求 ∫ x^3 • cos³x dx

johnyxu2022-10-04 11:39:541条回答

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niegou 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%: 用分部积分法
原式=∫ x^3 • (cosx)^2 • cosxdx
=∫ x^3 • [1-(sinx)^2] d(sinx)
=∫ x^3d(sinx)-∫ x^3 • (sinx)^2d(sinx)
因∫ x^3d(sinx)
=x^3 •sinx-∫ sinxd(x^3)
=x^3 •sinx-3∫ x^2 •sinxdx
=x^3 •sinx+3∫ x^2 d(cosx)
=x^3 •sinx+3[x^2•cosx-∫ cosxd(x^2)]
=x^3 •sinx+3(x^2•cosx-2∫ x •cosxdx)
=x^3 •sinx+3x^2•cosx-6∫ x •d(sinx)
=x^3 •sinx+3x^2•cosx-6(x •sinx-∫ sinxdx)
=x^3 •sinx+3x^2•cosx-6x •sinx+6∫ sinxdx
=x^3 •sinx+3x^2•cosx-6x •sinx-6cosx+C1
又∫ x^3 • (sinx)^2d(sinx)（I）
=(1/3)∫ x^3d[(sinx)^3]
=(1/3)[x^3 •(sinx)^3-∫ (sinx)^3d(x^3)]
=(1/3)x^3 •(sinx)^3-(1/3)∫ (sinx)^3d(x^3)
=(1/3)x^3 •(sinx)^3-∫ x^2•(sinx)^3dx
而∫ x^2•(sinx)^3dx（II）
=∫ x^2•[(cosx)^2-1]d(cosx)
=∫ x^2•(cosx)^2d(cosx)-∫ x^2d(cosx)
其中∫ x^2d(cosx)
=x^2•cosx-∫ cosxd(x^2)
=x^2•cosx-2∫ x•cosxdx
=x^2•cosx-2∫ xd(sinx)
=x^2•cosx-2(x•sinx-∫ sinxdx)
=x^2•cosx-2x•sinx+2∫ sinxdx
=x^2•cosx-2x•sinx-2cosx+C2
其中∫ x^2•(cosx)^2d(cosx)（III）
=(1/3)∫ x^2d[(cosx)^3]
=(1/3)[x^2•(cosx)^3-∫ (cosx)^3d(x^2)]
=(1/3)x^2•(cosx)^3-(2/3)∫ x•(cosx)^3dx
而∫ x•(cosx)^3dx
=∫ x• [1-(sinx)^2] d(sinx)
=∫ xd(sinx)-∫ x• (sinx)^2d(sinx)
其中∫ xd(sinx)
=x• sinx-∫ sinxdx
=x• sinx+cosx+C3
其中∫ x• (sinx)^2d(sinx)
=(1/3)∫ xd [(sinx)^3]
=(1/3)[x•(sinx)^3-∫ (sinx)^3dx]
=(1/3)x•(sinx)^3-(1/3)∫ [(cosx)^2-1]d(cosx)
=(1/3)x•(sinx)^3-(1/3)[∫ (cosx)^2d(cosx)-∫ d(cosx)]
=(1/3)x•(sinx)^3-(1/3)[(1/3)(cosx)^3-cosx]+C4
=(1/3)x•(sinx)^3-(1/9)(cosx)^3+(1/3)cosx+C4
则∫ x•(cosx)^3dx
=(x• sinx+cosx+C3)-[(1/3)x•(sinx)^3-(1/9)(cosx)^3+(1/3)cosx+C4]
=x• sinx+(2/3)cosx-(1/3)x•(sinx)^3+(1/9)(cosx)^3+C5
于是（III）式∫ x^2•(cosx)^2d(cosx)
=(1/3)x^2•(cosx)^3-(2/3)∫ x•(cosx)^3dx
=(1/3)x^2•(cosx)^3-(2/3)[x• sinx+(2/3)cosx-(1/3)x•(sinx)^3+(1/9)(cosx)^3+C5]
=(1/3)x^2•(cosx)^3+(2/3)x•(sinx)^3-(2/3)x• sinx-(2/27)(cosx)^3-(4/9)cosx+C6
于是（II）式∫ x^2•(sinx)^3dx
=[(1/3)x^2•(cosx)^3+(2/3)x•(sinx)^3-(2/3)x• sinx-(2/27)(cosx)^3-(4/9)cosx+C6]-[x^2•cosx-2x•sinx-2cosx+C2]
=(1/3)x^2•(cosx)^3-x^2•cosx+(2/3)x•(sinx)^3+(4/3)x• sinx-(2/27)(cosx)^3+(14/9)cosx+C7
于是（I）式∫ x^3 • (sinx)^2d(sinx)
=(1/3)x^3 •(sinx)^3-(1/3)x^2•(cosx)^3+x^2•cosx-(2/3)x•(sinx)^3-(4/3)x• sinx+(2/27)(cosx)^3-(14/9)cosx+C8
于是原式∫ x^3 • cos³x dx
=x^3 •sinx+3x^2•cosx-6x •sinx-6cosx-(1/3)x^3 •(sinx)^3+(1/3)x^2•(cosx)^3-x^2•cosx+(2/3)x•(sinx)^3+(4/3)x• sinx-(2/27)(cosx)^3+(14/9)cosx+C
=-(1/3)x^3 •(sinx)^3+x^3 •sinx+(1/3)x^2•(cosx)^3+2x^2•cosx+(2/3)x•(sinx)^3-(14/3)x •sinx-(2/27)(cosx)^3-(40/9)cosx+C; 1年前

