用定义法证明函数f（x）=1+1/x-1在（1,+∞）上是减函数

证明：
设x1,x2是定义域上是任意二个数,且x1>x2.
f(x1)=x1+根号（x1的平方+1）
f(x2)=x2+根号（x2的平方+1）
因为x1>x2,所以,（x1的平方+1）>（x2的平方+1）
所以,(x1+根号（x1的平方+1））>(x2+根号（x2的平方+1））,
(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））>1
f(x1)÷f(x2)=(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））
因为(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））>1
所以f(x1)＞f(x2)
所以函数f(x)在其定义域上是单调增函数.
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【函数f(x)在(-1,+∞)上的单调递增】
证明：设x2＞x1＞-1,则：
f(x2)-f(x1)=[a^(x2)+(x2-2)/(x2+1)]- [a^(x1)+(x1-2)/(x1+1)]
=[a^(x2)- a^(x1)]+3[1/(x1+1)-1/(x2+1)]
=[a^(x2)- a^(x1)]+3(x2-x1)/[(x1+1)/(x2+1)]
∵a＞1,x2＞x1
∴a^(x2)- a^(x1)＞0
又∵x2＞x1＞-1
∴3(x2-x1)/[(x1+1)/(x2+1)]＞0
∴f(x2)-f(x1)=[a^(x2)- a^(x1)]+3(x2-x1)/[(x1+1)/(x2+1)]＞0
即：函数f(x)在(-1,+∞)上的单调递增
得证

设 x1 x2 都在 （0,正无穷大）上 且 x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(x1)^(-2)-(x2)^(-2)
=1/(x1)²-1/(x2)²
=(x2²-x1²)/(x1x2)²
=(x2-x1)(x2+x1)/(x1x2)²
因为 x1>x2 所以 x2-x10 x2>0
所以 x1+x2>0
所以 上式小于0
即 f(x1)

解题思路：（1）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）=

1−x

x− 2

在（

2

，+∞）上是增函数；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数g（x）=

ex+e−x

ex−e−x

的奇偶性．

（1）f（x）=
1−x
x−
2=
1−
2−(x−
2)
x−
2=-1+
1−
2
x−
2
任意设
2＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=
1−
2
x1−

点评：
本题考点： 函数的单调性及单调区间．

考点点评： 本题主要考查函数单调性和的奇偶性的证明和判断，利用相应的定义是解决本题的关键．

在[-3/4,正无穷)上是减函数
此时有√(1+x)>=1/2
所以对任意x1>x2>=-3/4
f(x1)-f(x2)
=√(1+x1)-x1-√(1+x2)+x2
=√(1+x1)-√(1+x2)-(x1-x2)
=√(1+x1)-√(1+x2)-[(1+x1)-(1+x2)]
=[√(1+x1)-√(1+x2)]-[√(1+x1)-√(1+x2)]*[√(1+x1)+√(1+x2)]
=[√(1+x1)-√(1+x2)][1-√(1+x1)-√(1+x2)]

f(x)=x²+1
x1 x2 ∈(-∝,0)
x1

设X1,X2属于（－2,＋＆）且X1＜X2,则F（X1）－F（X2）＝（AX1＋1）／（X1＋2）－（AX2＋1）／（X2＋2） 化简,得：（X1－X2）（2A－1）／（X1＋2）（X2＋2）．因为X1,X2属于（－2,＋＆） 所以：（X1－X2）（2A－1）＞0,（X1＋2）（X2＋2）＞0,所以：（X1－X2）（2A－1）／（X1＋2）（X2＋2）＞0即F（X1）＞F（X2） 所以F(X)=(AX+1)/(X+2)（A＜0.5）在（-2,+＆）上是单调减函数

如果注明用函数定义法证明的话,就只能设好x1、x2然后比较大小.不过可以用减法,在确定两个同号的情况下还可以用除法.一般来说单调性证明用定义证明是比较清楚的一种证明方法.