若向量组a1a2a3线性无关试证b1=a1+a2+a3 ,b2=a1-a2-2a3线性无关

证明1:常规解法
设 k1b1+k2b2=0
即 k1(a1+a2+a3)+k2(a1-a2-2a3) = 0
则 (k1+k2)a1+(k1-k2)a2+(k1-2k2)a3=0
因为 a1,a2,a3线性无关
所以
k1+k2=0
k1-k2=0
k1-2k2=0
方程组只有零解:k1=k2=0
所以 b1,b2 线性无关.
证明2:高级解法
(b1,b2)=(a1+a2+a3,a1-a2-2a3)=(a1,a2,a3)K
其中 K =
1 1
1 -1
1 -2
因为 a1,a2,a3线性无关
所以 r(b1,b2)=r(K)=2
所以 b1,b2 线性无关.