求积分 [e^x/2 *(cosx-sinx)] / √cosx dx yanwutou1年前1: zhbovdd 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

积分 [e^x/2 *(cosx-sinx)] / √cosx dx
=积分2[1/2e^x/2*(cosx)^(1/2)-1/2e^x/2*sinx(cosx)^(-1/2)]dx
=积分[2e^x/2*（cosx）^(1/2)]'dx
=2e^x/2*（cosx）^(1/2)+C

1年前查看全部

求一个不定积分∫sin3x×cosx dx希望能给出过程 江南苏州1年前1: halforever 共回答了22个问题 | 采纳率95.5%

由sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
所以sin3xcosx=(sin4x+sin2x)/2
所以原式=1/2∫sin4xdx+1/2∫sin2xdx
=1/8∫sin4xd4x+1/4∫sin2xd2x
=-cos4x/8-cos2x/4+C

1年前查看全部

求一个不定积分∫sin3x×cosx dx希望能给出过程 zxklkl2l3kjglkas1年前1: cengken 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

先用积化和差公式把里面的被积函数化成和与差.就好积分了.
sin3xcox=(sin4x+sin2x)/2
故积分 =-cos4x/8-cos2x/4+C

1年前查看全部

∫[-1,1]x^3 cosx dx=? sony731年前1: 风织尘共回答了17个问题 | 采纳率76.5%

设f(x) = x³cosx
f(-x) = (-x)³cos(-x)
= (-1)x³cosx
= (-1)f(x)
∴f(x)是奇函数
∴∫(-1→1) x³cosx dx = 0

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求∫sin^3 x·cosx dx 求∫sin^3 x·cosx dx 求∫ sin^3 x · cos x dx ∫(x+1)/x 3^√(3x+1) dx 请写出过程, arronxu1年前1: 喝水塞牙共回答了15个问题 | 采纳率86.7%

(1)∫ sin^3 x cos x dx =∫ sin^3 x dsinx =[(sinx)^4]/4+C (2)令[三次根号下(3x+1)]=t,则x=(t^3-1)/3 所以∫(x+1)/[x·3^√(3x+1)] dx=∫{[(t^3-1)/3+1]/[t(t^3-1)/3]}d[(t^3-1)/3] =∫t(t^3-1+3)/(t^3-1)dt=∫t[1+3/(t^3-1)]dt=t^2/2+∫[1/(t-1)+(1-t)/(t^2+t+1)]dt =t^2/2+ln|t-1|+∫3/{2[(t+1/2)^2+3/4]}dt-∫(t+1/2)/(t^2+t+1)dt =t^2/2+ln|t-1|+(√3)arctan[(2t+1)/(√3)]-(ln|t^2+t+1|)/2+C 下面把t的地方用(3x+1)^(1/3)来代替就可以了.(我打起来太麻烦就不写了.)

1年前查看全部

换元积分∫cosx dx/(sinx-1) in|sinx-1|+C 癫痫的心1年前1: 6aa16005 共回答了20个问题 | 采纳率85%

∫cosx/(sinx-1) dx,换元:令u=sinx-1,du=cosxdx,du/cosx=dx
=∫(1/u)du
=ln|u|+C
=ln|sinx-1|+C
直接换元也可:
∫cosx/(sinx-1) dx,cosxdx=dsinx
=∫1/(sinx-1) dsinx
=ln|sinx-1|+C

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求不定积分：∫e^cosx dx ∫cosx*e^cosx dx ∫(cosx)^2*e^cosx dx 求不定积分：∫e^cosx dx ∫cosx*e^cosx dx ∫(cosx)^2*e^cosx dx ∫e^cosx dx ∫cosx*e^cosx dx ∫(cosx)^2*e^cosx dx 求这三个,详细过程,谢谢了 65zqwy1年前1: hibluemountain 共回答了20个问题 | 采纳率90%

三个都一样的：
思路：幂级数展开exp(cos(x))=1+cos(x)+cos^2(x)/2!+cos^3(x)/3!+...然后逐项积分,最后找到规律.
目测：表达式将会复杂的可怕.

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求 ∫ x^3 • cos³x dx

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