线性方程组AX=0的基础解系含有解向量的个数是多少?

道路中2022-10-04 11:39:541条回答

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zyxm2007 共回答了15个问题 | 采纳率100%: A行初等变换,可得R(A)=1,即AX=0有n-1个自由变量,即基础解系含有n-1个线性无关的列向量.; 1年前

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向量组线性相关存在某个向量可由其余向量线性表示
但不能指定某个向量可由其余线性表示
比如
(1, 2 , 0)
(1,3,0)
(1,4,0)
(0,0,1)
4 个3维向量一定线性相关
但并不是任一个都可由其余向量线性表示
第4个就不能由前3个线性表示

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解题思路：不难看出（1，1，…，1）T是方程的解，然后利用基础解系的定理，解的维度等于阶数减去秩可以得出基础解系的个数，然后求出基础解系．
n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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解题思路：首先，由线性方程组AX=0有无穷多个解，得到r（A）＜n，即|A|=0；然后，再由方阵行列式的性质，得到|A^TA|=0，依此判断出方程组A^TAX=0的解．
由线性方程组AX=0有无穷多个解，知r（A）＜n，即|A|=0
∴|A^TA|=|A|•|A^T|=|A|²=0
∴r（A^TA）＜n
∴方程组A^TAX=0有无穷多个解
故选：A．

点评：
本题考点：线性方程组的基本定理．

考点点评：此题考查齐次线性方程组解的判定定理和矩阵秩的性质，是基础知识点的综合．

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设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组AX=0的通解为______． xiaowuqj1年前1: qdgc 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

解题思路：不难看出（1，1，…，1）T是方程的解，然后利用基础解系的定理，解的维度等于阶数减去秩可以得出基础解系的个数，然后求出基础解系．
n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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解题思路：不难看出（1，1，…，1）T是方程的解，然后利用基础解系的定理，解的维度等于阶数减去秩可以得出基础解系的个数，然后求出基础解系．
n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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矩阵方程中X不一定是一个列向量
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解题思路：不难看出（1，1，…，1）T是方程的解，然后利用基础解系的定理，解的维度等于阶数减去秩可以得出基础解系的个数，然后求出基础解系．
n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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假设x1为Ax=0的非零解,那么 Ax1=0,两边左乘A
得到
AAX1=0 即,x1也是A^2x=0的非零解!

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因为A非零,所以 r(A)>=1.
又因为 a1,a2 线性无关 [分量不成比例]
所以AX=0的基础解系含有向量的个数
n-r(A) = 3-r(A) >= 2
即有 r(A)

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解题思路：不难看出（1，1，…，1）T是方程的解，然后利用基础解系的定理，解的维度等于阶数减去秩可以得出基础解系的个数，然后求出基础解系．
n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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解题思路：不难看出（1，1，…，1）T是方程的解，然后利用基础解系的定理，解的维度等于阶数减去秩可以得出基础解系的个数，然后求出基础解系．
n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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答案选B
非齐次线性方程组的解由两部分构成
一部分是其对应的线性方程组的解，另一部分是其特解
X=x+x*
其中X表示非齐次线性方程组的解
x表示其对应的线性方程组的解
x*表示其特解
所以Ax=b有无穷多个解可以得出Ax=0也有无穷多个解
其余三项都是错误的...

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证明：
显然有：Ax=0的解必然也是A'Ax=0的解.
下面证：若A'Ax=0,那么Ax=0
x是n维列向量,A'Ax是n维列向量且A'Ax=0,x'是n维行向量.
方程A'Ax=0两边左乘x'得：
x'A'Ax=0
即：(x'A')(Ax)=(Ax)'(Ax)=0……①
Ax是m维列向量,设为[a1,a2...am]'
那么①式等价于：
[a1,a2...am][a1,a2...am]'=0
即：(a1)^2+(a2)^2+...+(am)^2=0
∴a1=a2=...=am=0
∴[a1,a2...am]'=Ax=0
∴A'Ax=0的解必然是Ax=0的解
即：线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解
结论得证!

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即有 r(A)=r(B)
(1) 正确
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易得
A(N1,N2…,Nk)=0
设（N1,N2…,Nk）的转置为M
因为B满足B与N1,N2……Nk都正交
MB=0 M的秩为k 所以B有n-k个解
设A的转置为(AT)
M(AT)=0 (AT)的秩为n-k,所有有n-k个线性无关的行向量
这n-k个线性无关的向量正是B的n-k个解
所以B可以由(AT)的一个行向量表示
设(AT)=（a1,a2,a3,...,an）
相当于B=ai*k a是(AT)的其中一个行向量
(k不=0的常数)
秩(AT)=秩(AT,k*ai)
ATX=B有解,但AX=B不一定有解

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n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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题目有误.
"设向量组a1,a2……an是n元线性方程组AX=0的基础解系"
应该是
"设向量组a1,a2……as是n元线性方程组AX=0的基础解系"
对吧.
D 正确.
因为 a1,a2……as是n元线性方程组AX=0的基础解系, 所以AX=0的基础解系含s个向量.
AX=0的任意s+1个解向量必然线性相关.
否则基础解系至少含s+1个向量.

