紧集应该怎样理解 比如说 为什么（0,1]不是紧集呢?{（-n,n）|n 属于实数} 不是它的一个有限开覆盖么?

任取A+B中数列xn+yn设其收敛于z,由于B为紧集,故yn有收敛子列ynk,收敛于B中的y,从而xnk收敛于z-y,A是闭集表明z-y属于A,故数列xn+yn收敛于y+(z-y)属于A+B,这表明A+B为闭集.

覆盖覆盖当然是盖住了,就是说该集合被包含在这些开集的并里面.又不该集等于这些开集合的并.
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那对于子覆盖(-1,1),(0,2),(1.5,3)
(1,2)和[1,2]不是都满足定义吗,为什么一定是闭的呢?
紧集的定义是任意的开覆盖有有限的子覆盖.
你这是特别取的某个覆盖,当然不行.要对所有的开覆盖满足才行.

你这个问题要回答的话是很复杂的.
首先我们需要回顾一下拓扑学序列的定义 （因为度量空间的序列定义还不够一般）
设X是一个拓扑空间,每一个s: Z+(正整数集) 到 x的映射 叫做 X的序列 记做{x1,x2,x3 ...}
设{x1,x2,x3...}是X空间的一个序列 , 而a 属于 X集合 ,如果对于a的每一个邻域U, 存在M 属于 Z+ 使得当所有 i > M 有 xi 属于 U ,就叫a是序列的极限点, 如果序列至少有一个一个极限点,我们称这个序列收敛.
子序列你应该能够自己定义出来 ,（我就不打了）
这样我们来解答问题吧 还记得R（实直线）上的余有限拓扑 这是一个很好 又很简单 的例子
余有限拓扑定义的闭集只有 空集 R 和 有限个点的集合 这样我们看到在 这个拓扑下 所有R的子集都是 紧集 这一点很明显 希望你自己证明 这样{1 / n} (n 属于 Z+) 这个集合自然是紧集 仔细看上面的定义 在这个拓扑下 R上所有的点都是这个序列的极限点 但是它们很多都不属于这个序列本身 自然这个序列构成集是紧集而不是自列紧集. 至于自列紧集不是紧集 较直接的方法是构造一个满足第一可数的 T1 空间 而且不是lindelof的拓扑空间 （不过一般举例是会出现 不可数序数 的 汗 我想了下没找到简单的例子） 这种空间自身是子列紧的 但他连lindelof空间都不是 自然也不是紧空间
综上所述 这两个概念在一般的空间中是互不包含,一般都会加上好的 分离性公理 或者 可数性公理逼其就范.比如 加上A2公理 T1公理
总之 点集拓扑学有很多反例的 如果还有什么 我们一起讨论交流一下

可以 ,Rn中紧集即有界闭集,如在[0,1]区间上做类cantor集：第一次在中间挖去1/4开区间
第二次在剩余两块中间挖去1/16开区间.令剩余的集合为H 则H为有界闭集,且可以证明H无内点 所以H的边界即为H本身 而H的勒贝格测度是1/2

首先：度量空间中的紧子集等价于有界闭集.
其次：有限个有界集合的并是有界集合；且有限个闭子集的并是闭集.
所以：有限个紧子集之并为有界闭集,也就是紧集.

准紧集的任何子列都有收敛子列,但是其收敛的聚点未必属于自身.
而由闭包的定义可知,闭包一定包含了自身的所有聚点.从而上述聚点也都包含在闭包之内.
由于准紧集的闭包相对于原准紧集新加入的点都是原准紧集的聚点,因此这些点的任何序列也都必定有收敛子列.否则假如存在一个聚点的序列无收敛子列.则由聚点的定义可知,对此序列中的每一点,都可以找到原准紧集中的一点,使得两者之间的距离足够小.那么由此条序列可以得到对应的原准紧集中的一条序列,该序列也无收敛子列,这与准紧集定义矛盾.
因此准紧集的闭包的任何子列都有收敛子列,且收敛到自身.
这正是紧集的定义.
因此准紧集的闭包是紧集.
证毕.

