,所以XTAX》0,XTBX》0；
XT(2A+2B)X=2（XTAX+ XTBX）》0；
所以2A+2B也是正定的.
注：XT为X的转置

句中,“似乎”描写的是令人窒息的紧张氛围,德军的眼睛并非一定盯着蜡烛,但随着烛焰摇曳,德军的眼睛即将盯上蜡烛,后果是“情报站会遭到破坏”“一家三口生命的结束”.“似乎”一词逼真地反映了伯诺德夫人此时紧张的心理,因此不能去掉.

A*正定不能推出A正定,比如:A=-1 0 00 -1 00 0 -1则A*=1 0 00 1 00 0 1(此题的逆命题成立)

存在正交阵u,记u的转置为u'有
u'Au=diag{a1,a2,……,an}(对角阵)
又A可逆则对角元不为0
则u'AAu=u'Auu'Au=diag{a1^2,a2^2,……,an^2}
即A的平方合同与一对角元全为正数的矩阵,所以平方正定

不能,如：
(1,1;1,2)和
(1,-1;-1,2)是正定的,但其乘积不正定

证明:设A的特征值为 a1,a2,.,an.则A-E的特征值为a1-1,a2-1,.,an-1.
又因为 A-E正定,所以其特征值都大于零.即 a1-1>0,a2-1>0,.,an-1>0.
所以a1>0,a2>0,.,an>0.即A的特征值都大于零.所以A的正定的

以下则是数量矩阵式正定矩阵的证明：

一． 定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系,所以在定义正定矩阵之前,让我们先定义正定二次型:
设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ,则称f(x) 为正定（半正定）二次型.
相应的,正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令A为 阶对称矩阵,若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之,令A为n 阶对称矩阵,若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）,则称A负定（半负定）矩阵.
例如,单位矩阵E 就是正定矩阵.
二． 正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知,判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数.
证明：若 ,则有
∴λ＞0
反之,必存在U使
即
有
这就证明了A正定.
由上面的判别正定性的方法,不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负.
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E.
证明：A正定
二次型 正定
A的正惯性指数为n
3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）.
证明：n阶对称矩阵A正定,则存在可逆矩阵U使
令 则
令 则
反之,
∴A正定.
同理可证A为半正定时的情况.
4．n阶对称矩阵A正定,则A的主对角线元素 ,且 .
证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定
∴ 是正定二次型
现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入,有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩阵C ,使
5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零.
证明：必要性：
设二次型 是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
,
现证 是一个k元二次型.
∵对任意k个不全为零的实数 ,有
∴ 是正定的
∴ 的矩阵
是正定矩阵
即
即A的顺序主子式全大于零.
充分性：
对n作数学归纳法
当n=1时,
∵ ,显然 是正定的.
假设对n-1元实二次型结论成立,现在证明n元的情形.
令 ,,
∴A可分块写成
∵A的顺序主子式全大于零
∴ 的顺序主子式也全大于零
由归纳假设,是正定矩阵即,存在n-1阶可逆矩阵Q使
令
∴
再令 ,
有
令 ,
就有
两边取行列式,则
由条件 得a＞0
显然
即A合同于E ,
∴A是正定的.
三． 负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n.
2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零.
3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足
,
即奇数阶顺序主子式全小于零,偶数阶顺序主子式全大于零.
由于A是负定的当且仅当-A是正定的,所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出,故证明略.
四．半正定矩阵的一些判别方法
1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩.
2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零,但至少有一个特征值等于零.
3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零,但至少有一个主子式等于零.
注：3中指的是主子式而不是顺序主子式,实际上,只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的,例如：
矩阵 的顺序主子式 ,,,
但A并不是半正定的.
关于半负定也有类似的定理,这里不再写出.

不是.
令P=[-1],P^T=[-1],A=P^T *P=[1]
或者,p为对角矩阵且对角元素都是负数的矩阵,那么肯定是负定的.而A是正定.

A+B正定
A-B对称,但惯性指数不好说,只能说一定不可能负定
A*B未必对称,但特征值都是非负实数

首先（A^TA）^T=A^TA,即A^TA是对称矩阵（这是前提）
由于A可逆,可确定│A^TA│=│A│^2＞0,再运用数学归纳法可得到A^TA的顺序主子式都大于0,
从而A^TA为正定矩阵

f = n∑xi^2 - (∑xi)^2
= (n-1)∑xi^2 - 2∑(1

假定你这里diag(M)表示的是与M对角元相同的对角阵
那么A-C显然是无法保证的,比如n=k=X=1,A=-1,B=C=0
对于B+C=I-diag(Px),由于Px半正定且特征值只有0和1,所以它的对角元都不超过1,B+C确实半正定

因为A为半正定
所以对任意非零n维向量x,x'Ax >=0
而 x'(kI)x = kx'x
所以若 A+KI为正定,必有 x'(A+kI)x >0
即 kx'x>0
所以 k>0
你题目不对呀

这里需要理解,0解是必然成立的.而对于非0向量,原命题中已经排除,故两者结合即存在唯一解.

补充的问题是对的,A不一定正定,因为你没给出A是实对称阵的前提.譬如现在有一个矩阵,aii>0,aij=-aji,满足任意非零向量X使得f(x1,x2,.xn)=X'AX恒大于0

不是
若改成存在可逆矩阵U, 满足 A=U^TU 则 A是正定的.
此时即 A 与 单位矩阵合同.
设A是实对称矩阵,则下列条件等价:
1.A是正定的
2.A的正惯性指数等于它的阶数n
3.A相合于单位矩阵,即存在可逆实矩阵T,使得T'AT=En
4.存在可逆实矩阵S,使得A=S'S
5.A的所有顺序主子式都大于0
6.A的所有主子式都大于0

当可交换时正定

《===：
n阶实对称矩阵A正定==》
==》存在n阶可逆矩阵Q,使得A=Q^TQ
==》A=(Q^T, 0)(Q^T,0)^T=(Q\0)^T(Q\0)
==》有m*n列满秩矩阵P、使得A=P^TP

==》：
有m*n列满秩矩阵P、使得A=P^TP
==》对于任意的非零向量x,Px非零,且x^TAx=x^TP^TPx=（Px）^T(Px)>0
==》n阶实对称矩阵A正定

这个我会叻
特征值有一个性质：n阶矩阵A与他的转置矩阵A(T)有相同的特征值.
证明如下：因为A的伴随矩阵正定,所以特征值严格大于零.所以A的特征值大于零.所以A正定

利用顺序主子式大于零,可解
我算出来是 t>3

取可逆阵C使得A=CC^T,那么A-B正定等价于I-C^{-1}BC^{-T}正定,再分析后者的特征值即可.
更省事的做法是
B^{-1}-A^{-1} = A^{-1}(A-B)A^{-1} + A^{-1}(A-B)B^{-1}(A-B)A^{-1},
但不容易想到.

错,正定矩阵的特征值必是正数.
因为,若存在非正特征值设为k；
则存在x,Ax=kx；
则X^(T)AX=kX^(T)X

这步你分开理解
i=1时,j的有效取值有 2,3,...,n
所以 x1^2 被计算了 n-1 次
i=2时,j的有效取值有 3,4,...,n
所以 x2^2 被计算了 n-2次,但是 (1,2) 也是 (i,j) 的有效取值
所以 x2^2 被计算了 n-1 次.
一般情况:
对任意的k,(1,k),...,(k-1,k),(k,k+1),...,(k,n) 都是(i,j) 的有效取值
所以 xk^2 被计算了 n-1 次,

那些正定来的客人都很热情
关键：客人来自哪里,去哪里