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显然,AX=0 的解都是 A'AX=0 的解.
反之,若X1是 A'AX=0的解
则 A'AX1=0
所以 X1'A'AX1=0
故 (AX1)'(AX1)=0
因为A是实矩阵,所以有 AX1=0
即 A'AX=0 的解是 AX=0 的解
故 AX=0 与 A'AX=0 同解

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n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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n是矩阵阶数中最小的那个.比如本题A是4*3矩阵 n=3.
所以a的取值应使得r(A)=2 也就是矩阵
2 4 3
1 1 2 行列式为0.由此a= -2
-1 -1 a

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(A)=1,5阶,那么解向量的个数= n-r（A） = 5-1=4
如果答案对您有帮助,真诚希望您的采纳和好评哦!
祝：学习进步哦!
*^_^* *^_^*

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n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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C

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由A为m×n矩阵，知Ax=0的未知数的个数为n
而R（A）=r
∴Ax=0基础解系所含线性无关的解向量个数为：n-

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：此题考查齐次线性方程组解的结构，是非常基础知识点．

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n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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n元非齐次线性方程组Ax=b与其对应的其次线性方程组Ax=0满足（） n元非齐次线性方程组Ax=b与其对应的其次线性方程组Ax=0满足（） a.若Ax=0有仅有0解,则Ax=b也有唯一解； b.若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0也有无穷多个解； c.若Ax=0有非0解,则Ax=b也有无穷多个解； d.若Ax=b有无穷多解,则Ax=0有非0解 请一定把其他错误选项解释清楚. suoys19781年前3: 语山共回答了16个问题 | 采纳率68.8%

a,b,d正确．a:Ax=0有仅有0解,A为满秩矩阵,则A的行秩＝N,则A的增广阵行秩也为N,则A的增广阵秩为N,由判定定理可得结论；b:Ax=b有无穷多个解,由非齐次判定定理R(A,b)＝R(A)＜N；再由齐次的判定定理即可得答案；c:Ax=0有...

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高等代数题，写出线性方程组AX=0和AX=β解的性质以及它们之间的关系 高等代数题，写出线性方程组AX=0和AX=β解的性质以及它们之间的关系 老师上课的时候出的题，不明白他说的是什么意思，书上也没有找到，求热心网友帮忙。谢谢！ 日荆羽尔1年前2: 柯山隐共回答了13个问题 | 采纳率84.6%

AX=0：任意有限个解的线性组合还是解。
Ax=β：Ax=β的任意两个解的差是Ax=0的解；Ax=β的解与Ax=0的解的和是Ax=β的解。
根据它们的解的性质，就可以很容易推导出齐次与非齐次线性方程组的通解结构：
知道Ax=0的n-r个线性无关的解α1,α2,...,α(n-r)，它们的线性组合x=C1α1+C2α2+...+C(n-r)α(n-r)就是Ax=0的通解，其中...

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若v1,v2,V3,V4是线性方程组AX=0是基础解系,则v1+v2+V3+V4是ax=0的（ ) 若v1,v2,V3,V4是线性方程组AX=0是基础解系,则v1+v2+V3+V4是ax=0的（ ) A 解向量 B 基础解系 c通解 DA 的行向量 jie_jiang1年前1: 8032634 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

A 解向量
齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解

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设α_1,α_2,α_3,⋯,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b 设α_1,α_2,α_3,⋯,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b 设,〖α_(1,) α〗_2,α_3,⋯,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b（b≠0）的一个特解,证明向量组α_1+β,α_2+β,⋯,α_m+β,β线性无关.“_”是指下标, 设α_1，α_2，α_3，⋯，α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系，β是非齐次线性方程组Ax=b（b≠0）的一个特解，证明向量组α_1+β，α_2+β，⋯，α_m+β，β线性无关。 eagle77771年前1: 车失王韦共回答了13个问题 | 采纳率92.3%

证明:设 k1(α1+β)+k2(α2+β)+⋯+km(αm+β)+kβ = 0
则 k1α1+k2α2+⋯+kmαm+ (k1+k2+...+km+k)β = 0.
等式两边左乘A,由已知Aαi=0,Aβ=b得
(k1+k2+...+km+k)b = 0
因为 b≠0,所以 k1+k2+...+km+k = 0
所以 k1α1+k2α2+⋯+kmαm = 0
由于 α1,α2,α3,⋯,αm 线性无关
所以 k1=k2=...=km=0
再由 k1+k2+...+km+k = 0 得 k = 0.
故向量组α1+β,α2+β,⋯,αm+β,β线性无关.

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设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组AX=0的通解为______． san333s1年前1: 沙虫_ 共回答了8个问题 | 采纳率100%

解题思路：不难看出（1，1，…，1）T是方程的解，然后利用基础解系的定理，解的维度等于阶数减去秩可以得出基础解系的个数，然后求出基础解系．
n阶矩阵A的各行元素之和均为零，
说明（1，1，…，1）^T（n个1的列向量）为Ax=0的一个解，
由于A的秩为：n-1，
从而基础解系的维度为：n-r（A），
故A的基础解系的维度为1，
由于（1，1，…，1）^T是方程的一个解，不为0，
所以Ax=0的通解为：k（1，1，…，1）^T．

点评：
本题考点：齐次方程组解的判别定理．

考点点评：本题主要考查齐次方程有解的判定定理，主要是要发现（1，1，…，1）T是方程的一个解，属于基础题．

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线性方程组AX=0的基础解系含有解向量的个数是多少?

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