R^n中Heine-Borel定理,下面三个等价
1. 集合E是紧的
2. E任何无穷子集都有聚点在E内
3. E闭且有界
下面的推导,
要用到
a） R^n中中紧集是闭的这一性质
b） 紧集的闭子集是紧的
c） 只证E是无限集的情况,因为有限集是显然的
1.推2.
现在E是紧的,现在只需证明E的无穷点集有聚点就行.因为由闭性,可以知道这个聚点一定在E内.
现在对以E中的每一个点为心,1/2为径做开球,这一堆开球并起来,一起覆盖了E,那么有一个有限子覆盖.那有限个覆盖的开球中,一定有一个包含了无穷多个E中的点.把那个开球找出来,做闭包(取成对应的闭球),那交那个闭球交上E还是一个E中的闭子集,所以是紧的.
现在以 E交上那个球中的点为心,1/4为半径,做开球覆盖,和前面一样,可以找到一个更小的无穷紧子集.
再以上一轮找到的紧子集中的点为心,1/8为半径 .
. 做无限可数多次 利用R^n的完备性,就可以找到聚点.
后面的太长了,有问题直接百度HI我吧.打字累死我了

首先对R^n来说,紧致性和列紧性是等价的概念（对一般的距离空间也是如此）,具有这种性质的紧集又称为紧致-列紧集,证明紧集是有界闭集用列紧性的概念比较容易.用反证法,列紧性是说集合中的任意点列都有收敛于该集合中某点的子列,假设紧集A不是有界的,那么就存在点列xn使得||xn||>n,如果这点列有收敛于集合A中点a的子列xnk,即limxnk=a,那么这就和||xnk||>nk矛盾了；再假设紧集A不是闭的,那么就存在点列yn使得limyn=b不属于A,从而yn的任何子列也都收敛于b,yn也就不可能有子列收敛于A中某点了,矛盾.从以上两个矛盾证明了,紧集一定是有界闭集.

设 inf{m(G):G是开集,E包含于G}=sup{m(k):k是紧集,k包含于E} = a.
由已知条件可得：
1.存在 开集列 Gn,n= 1,2,...,使得：E包含于Gn,并且 G(n+1) 包含于Gn,m(Gn) < a + 1/n.
2.存在 紧集列 Kn,n= 1,2,...,使得：Kn包含于E,并且 Kn 包含于K(n+1),m(Kn) > a - 1/n.
定义 G0 = 所有Gn的交集.K0 = 所有Kn的并集.于是 G0,K0可测,并且 m(G0)=m(K0)=a,同时,K0 包含于E 包含于G0.===》
E = K0 + (E-K0),其中 K0 可测,E-K0 包含于零测集 G0-K0,于是也可测.所以 E可测.

1)我觉得这题可以直接用反证,无穷集合不可数的反面不就是可数啊,反证推出矛盾就可以了
照他这么做稍稍绕了个小弯子,理由是A如果是可数的话,那么A本身就是A的一个可数子集,根据前面结论：每个A的可数子集是A的真子集,所以A也是A的一个真子集,显然矛盾
他的这种思路其实对有经验的人来说,并未通过括号内的思考,凭直觉就能得到A是不可数的.括号内只是写给初学者看的（其实括号里的就是反证）.但我觉得他这样证明对初学者来说并不好,这题直接反证思路更简单些
2）1：你说的这种情况是不存在的,应为它不是紧集,正如定理所说的,紧子集都是闭集,所以边界点一定在K上
2：这是你对有限覆盖定理的不理解,有限覆盖定理是说：在任意一族能覆盖这个点集的开覆盖中,一定能找到有限个开覆盖,它们覆盖了该点集
比如说(1+1/n,2)这样的一族开覆盖,它们能覆盖（1,2）,因为（1,2）中任意一点x都能找到一个n,使得x被（1+1/n,2)覆盖,但是不可能从这族覆盖中找处有限个来覆盖住(1,2),不可能是紧集.
有限覆盖是一个比较深刻的概念,一般初学着把紧子集当成闭集看待就可以了

你好好分析数学分析中用有限覆盖定理证明[a,b]上的连续函数是一致连续的,如果搞清楚了那个证明,照着翻译到紧集上即可,

在欧氏空间当中,紧集和有界闭集是等价的.要找列子,在无穷维空间里可能找得到!不太清楚,泛函还没学.
存在某个T1空间中的紧集,它不是闭的.
存在某个拓扑空间,其中每个非空闭集都不是紧的.
存在某个紧集,其闭包不是紧集.