用定义法证明函数f(x)=x*x+1在(负无穷,0)上是减函数

mzlzhangyue2022-10-04 11:39:541条回答

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MICHAELZF82 共回答了25个问题 | 采纳率92%
f(x)=x²+1
x1 x2 ∈(-∝,0)
x1
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证明:
设x1,x2是定义域上是任意二个数,且x1>x2.
f(x1)=x1+根号(x1的平方+1)
f(x2)=x2+根号(x2的平方+1)
因为x1>x2,所以,(x1的平方+1)>(x2的平方+1)
所以,(x1+根号(x1的平方+1))>(x2+根号(x2的平方+1)),
(x1+根号(x1的平方+1))/(x2+根号(x2的平方+1))>1
f(x1)÷f(x2)=(x1+根号(x1的平方+1))/(x2+根号(x2的平方+1))
因为(x1+根号(x1的平方+1))/(x2+根号(x2的平方+1))>1
所以f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)在其定义域上是单调增函数.
明教为您解答,
请点击[满意答案];如若您有不满意之处,请指出,我一定改正!
希望还您一个正确答复!
祝您学业进步!
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【函数f(x)在(-1,+∞)上的单调递增】
证明:设x2>x1>-1,则:
f(x2)-f(x1)=[a^(x2)+(x2-2)/(x2+1)]- [a^(x1)+(x1-2)/(x1+1)]
=[a^(x2)- a^(x1)]+3[1/(x1+1)-1/(x2+1)]
=[a^(x2)- a^(x1)]+3(x2-x1)/[(x1+1)/(x2+1)]
∵a>1,x2>x1
∴a^(x2)- a^(x1)>0
又∵x2>x1>-1
∴3(x2-x1)/[(x1+1)/(x2+1)]>0
∴f(x2)-f(x1)=[a^(x2)- a^(x1)]+3(x2-x1)/[(x1+1)/(x2+1)]>0
即:函数f(x)在(-1,+∞)上的单调递增
得证
用定义法证明函数f(x)=X的负二次方,在区间(0,正无穷大)上是减函数.
ring20031年前3
qcxgxl 共回答了15个问题 | 采纳率100%
设 x1 x2 都在 (0,正无穷大)上 且 x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(x1)^(-2)-(x2)^(-2)
=1/(x1)²-1/(x2)²
=(x2²-x1²)/(x1x2)²
=(x2-x1)(x2+x1)/(x1x2)²
因为 x1>x2 所以 x2-x10 x2>0
所以 x1+x2>0
所以 上式小于0
即 f(x1)
(1)用定义法证明函数f(x)=1−xx−2在(2,+∞)上是增函数;
(1)用定义法证明函数f(x)=
1−x
x−
2
在(
2
,+∞)上是增函数;
(2)判断函数g(x)=
ex+e−x
exe−x
的奇偶性,并予以证明.
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解题思路:(1)利用函数单调性的定义即可证明函数f(x)=
1−x
x−
2
在(
2
,+∞)上是增函数;
(2)根据函数奇偶性的定义即可判断函数g(x)=
ex+e−x
exe−x
的奇偶性.

(1)f(x)=
1−x
x−
2=
1−
2−(x−
2)
x−
2=-1+
1−
2
x−
2
任意设
2<x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
1−
2
x1−

点评:
本题考点: 函数的单调性及单调区间.

考点点评: 本题主要考查函数单调性和的奇偶性的证明和判断,利用相应的定义是解决本题的关键.

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在[-3/4,正无穷)上是减函数
此时有√(1+x)>=1/2
所以对任意x1>x2>=-3/4
f(x1)-f(x2)
=√(1+x1)-x1-√(1+x2)+x2
=√(1+x1)-√(1+x2)-(x1-x2)
=√(1+x1)-√(1+x2)-[(1+x1)-(1+x2)]
=[√(1+x1)-√(1+x2)]-[√(1+x1)-√(1+x2)]*[√(1+x1)+√(1+x2)]
=[√(1+x1)-√(1+x2)][1-√(1+x1)-√(1+x2)]
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设 x1 x2 ∈(1,正无穷) 且 x1>x2

f(x1)-f(x2)
=1+1/(x1-1)-1-1/(x2-1)
=1/(x1-1)-1/(x2-1)
=(x2-1-x1+1)/[(x1-1)(x2-1)]
=(x2-x1)/[(x1-1)(x2-1)]
因为 x1>1 x2>1
所以 (x1-1)>0 (x2-1)>0
得 (1-x1)(1-x2)>0
又 x1>x2
所以 x2-x1
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如果注明用函数定义法证明的话,就只能设好x1、x2然后比较大小.不过可以用减法,在确定两个同号的情况下还可以用除法.一般来说单调性证明用定义证明是比较清楚的一种证明方法.